數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中解決問題的變式教學(xué)初探

韓旦

解決問題的變式，就是改變解決問題的呈現(xiàn)形式——變一般式為特殊式、變標(biāo)準(zhǔn)式為相似式、變定型式為活動(dòng)式。這種變式教學(xué)，旨在突出解決問題中數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)，訓(xùn)練學(xué)生在多變繁雜的情形中準(zhǔn)確審題和靈活解答的能力。即：將解決問題看作一個(gè)整體，一般包括事理、情節(jié)、關(guān)系、結(jié)構(gòu)、條件、問題、數(shù)量等因素，現(xiàn)著重介紹其中的幾種。

一、應(yīng)用解決問題過程中的條件變式

解決問題的條件，就是解決問題所反映的有關(guān)事情的存在和狀況。解決問題中的條件一般有直接條件和間接條件、外顯條件和潛在條件、具體條件和抽象條件、必要條件和多余條件，教學(xué)中宜依據(jù)具體情況對上述四對條件進(jìn)行相互變式。

（1）直接條件和間接條件。直接條件是可直接參加列式計(jì)算的已知條件。如：“正方體的棱長是3厘米，那么這個(gè)正方體的體積是多少？”題中條件為直接條件，而間接條件則需變式后方可列式計(jì)算。如：“用一根長36cm的鐵絲焊接成一個(gè)正方體，那么這個(gè)正方體的體積是多少？”題中“一根長36cm的鐵絲”是間接條件。

（2）外顯條件和潛在條件。明顯外化的已知條件是外顯條件。一般地，直接條件和間接條件均是外顯條件。隱蔽內(nèi)化的已知條件則是潛在條件。如：“一只手表分針長2cm，分針11：00走到12：00，問：分針的尖端走過的路程是多少厘米？”這里的條件中“分針從11：00走到12：00”指的就是“分針走了1小時(shí)，也就是走了一圈”。

（3）具體條件和抽象條件。具體條件是含有數(shù)量或倍率的已知條件。如：“長青橋小學(xué)有一塊面積是490平方米的長方形苗圃，苗圃長35米，寬是多少米？”而抽象條件就是不含有數(shù)量或倍率而僅用句子陳述的已知條件。如歸一問題：“李師傅5天加工50個(gè)零件，照這樣計(jì)算，加工200個(gè)零件要用多少天？”

（4）必要條件和多余條件。解題時(shí)必不可少的已知條件是必要條件。如“把一根長36厘米的鐵絲圍成一個(gè)最大的正方形，求這個(gè)正方形的面積”中的“最大”就是不可缺少的。對解題過程沒有作用的已知條件稱之為多余條件。如：“小明家有14只雞和5只鴨。公雞有6只，母雞有幾只？”本題的問題是求母雞的只數(shù)，只要知道總的雞數(shù)和公雞的只數(shù)就可以求出，算法是14-6=8（只）。題目中的一個(gè)條件“5只鴨”沒有用到，是一個(gè)多余條件。

二、應(yīng)用解決問題過程中的問題變式

解決問題中的問題，就是解決問題中所反映的有關(guān)事情的矛盾和任務(wù)。

（1）級變。即把一級（個(gè)）問題“折”為二級（個(gè)），或?qū)⒍墸▊€(gè)）問題“合”為一級（個(gè)）問題。如：

〔原題〕四（4）班男女學(xué)生之比是5：4，男生比女生多5人。男生與女生分別有多少人？

〔變題〕四（4）班男女學(xué)生之比是5：4，男生比女生多5人。男生與女生一共有多少人？

（2）恒變。即進(jìn)行非本質(zhì)屬性的變式。如：

〔原題〕小明有一本120頁的故事書，看了5天，每天看8頁，小明已經(jīng)看了多少頁？

〔變題〕小明有一本120頁的故事書，看了5天，每天看8頁，還剩下多少頁沒有看？

（3）異變。即進(jìn)行本質(zhì)屬性的變式。如：

〔原題〕一個(gè)長方體玻璃魚缸，長50厘米，寬40厘米，高30厘米。這個(gè)魚缸能夠放入多少水？

〔變題〕一個(gè)長方體玻璃魚缸，長50厘米，寬40厘米，高30厘米。做這個(gè)魚缸至少需要玻璃多少平方厘米？

原題中求的是“長方體的體積”，而變題中求的是“長方體五個(gè)面的面積”。

三、應(yīng)用解決問題過程中的事理變式

解決問題的事理，就是解決問題所反映的有關(guān)事情的含義和性質(zhì)。小學(xué)的解決問題，大多反映日常生活和生產(chǎn)方面的事情，有的是學(xué)生親身經(jīng)歷過的，有的是學(xué)生從未看到或聽到過的。因此，事情的熟悉和生疏對解決問題思路的形成有一定影響。如分?jǐn)?shù)工程問題的事理，它不只局限于工程問題方面的題材，其他如修路、燒煤、行程、買賣、看書等題材，只要符合工程問題的特征，并具有“工程量÷合效率=合時(shí)間”性質(zhì)，都可以進(jìn)行事理變式。如：

