淺析動量流與電流相關性質的類比

皇甫泉生　吳國玢　顧錚（上海理工大學理學院，上海 200093）

淺析動量流與電流相關性質的類比

物理學的不同分支學科之間實際上存在著某些相似甚至相同的特征，因而可以進行類比.本文討論力學和電學之間的類比.為此，首先以動量這一廣延量作為力學的中心量，進而引入動量流的概念.文中在電荷量與動量、電流與動量流、電勢差與速度差、電阻與動量阻、電容與動量容等各個相對應的物理量之間，以及相對應的計算關系式之間進行了類比，從而凸顯出力學和電學的相似性或可比性以及宇宙事物的內在聯系.不同分支學科之間的類比不僅可以拓寬師生的視野和思路，有利于物理教學，而且能提升人們對于力學，乃至整個物理學的認識水平.

類比；力學；電學；動量流；物質型物理量

類比方法在物理學的發展過程中經常起著啟示、探索和創新的作用.盧瑟福根據α粒子散射實驗得到的數據分析，將他想象中的原子內部的結構與太陽系的結構進行類比，建立起原子核結構的行星模型.類比有利于人們將新知識納入到已有的知識系統中去，使相關知識能夠融為一體，聯結成一個有機的網絡體系，產生舉一反三、觸類旁通的效果，因而被普遍應用于物理學理論的教學中.在力學中將剛體的定軸轉動與質點的直線運動進行類比，使學生能較容易地掌握剛體定軸旋轉運動的規律.類比在振動學中的應用亦相當廣泛.在機械振動中，彈簧振子的運動方程，即振子相對于平衡位置的位移x隨時間變化規律的數學形式可表示為：x=A cos（ωt+φ），而在LC回路中，電容器極板上電荷q隨時間的變化規律則可表示為：q=Q cos（ωt+φ）.通過對比這兩個方程，人們認識到LC回路中電荷量隨時間的振蕩規律十分類似于機械振動［1］.因此若把電路中電荷量以及電流、電場強度等物理量在某給定值附近隨時間作周期性變化類比于機械振動，人們便可以從直觀、形象的機械振動入手建立電磁振蕩的概念.換言之，只要掌握了機械振動的規律，就能比較容易地弄明白電磁振蕩的規律.毫無疑問，這些較為經典的類比在物理教學中一直發揮著有益的作用.

然而，由于上述類比中所選擇的力學與電學對應物理量還不是最佳對應關系，致使力學與電學之間的類比囿于個例，被局限在較小的范圍內.為了突破這種局限性，本文參照電學理論的結構，選擇將動量這個廣延量作為貫穿于力學的中心物理量，與電學中的電荷量這一廣延量對應起來，并由此引入動量流的概念［2］.這樣，力學與電學之間各主要物理量的對應關系就可以得到顯著的改善.通過力學和電學中的動量與電荷量、動量流強度與電流強度、動量流密度與電流密度、速度與電勢等相對應物理量及其計算關系式（即物理過程或現象中的規律）之間的類比，可以使這兩門分支學科之間的相似性得以全面、清晰地顯現出來，展露出一種全新的面貌.

1　電流與動量流

眾所周知，電荷量（單位：庫倫）是電學中的一個基本物理量.那么力學中有沒有類似于電荷量的物理量呢？答案是肯定的，因為力學中的動量跟電荷一樣，既是廣延量又是守恒量.如有一個子彈射入一個靜止的物體，那么子彈和物體的動量都會發生變化，并且子彈的動量減少多少，物體的動量就必定會增加多少.這一過程可以想象為動量從子彈流入了物體，即動量能夠像電荷或液體和氣體等物質一樣不僅占據一定的空間體積，具有密度，而且還可以從一個空間區域流到另一個空間區域.德國卡爾斯魯厄大學的G·Falk教授最早建議將電荷（量）、動量等廣延量定義為物質型物理量（substance-like quantity）［3，4］，其目的是為了強調此類物理量能夠像物質那樣分布在空間并且在其間流動.

根據電流強度的定義：I=d q/d t；可以把動量在如固體材料、被拉伸的繩等能夠傳導動量的動量導體［5］內的流動看成動量流，而單位時間內流過任一截面的動量稱為動量流強度（Ip），即：Ip= d p/d t.對照牛頓第二定律的數學表達式F=d p/d t，容易看出動量流強度正是大家所熟知的物理量力［6］.這意味著，凡是有作用力的地方就有動量流，凡是發生形變的地方就有動量流.

