利用數學史料 提升數學素養

著名數學史家M·克萊因提出“歷史是教學的指南”。數學史料就是數學的歷史，它自然就是數學教學的指南。教研員邵漢民老師自2008年開始，就致力于數學史料有效利用于數學課堂的實踐研究，經歷了學習、整理、教育學化與教學實踐等幾個階段，積累了一些資料與教學經驗。對此，本刊特邀請邵漢民老師及其團隊組了一組專題，供大家參考。

【摘 要】數學史料是重要的數學背景性知識，數學史料為我們揭示數學知識的產生、形成與發展的過程。依據課程標準，結合教材內容，分析學生學情，把數學史料與數學知識點之間建立聯系，創設數學史情境，設計教學流程，或把數學史料滲透于教學環節中，或融入于數學探究中，或作為課程開發的重要資源。讓數學史料成為提升學生數學素養的不竭源泉。

【關鍵詞】數學史料 數學素養 教學策略

數學是人類文化的重要組成部分。數學的背景知識——數學史料，是體現數學文化氣息的重要載體，從數學教材內容出發，收集、整理與數學知識相對應的數學史料，依據數學史料所提供的背景知識，創設具有濃厚的數學文化氣息的問題情境，學生在數學學習過程中，不僅學到了數學知識與技能，也受到了數學的文化熏陶。基于這樣的認識，近年來，筆者就如何有效利用數學史料，提升學生的數學素養展開了實踐研究，總結了如下的教學策略。

一、滲透式教學

（一）直接引用

在數學史料中，有一些古人在長期的實踐研究中積累的經典數學定義、法則與定理，雖然隨著數學的發展，被埋入歷史的塵埃，但是，如果能夠進行合理的引用，卻可以揭示數學的本質，加深對數學的理解。

例如教學“圓的認識”時，在學生已經理解了圓心、半徑與直徑的概念之后，教師談話引入：

很早以前，人們就對圓進行了研究，發現了圓的規律。如春秋戰國時期的一位大思想家墨子就對圓進行了研究，在他的一本著作《墨子·經上》中對圓有這樣的描述：“圓，一中同長也?！保ń處煱鍟┱l能解釋這句話的意思？

把墨子對圓的定義作為小結，很巧妙地把數學史有機地滲透于數學教學之中，相得益彰，使數學教學更有了一種文化的厚重感。這樣的例子還有一些，如圓周率的近似值“周三徑一”，描述圓的特征的“圓出于方”，試商的方法“折半商五”等等。

（二）創設情境

數學史料記錄了許多數學概念在形成過程中的各種曲折與探索，教師可以根據學生的認識水平，創設情境，再現數學符號、法則與定律的形成過程，引導學生進行更加生動與深刻的數學思考。

例如，為加深學生對數學符號的社會約定性的初步認識，教師在介紹“+”的由來時，創設了如下的問題情境。

①教師出示：已知5⊥3=8，求8⊥5=（ ）

②學生獨立完成后校對，并說出思路。

③提問：這題中的“⊥”相當于我們學過的哪一個運算符號？

④追問：如果全世界都用“⊥”代替原來的這個運算符號，你說可以嗎？為什么？

⑤教師講述“+”的由來。

數學中的運算符號是數學語言的重要組成部分，是一種世界通用的語言。但是在數學發展的某些階段，它并不是統一的。通過上面的情境設置，可以讓學生體會到數學符號由多元走向統一的過程。

從上例中也體現了我們的一個觀點，滲透數學史知識不是簡單地介紹它的歷史，而是要讓學生感受到數學發展的軌跡，體會數學的形成過程。

（三）習題改編

習題是數學教材的重要組成部分，為使習題更有人文氣息，對于部分習題可以依據它們與相關數學史料的聯系，進行適當的補充與改編，用數學史料潤色平淡的數學題目。

如人教版數學二年級上第31頁第12題（如下圖）。

完成本題之后，可以把它改編為“洛書”。

完成第12題后，教師出示一個由1至9九個數組成的九宮格（下左圖），請學生觀察是不是也有第12題一樣的規律？

再出示“洛書”投影（下右圖），問這像什么？它與我們剛才填的九宮格有什么聯系？你喜歡看哪一幅圖？

最后，教師講述“洛書”的傳說。

依據數學史料改編習題，可以豐富習題的文化內涵，使得習題變得更加生動，提高學生解題的興趣。

（四）創編故事

我們這里的數學故事是從數學史料中引用或由數學史料加工而得到的故事，它既具有數學性，又具有趣味性與教育性。

如一上年級學生在學習了“10以內數的認識”之后，教師結合具體的圖片，向學生講述數字的由來。

教師首先依次出示如下圖片，分別講述在沒有數字之前，古人是如何記錄數量的。

再請學生評一評，與我們用數字記錄相比，有什么不方便的地方？接著教師出示如下數字。

教師引導學生進行比較，我們現在用的1～9這幾個數碼與圖中的記數方法有什么相似的地方，與它們相比又有什么優點？

數學知識的形成經歷了一個漫長的過程，把這一過程進行梳理、提煉、創編，就形成了一個個數學故事。數學故事，不是數學史料的直接引用，而是結合學生的年齡特點，進行了必要的加工與概括的數學史料。