〔原題〕甲、乙二人同時(shí)從相距38千米的兩地相向行走，甲每時(shí)行3千米，乙每時(shí)行5千米，經(jīng)過幾時(shí)后兩人才能相遇？

〔變題〕

1.甲地到乙地的公路長436千米。兩輛汽車從兩地對開，甲車每小時(shí)行42千米，乙車每小時(shí)行46千米。經(jīng)過幾小時(shí)兩車相遇？

2.電視機(jī)廠要裝配2500臺電視機(jī)，兩個(gè)組同時(shí)裝配，一個(gè)組每天裝配132臺，另一個(gè)組每天裝配118臺，需要幾天完成？

3.甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)從兩端開挖一條1000米長的水渠，甲隊(duì)每天挖48米，乙隊(duì)每天挖52米，這條水渠多少天能夠完成？

……

四、應(yīng)用解決問題過程中的結(jié)構(gòu)變式

解決問題中的結(jié)構(gòu)，就是解決問題中所反映的有關(guān)事情的關(guān)聯(lián)和排列，即解決問題的條件之間、條件與問題之間的搭配及序列安排。基本的解決問題中的結(jié)構(gòu)特征是“兩條件加一問題”構(gòu)成三量關(guān)系，因此一步計(jì)算的解決問題中的結(jié)構(gòu)不外乎兩種：順向結(jié)構(gòu)——客觀表述與主觀思維的方向一致，逆向結(jié)構(gòu)——客觀表述與主觀思維的方向相反。學(xué)生解答逆向結(jié)構(gòu)的解決問題往往比解答順向結(jié)構(gòu)的解決問題要難些。如：

〔原題〕小華在書店買了8本筆記本，5元一本，一共用去多少元？

〔變題〕小華在書店買了8本筆記本，用去40元，每本多少元？

原題的表述順序與學(xué)生的思維方向相同，1本筆記本的價(jià)錢→8本筆記本的價(jià)錢。變式題改變了陳述的順序，思考難度就變大了。

復(fù)合問題的結(jié)構(gòu)主要有并列結(jié)構(gòu)和偏正結(jié)構(gòu)兩種，而逆向結(jié)構(gòu)和順向結(jié)構(gòu)包含其中。如歸一問題就是典型的并列結(jié)構(gòu)，而平均問題有偏正結(jié)構(gòu)，也有并列結(jié)構(gòu)。如：

〔原題〕小軍看一本故事書，5天分別看10頁、12頁、11頁、14頁、13頁。平均每天看多少頁？

〔變題〕

1.小軍看一本故事書，前2天看了22頁，后3天看了38頁。平均每天看多少頁？

2.小軍看一本故事書，前2天看了22頁，比后3天少看16頁，平均每天看多少頁？

上面三題中，原題屬偏正結(jié)構(gòu)，變題1屬并列結(jié)構(gòu)，這兩題內(nèi)部都包含了順向結(jié)構(gòu);變題2屬并列結(jié)構(gòu)，其內(nèi)部又有順向結(jié)構(gòu)和逆向結(jié)構(gòu)兩種。

結(jié)構(gòu)變式主要有三種形式：

（1）順逆互變。即把順向結(jié)構(gòu)改變成逆向結(jié)構(gòu)，或者是將逆向結(jié)構(gòu)改變成順向結(jié)構(gòu)。

（2）前后互置。即打亂解決問題中已知條件的排列順序或方法。

（3）因果互調(diào)。即把求得的問題當(dāng)作條件，要求的其中一個(gè)問題設(shè)在“條件部分”。如：

〔原題〕甲車間15人，乙車間19人。每人加工8個(gè)零件。兩個(gè)車間一共加工多少個(gè)零件？

〔變題〕甲車間15人，（ ?）。每人加工8個(gè)零件。兩個(gè)車間一共加工272個(gè)零件？

……

變式教學(xué)可以讓教師有目的、有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，可以幫助學(xué)生把所學(xué)的知識點(diǎn)融會(huì)貫通，從而讓學(xué)生在無窮的變化中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。總之，教師要不斷更新觀念，因材施教，繼續(xù)完善“變式”教學(xué)模式，最終達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的，為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。