傅里葉變換基本性質的物理詮釋

唐榮安　洪學仁　徐紅萍　高吉明　豆福全（西北師范大學物理與電子工程學院，甘肅蘭州 730070）

傅里葉變換基本性質的物理詮釋

唐榮安洪學仁徐紅萍高吉明豆福全
（西北師范大學物理與電子工程學院，甘肅蘭州 730070）

數學物理方法是物理學專業基礎課，其中的積分變換部分也是工程技術專業的基本教學內容.在該課程中，傅里葉變換往往是積分變換法教學的首要內容，而傅里葉變換的基本性質則是該部分的重點，也是其產生廣泛應用的關鍵原因.本文從振動的合成與分解、物理學量綱分析等角度對傅里葉變換的線性定理、延遲定理、位移定理、標度變換定理、微分定理及卷積定理共6條基本性質進行了物理學詮釋.對學生深刻理解和靈活運用傅里葉變換法解決物理問題、進行信號頻譜分析大有裨益；對學生學習后續的量子力學、信號與系統等課程亦有幫助.

傅里葉變換；物理詮釋；數學物理方法

作為物理學專業必備的數學物理方法之一和工程類的重要分析手段，傅里葉變換不僅在求解數學物理方程和信號分析中發揮著極為重要的作用［1-7］，而且與量子力學中的表象變換有一定的關聯性［1，2，8］，對后續的量子力學、信號與系統等課程教學有較大影響.在教學過程中，傅里葉變換往往是積分變換法部分的教學切入點.傅里葉變換擁有良好的基本性質，這是決定其重要性和廣泛應用的關鍵因素之一.因此傅里葉變換的基本性質是教學中的重點內容.當前的教材在介紹傅里葉變換的基本性質時，都是基于基本的數學證明，而缺乏深入的物理剖析.如果站在數學物理學科方法論的角度考慮［1］，筆者覺得非常有必要進行這方面的教學研究，同時這對于學生掌握并靈活應用傅里葉變換、學好物理學也非常有益.為此，筆者結合學生的知識結構（學生學習這門課一般在第三學期，具備了一些基本的力學基礎知識和方法，而量子力學和更高深的理論物理還沒有接觸到），利用物理學中振動的合成分解原理、量綱分析等對傅里葉變換的線性定理、延遲定理、位移定理、標度變換定理、微分定理及卷積定理共6條基本性質進行了詮釋.

1　傅里葉變換的數學形式及物理對應

在進行性質的詮釋之前有必要給出傅里葉積分及傅里葉變換，傅里葉積分表述為

其中

式（2）就是通常所說的傅里葉變換，即

上述表達式及下文中傅里葉變換基本性質的數學敘述均摘自楊孔慶老師編寫的《數學物理方法》教材［1］.

為了便于分析，這里從振動的角度出發，首先給出上述表達式的物理對應.如果把式（1）中的變量x和k分別視為時間和頻率的話，則f（x）可以視為振動信號，而傅里葉積分式（1）代表振動的分解，即將復雜運動分解為簡諧振動的線性疊加［5］，而傅里葉變換式（2）代表分解式（1）中各簡諧振動前的系數，稱為頻譜［4］.這里需要注意3點：（1）將f（x）視為振動信號并不意味著f（x）一定是周期的，f（x）亦可以是非周期信號；（2）這里的簡諧振動采用復數形式的運動方程eikx；（3）這里的分解系數即頻譜具有類似于權重的意義，但其取值則在復數范圍內，并不局限于正實數.由于這里側重于對傅里葉變換基本性質的物理理解而非嚴格的數學證明，為了能從振動的角度更容易理解問題，將分解系數（頻譜）稱為“權數”，從而傅里葉變換式（2）代表分解式（1）中各簡諧振動的權數.同時為了方便，在下文中我們將分解式（1）中的各簡諧振動稱為f（x）的各分振動.

下面基于以上物理對應對傅里葉變換的6個基本性質進行物理詮釋.

2　傅里葉變換基本性質的物理詮釋

2.1線性定理

性質敘述：設α1，α2為任意常數，有

物理學詮釋：基于1節中的物理對應，線性定理式（3）變得易于理解：α1f1（x）+α2f2（x）代表振動的線性組合，考慮到振動分解式（1）的思想，α1f1（x）+α2f2（x）所對應的分振動權數F［α1f1（x）+α2f2（x）］必是f1（x）和f2（x）分振動權數F［f1（x）］和F［f2（x）］的線性組合α1F［f1（x）］+ α2F［f2（x）］，從而式（3）成立.

2.2延遲定理

性質敘述：

物理學詮釋：采用1節中的物理對應，x0的出現，即x-x0表征了計時起點的改變，對一振動信號而言，表征相位的移動.對基本的簡諧振動，相位的移動量是-kx0，引起運動方程的改變量為e-ikx0.根據振動的分解原理，f（x-x0）分解成各簡諧振動時，各簡諧振動均會產生e-ikx0（亦可由式（1）直接看出），即f（x-x0）的分解權數F［f（x-x0）］等于f（x-x0）的分解權數F［f（x）］乘以e-ikx0，從而延遲定理式（4）成立.