根據電荷守恒定律，在導體內任取一閉合曲面A，單位時間內經該曲面流入或流出的電量，必定等于該曲面所包圍的空間區域V內的電量的增加量或減少量，即

上式就是電荷連續性方程的積分形式.若凈流入（出）某區域的電量為零，則意味著該區域內的電量將保持不變.對于一個結點，如果不會有電荷的堆積或空缺，換言之，不會有電量的變化，故必然有∑I=0，即流入（出）一個結點的凈電流必為零（基爾霍夫第一定律）.如前所述，將動量理解為物質型物理量意味著我們把它想象成一種“可流動的物質”，因而可以借鑒流體力學的方式來處理動量.在流體力學中，根據動量定理，分析流體質點系統與接觸它的周界之間相互作用的關系可表達為［7］

其中，V代表所選擇的控制區域；A代表該控制區域的表面積；p代表區域微元d V內流體的密度；u代表區域微元d V內流體的速度；∑F表示作用于該系統上的合外力.這樣，其實就是在單位時間內整個控制區域內動量的增量；而

式（3）表明對于物體內所取任一閉合曲面A，單位時間內流入（出）該曲面的總動量，必定等于在同一時間內該曲面所包圍的區域內動量的增加（減少）量，這就是動量連續性方程的積分形式.如果凈流入（出）某區域的動量為零，則該區域內的動量將保持不變.對于一個靜力學結構或結點，任何區域都不會有動量的變化，必然有：∑Ip=0，即流入一個靜力學結構或結點的凈動量流必為零.這類似于電學中的基爾霍夫第一定律.

為了說明前面公式中傳導動量流和運流動量流之間的區別，可以將它們與電學做一個類比.人用力推小車前行時，人作為動量泵，從地面泵出動量，通過手將動量傳遞給小車，這里在人的手臂中流動的是動量，類似于導體中電流，因此在人的手臂中的動量流可稱為傳導動量流；而風吹帆船前行時，是空氣把自身攜帶的動量傳遞給帆船而推動帆船前行的，類似于在顯像管內運動的電子流，因此這種流動空氣形成動量流就稱為運流動量流.

2　動量在物體中的流動

把動量想象成像與電荷一樣是可以流動的“流體”，那么動量在物體中又是怎樣流的呢？如圖1所示，設A板靜止在光滑的平面上，讓B物體在A板上運動，如果A與B的接觸面存在摩擦，那么B物體的動量將會減少，A板的動量將會增加，直到兩個物體的速度相同為止，且總動量保持不變.如果將其中的動量想象成如電荷一樣可以流動，并且不生不滅，這自然就會認為動量是從運動速度大的B物體經接觸面流入了運動速度小的A板，直到兩者的速度相同為止，因此動量流動的驅動力為速度差.類似于兩個不同電勢的帶電導體相接觸，電荷會從高電勢處流向低電勢處，直到兩帶電導體的電勢相同為止，電荷流動的驅動力為電勢差.

圖1　摩擦時的動量流

說明在此情形下，粘滯液體中的動量流強度與粘滯液體兩端的速度差成正比，與粘滯液體的動量阻成反比，相當于在兩個不同的電勢之間接入了一個電阻，電阻中的電流遵循歐姆定律.

如果有兩個同樣的彈性球做對心碰撞，如圖2所示.不妨設A球的動量為正，那么B球的動量為負，碰撞過程中A球的動量將由正值減少為零再減為負值，而B球的動量則從負值增加為零再增加為正值，而且總動量保持不變，這可以認為A球的動量通過接觸面逐漸地流入了B球，直到兩球都恢復原狀，動量流才會停止.如果用一個彈簧將這A、B兩球連接起來，既可以看到當彈簧被壓縮時動量從A向B的流動，還可以看到當彈簧被拉伸時動量從B向A的流動［6］.就好像電學中的LC振蕩電路，電荷會不停地在電路中來回振蕩運動，電感在電路中起到了電泵的作用，彈簧則在動量流路中起到了動量泵的作用，利用自身的彈性形變產生動量流；而A、B兩球猶如電路中的電容，在動量流路中儲存和釋放動量.而且從中可以得出以下結論：物體中動量流動的方向與動量正方向的設定和物體的形變（應力狀況）密切相關，當物體無形變時，物體中的動量流為零；當物體被壓縮（受壓應力）時，動量流流向正方向；而當物體被拉伸（受張應力）時，動量流流向負方向［6］.由于動量流是矢量，當遇到不同方向的動量流時，需要把它們分解成二維甚至三維的分量來進行討論.