（五）引用解題方法

解題方法既是解決問題的工具，也是解決問題的過程。在數學史料中，記錄著一些現在已經不通用，但又可以拓展學生思維空間的解題方法，在合適的時機向學生介紹這樣的解題方法，可以拓展學生的數學思路。

如在《九章算術》中，計算圓環面積時用的方法是“并中外周而半之，以徑乘之為積步”。也就是用“圓環面積=（內圓周長+外圓周長）×圓環寬÷2”這種思路，其實質是把圓環“伸直”，使它成為等腰梯形，然后按梯形的面積計算公式的形式來進行計算，很有想象力。在六上年級學習了圓環的面積計算方法之后，教師可以介紹這一種方法，并請學生說明這樣做的理由，再通過推理驗證這樣計算也是正確的。

這樣的例子還有一些，如三角形面積計算公式推導中劉徽的“出入相補法”，多位數乘法中的“鋪地錦”，測量時間中的“刻漏”等。

二、融入式教學

（一）融入問題解決之中

《義務教育數學課程標準（2011年版）》強調“讓學生親自經歷將實際問題抽象成數學模型進行解釋與應用的過程”。為此，教師在鉆研教材時，要不斷地追問：這些數學知識是如何形成的？它包含著哪些數學背景知識？它蘊含著怎樣的數學思想？

《九章算術》對分數作了這樣的定義：“（實）不滿法者，以法命之”。劉徽對此注云：“凡實不滿法者而有母子之名”。稍后問世的《孫子算經》講得更加明白：“凡除之法，……實有余者，以法命之，以法為母，實余為子?！?/p>

從文獻對分數產生的理解，分數是為了使除法得以普遍施行而引進的新數。與教材的引入相比，更能體現出數學在解決實際問題時進行的自我建構的軌跡（見下圖）。

對要求學生掌握的數學概念、法則與公式，通過文獻資料的查詢，搞清在“成形”之前人們對它們的認識歷程，并結合學生已有的生活經驗與認識基礎組織教學，讓學生重走數學的探究之路。

（二）融入規律探究之中

小學數學的概念、定義、法則的產生與形成，大多經歷了漫長的歷程，在課堂上讓學生真實地經歷這樣一個過程，是不可能也是沒有必要的。在設計數學探究的過程時，我們通過閱讀相關的數學史料，再結合學習現實，確定哪些過程適合于學生探究，哪些過程只要學生讀史了解。

如圓周長的精確測量是一個千古難題，在對這個難題的破解中，人們發現了圓周率，并經歷了實驗時期、幾何法時期、分析法時期、計算機時期這四個時期。當然，要在短短的40分鐘內讓小學六年級的學生親身探究這樣的一個過程，無論從時間與已有的知識基礎來說都是做不到的。我們可以做的是，創設情境，在經歷了用實驗法只能得到圓周率的大致值的體驗之后，介紹之后的關于圓周率的研究成果與方法。

數學探究的過程是曲折、漫長的，在數學發展的歷史長河中，數學規律的發現一般經歷猜想、實驗、證明與公理化，就小學數學知識的獲得，更多地依靠觀察操作，再通過不完全歸納和合情推理來獲得，也就是數學史料中記錄著的數學產生與形成的初始階段。

（三）融入探究策略之中

數學探究的過程，既是對學習材料的分析與加工的過程，更是創新數學思維的過程。在數學探究過程中，不同的探究視角，可以得到不同的數學思考過程。以史為鑒，可以尋找到全新的數學探究策略。

《九章算術》關于圓面積計算公式是：半周乘半徑。這個公式是怎樣推導的？《九章算術》中沒有記載。筆者又查閱到，比《九章算術》更早的一本數學著作《周髀算經》中記載著“圓出于方”，就是說圓可以由正方形不斷地切割得到，即圓可以看成是一個邊數無限的“正多邊形”。那么，是否可以從求多邊形的公式中推導呢？依據這樣的假設有了如下的推導思路。

綜合可知，融入式教學是滲透式教學的深入，它關注的是從數學史料中尋找數學探究的因子，設計新知學習的新思路。

三、課程拓展式教學

（一）延伸教材中的數學素材

數學活動需要借助于一定的活動素材，活動素材可以是具體的實物，可以是現實的問題，還可以是抽象的數字或符號等。如人教版三年級上的“擲一擲”，五年級下的“哥德巴赫猜想”，六年級下的“七橋問題”等，都是借助于一定的活動素材開展的數學活動。進一步，可以適當延伸這些教材中的數學學習材料，可以進一步拓展數學學習的空間。