2.3位移定理

性質敘述：

物理學詮釋：采用1節中的物理對應，當給f（x）乘以eik0x時，引起相位的增加，即f（x）eik0x各簡諧分振動的相位較之f（x）多出了k0x，從而引起f（x）eik0x的權數分布F［f（x）eik0x］較之f（x）的權數分布F［f（x）］=C（k）發生了平移（若頻率k0＞0則藍移，若頻率k0＜0則紅移），平移的頻率量為k0，即有F［f（x）eik0x］=C（k-k0），式（5）成立.

2.4標度變換定理

性質敘述：當變量x→x′=ax，a≠0時，則有

2.5微分定理

性質敘述：若|x|→∞時，有f（x）→0，f（n-1）（x）→0（其中n=0，1，2，…）則

物理學詮釋：采用1節中的物理對應，傅里葉積分式（1）代表振動的分解，即將復雜運動分解為簡諧振動的線性疊加，當給f（x）求導時，各分振動均會因此而出現i k，從而分振動權數變為i k倍，即有F［f′（x）］=i k F［f（x）］，式（7）成立.式（7′）的理解類似.該性質亦可與量子力學中的動量算符建立一定的關聯［7］，因此該性質的物理詮釋對學生理解后續量子力學課程中的動量算符很有好處.

2.6卷積定理

性質敘述：

其中

稱為函數f1（x）和f2（x）的卷積，它是x的函數.

物理學詮釋：首先將卷積式（9）中的f1（x-ξ）和f2（ξ）進行振動分解，有

其中，C1（k1）=F［f1（x）］，C2（k2）=F［f2（x）］，式（10）中e-ik1ξ的出現是由于ξ引起的相移而導致，即延遲定理1.2.

其次利用式（10）和式（11）可給出由基本簡諧振動合成的卷積

由此可見C1（k1）C2（k1）就是卷積f1（x）*f2（x）振動分解時各簡諧振動的權數，即F［f1（x）*f2（x）］= F［f1（x）］F［f2（x）］.

該基于物理思想結合運算給出的卷積定理的論述亦可單獨作為卷積定理的數學證明，而該證明完全不同于目前的教材［1，2，4，6］.

3　結語

綜上所述，傅里葉變換具有線性定理是因為振動的分解、簡諧振動的線性疊加原理，延遲和位移定理則是由于時間或坐標的平移引起簡諧振動的相位變換，從而出現e-ikx0或eik0x，通過量綱分析可以看到因為時間的單位變換而引起頻率及分振動權數的單位變換，從而有標度變換定理，微分運算作用在每一個分簡諧運動上會產生i k導致了微分定理，而卷積定理則可利用振動的分解及位移定理進行分析.這些性質也可從其他角度出發來嘗試理解，比如Hilbert空間、量子力學的表象變換等，但本文的分析較符合學生已有的知識結構.

在教學中進行傅里葉變換的物理詮釋不僅能加深學生對以前所學振動、量綱分析等物理知識和方法的理解，提高學生靈活運用積分變換法處理物理問題的能力，而且對后續量子力學、信號與系統等課程的學習很有幫助.

［1］ 楊孔慶.數學物理方法［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［2］ 姚端正，梁家寶.數學物理方法［M］.2版.武漢：武漢大學出版社，1997.

［3］ 劉秉正，彭建華.非線性動力學［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［4］ 張元林.積分變換［M］.4版.北京：高等教育出版社，2003.

［5］ 漆安慎，杜嬋英.力學［M］.2版.北京：高等教育出版社，2005.

［6］ 梁昆淼.數學物理方法［M］.4版.北京：高等教育出版社，2010.

［7］ 吳崇試.數學物理方法［M］.北京：北京大學出版社，1999.

［8］ 周世勛.量子力學教程［M］.北京：高等教育出版社，1979.

PHYSICAL EXPLANATION FOR THE BASIC PROPERTIES OF FOURIER TRANSFORM

Tang Rong'an Hong Xueren Xu Hongping Gao Jiming Dou Fuquan
（College of Physics and Electric Engineering，Northwest Normal University，Lanzhou，Gansu 730070）

Methods of mathematical physics is a basic professional course in physics，In which the integral transform is the basic teaching content in the field of engineers technology.In the course，Fourier transform is always arranged as the primary content in the chapter of integral transforms.Basic properties of Fourier transform are the key points in this part and the critical reason for its wide range of applications.By using the synthesis and decomposition of vibration and the physics dimension analysis，this paper presents the physical interpretation of six basic properties of Fourier transform consisting of linearity theorem，shifting theorem，translation theorem，scaling theorem，derivative theorem and convolution theorem.The discussion and results can not only help the students easily use Fourier transform in physics and signal analysis，but also help them understand the subsequent contents learned in the quantum mechanics，signals and systems，and other physical theories.

Fourier transform；physical explanation；methods of mathematical physics

2015-10-04

國家自然基金項目（11365020，2014.1-2017.12）；甘肅省高等學校基本科研業務費項目（極端條件下電子、離子及原子動力學特性研究，2013.1-2015.12）；西北師范大學教學研究重點項目（物理學專業“云亭班”教學計劃實施效果跟蹤，2013.7-2015. 7）；西北師范大學教學研究項目（少數民族學生“數學物理方法”多元模式教學探究，2013）

唐榮安，男，副教授，主要從事數學物理方法和力學等課程的教學及研究工作.tangra79@163.com