假設固定在地面上的電動機（動量泵）拖拉著一物體，見圖3，物體的速度為v，處于勻速運動狀態.根據牛頓力學的觀點，該系統在水平方向上至少有4個不同的力，其中一對是通過牽引繩作用在電動機與物體之間的拉力，一對是物體與地面之間存在著的滑動摩擦力，如圖3所示.每一對力都遵循牛頓第三定律，而作用在物體上的拉力和摩擦力構成了一對平衡力，這4個力的大小都相等，因此物體勻速前進.如果設物體的運動方向為動量的正方向，那么上述事件可以描述為電動機（動量泵）從地面抽取動量，通過被拉伸的繩讓動量流入物體，物體通過與地面之間的滑動摩擦（負載）把動量再傳遞回地面，這樣動量“繞著一個回路”流動，如圖4所示，回路中各處的動量流強度都相等，沒有地方有動量的累積，因此物體水平方向的動量保持不變，物體勻速前進.這里水平方向的動量只有一個流回路，在其中流動的是動量，各處的動量流強度自然都相等.它等同于電學中的一個電源和一個電阻組成的簡單電路，各點的電流強度都相等.如果關閉電動機，物體也停止了運動，假如此時牽引繩上還有拉力，那么物體與地面之間就會有靜摩擦力，也就意味著盡管動量泵已經“罷工”，但回路中動量流依然存在，卻沒有能量的損耗，類似于電學中能量耗散為零的超導電流（electric super current），可稱之為超導動量流（momentum super current）［8］.

除水平方向外，圖4中的物體還有豎直方向的動量流.我們知道，地球附近的物體都受到地球的引力作用，因此物體與地球連線方向的引力場處于拉伸狀態［5］，而物體與地面的接觸部位則處于壓縮狀態，如果設向下為動量的正方向，那么豎直方向的動量從地球流出，經過引力場流入物體（動量流強度為mg），再從物體經接觸面流回地球，構成一個豎直方向的動量流回路.如果物體處在空中，那么經過引力場流入物體的豎直方向的動量將累積在物體中，物體的動量會一直增加，物體將在豎直方向作勻加速運動.相當于處于均勻向下的電場中的正電荷，經過電場流入電荷的向下的動量（動量流強度為q E）將累積在電荷中，電荷的動量會一直增加，電荷將向下作勻加速運動.

圖5是對載物桁架進行的動量流分析后所得到的水平方向動量流圖［6］，不僅反映了動量的流動狀況，而且尤如一幅光彈應力光圖，一眼就可看出桁架的受力（動量流）情況.

圖2　碰撞時的動量流

圖3　電動機在地面上拉物體

圖4　動量“繞著回路”流動

圖5　水平方向的動量流圖

導電材料根據傳導能力可分為導體和絕緣體.類似地，傳導動量的材料也可分為導體和絕緣體.動量的導體包括固體材料、拉伸的繩子、電磁場和引力場等.動量的絕緣體則包括軸承性能良好（能自由轉動）的輪子和空氣墊等.做氣軌實驗時，氣軌上滑塊的動量能保持很長時間不變，說明氣墊有效地阻止了滑塊的動量流失（流入地球），光滑的冰雪表面以及有良好軸承的輪子也會產生相同的效果.液體傳導動量的能力介于固體和氣體之間，一般會在不同程度上阻滯動量的傳導，且其傳導能力通常與溫度有關（其粘度隨溫度而變：粘度越高，傳導能力越強；粘度越低，傳導能力越差），可以將液體視為動量的半導體.有趣的是，我們還能夠在力學中找到與電學中的半導體二極管（單向導電）相對應的“力學二極管”（單向傳導動量）：繩子——它只能在拉伸狀態下（正向）傳導動量卻不能在壓縮狀態下（反向）傳導動量.

3　一些力學與電學關系式的類比

電荷作為一種能量載體在流動時輸送的能流強度（功率）為：P=U·I；動量作為能量載體，在流動時輸送的能流強度（功率）為：P=v·Ip= v·F［6］.

電流超載會使導體過熱，決定導線安全的因素是電流密度j（j=I/S）的大小.同樣，動量流超載時也會引起動量導體的破壞，決定工程材料安全的因素是動量流密度σ（σ=F/S=Ip/S）的大小［9］.