例如，把三年級上“擲一擲”中的活動材料——骰子從2顆增加到3顆，就可以提出新問題，形成新的數學活動了，題目如下。

同時任意擲3顆骰子，比較出現點數和為9與出現點數和為10的可能性的大小。

這是流傳在歐洲的古老問題。由于被偉大的科學家伽利略解答過并作為推廣“枚舉法”的一個典型例子而更加有名。

教師可以在回顧教材中的“擲一擲”的問題之后，出示上面的題目，并介紹題目的作者與作者簡介，然后讓學生以四人小組為單位，在獨立完成的基礎上進行交流討論，展示以下三次窮舉。

（1）第一次窮舉——分別窮舉出點數和是9或10的組合

和是9的點數組合是：（1，2，6）（1，3，5）（1，4，4）（2，2，5）（2，3，4）（3，3，3）；和是10的點數組合是：（1，3，6）（1，4，5）（2，2，6）（2，3，5）（2，4，4）（3，3，4）。繼而產生新的疑惑：組合的組數都是6組，到底哪種點數和獲勝的可能性大呢？

（2）第二次窮舉——窮舉三類不同點數組合的實際操作的不同結果數

從實例（1，2，6）（1，4，4）（3，3，3），到通例（a，b，c）（a，a，b）（a，a，a），得出通例分別有6種、3種、1種結果。

（3）第三次窮舉——窮舉實際操作時可能的結果數

先通例與實例一一對應，再計算得出結果數。“點數和是9”在實際操作中可能的結果數：6×3 + 3×2 + 1=25種；“點數和是10”在實際操作中可能的結果數：6×3 + 3×3=27種。

數學課程的拓展，首先要基于教材，在完成教材基本任務的基礎上，依據數學史料，對相關的學習活動進行適當延伸，進一步提升學生的數學思維水平，也有利于數學活動經驗的積累與基本數學思想的形成。

（二）充實教材中的數學內容

數學教材是最基礎的、為后續學習所必須的數學內容的集合。顯然，數學內容遠不止教材中的內容。教師可以在充分鉆研教材的基礎上，對教材相關的內容進行充實，拓展學生的數學視野，豐富學生對數學的理解。

如四年級下介紹了“十進制計數法”。“十進制計數法”是“位值制計數法”中的一種特殊情況。所以，要真正理解“十進制計數法”需要從理解“位值制計數法”入手，體會“位值制計數法”的優越性，然后再將“其他位值制計數法”與“十進制計數法”進行比較，體會“十進制計數法”的優越性。

著名數學教育家弗賴登塔爾曾經說過：“沒有一種數學的思想，以它被發現時的那個樣子公開發表出來。一個問題被解決后，相應地發展為一種形式化技巧，結果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發明變成了冰冷的美麗?！痹跀祵W知識形成之初，不論它的發現過程、抽象方式或表達形式，都帶著地域特點與個性特征。隨著人類的交往范圍的不斷擴大，這些數學知識也得以不斷交流，不斷完善，這應該就是“火熱的發明”的過程吧。

（三）開發數學課程

數學教材并不是學生學習數學的唯一材料。因此，除了可以結合數學教材進行延伸與補充外，也可以依據掌握的數學史料進行數學拓展課程開發。從數學史料中尋找數學課程資源，可以極大地豐富數學教學資源。

數學拓展課程的開發，需要依據學情，遵循課標，并圍繞某一個專題，形成一定的系列。如筆者以“常見的量”為專題，與一所學校的數學老師合作，開發了校本教材《度量衡的記憶》，課程分成兩大部分，第一大部分是《“度量衡”回眸》，分成“度”“量”“衡”“時”“幣”五個專題，介紹小學教材中這五類計量單位的發展歷史。第二大部分是《“度量衡”的課例》，結合教學內容，在一至六年級每一個學期安排一個或兩個課時的教學內容。這些內容由于更多的是從人文與歷史的角度來編寫，可讀性強，教學有趣味，適合在全班進行教學。

另外，也可以開發數學社團活動資料，主要針對學有余力的學生，如筆者與教師團隊一起，收集古今中外的并有一定故事背景的數學名題，編成《數學名人名題》系列叢書，既可以作為學生的課外閱讀材料，也可以作為教師的社團活動教材。

總之，數學史料的有效利用，首先要對數學史料進行整理與充分理解；其次要對數學史料進行“教學化”，即與日常的數學教學相滲透或相融合；另外也可以把數學史料“課程化”，編寫專門的數學延伸課程，供不同層次的學生閱讀與開展活動所用。讓數學史料成為提升學生數學素養的不竭源泉。

（浙江省杭州市蕭山區所前二小 311200）