電容器上增加的電荷與流入電荷前后的電勢增量的關系為：Δq=CΔU.物體上所增加的動量與流入動量前后的速度增量的關系為：Δp=mΔv.可見物體的質量實際上還反映了物體儲存動量能力的大小，所以質量可看作物體的動量容［8］（momentum capacity）.反過來類比，由于質量是物體運動慣性的量度，因而電容也可認為是電容器電勢慣性（potential inertia）的量度［6］.

通過上述可以明顯地看出，以動量為中心物理量來描述力學可以凸顯出力學過程與電學過程之間的相似性，為二者之間的類比敞開了大門.運用類比，各個力學量和電學量一一對應起來，而且力學量之間的關系與相應的電學量之間的關系具有相同的數學表達式，從而反映出客觀世界的統一和諧.當然，類比作為一種平行式思維的方法，并不是萬能的，受到自然事物獨特性的限制，力學與電學畢竟分屬不同的學科分支，具有各自的特性，類比時要注意不同物理量之間的差別.比如，電學中的電勢、電流是標量；然而力學中的速度、動量流卻都是矢量，因此當遇到不同方向的動量流時，需要把它們分解成二維甚至三維的分量來進行討論，需要有一定的空間想象能力.因此只有既掌握好不同學科之間的共性，又掌握好它們之間的個性，才能使我們對客觀事物的認識更加全面深刻.

4　結語

將傳統力學中的主要物理量力理解成動量流（強度）可以為人們提供一種研究力學的新方法.這種新方法不僅使力學自身的面貌一新，而且有助于在力學與電學（實際上還有其他分支學科）之間開展類比.將類比方法引入物理教學可以幫助師生從不同的視角去觀察和認識我們周圍的世界和宇宙，拓寬他們的視野和思路，激發他們的創新意識和創新能力.通過掌握這些新建立起來的概念、規律和方法，不僅有利于力學教學，還有利于人們在新的高度上重新認識整個物理學.

［1］ 程守洙，江之永.普通物理學［M］.6版.北京：高等教育出版社，2006.

［2］ 吳國玢.淺談德國KPK物理教材的基本特點［J］.物理與工程，2010，20（5）：6-9.

［3］ Falk G.Was an der physik geht jeden an？［J］.Phys Blatter，1977（33）：616-620.

［4］ 吳國玢.關于德國KPK物理課程教學實驗中若干問題的討論［J］.物理與工程，2011，21（3）：43-45.

［5］ Herrmann F.德國卡爾斯魯厄物理課程中文版力學［M］.戚華，改編.上海：上海教育出版社，2009.

［7］ 許賢良，王開松，孟利民.流體力學［M］.2版.北京：國防工業出版社，2011.

［8］ Herrmann F，Schmid G B.Analogy between mechanics and electricity［J］.Eur Phys，1985（6）：16-21.

［9］ 吳國玢.動量流強度和動量流密度及其破壞作用［J］.物理與工程，2012，22（1）：47-51，55.

A BRIEF DISCUSSION ON THE ANALOGY BETWEEN RELEVANT PROPERTIES OF MOMENTUM CURRENT AND THOSE OF ELECTRIC CURRENT

Huangfu Quansheng Wu Guobin Gu Zhengtian
（College of Science，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093）

There exist some similar or even identical characteristics between the different branches of physics，which make the analogy between them possible.The analogy between mechanics and electricity is briefly discussed in this paper.Therefore，the concept of momentum current is introduced after the extensive quantity momentum has been taken as the central quantity in mechanics.Then，the analogies between such corresponding quantities in these two branches as electric charge and momentum，electric current and momentum current，potential difference and velocity difference，electric resistance and momentum resistance，electric capacity and momentum capacity，and the corresponding calculation formulas（relationships between the quantities）are simply conducted in the paper.As a result，the similarity or comparability between mechanics and electricity，and the internal connection of cosmic matters are highlighted.It is therefore anticipated that such analogies should not only be conducive to opening up new horizons for both teachers and students，activating their innovative ideas and hence promoting the teaching of physics，but also be beneficial for improving people，s cognitive level of mechanics and even whole physics itself.

analogy；mechanics；electricity；momentum current；substance-like quantities

2015-10-10；

2015-12-03

2016年度教師教學發展研究項目（CFTD1605DY）；上海理工大學“精品本科”系列教材——《大學物理基礎》項目支持（編號2015-JPBKJ-018）.

皇甫泉生，男，講師，主要從事大學物理教學科研工作. hufken@163.com