含梯度項的橢圓方程組的邊界爆破解

李華，馬飛遙

（寧波大學理學院，浙江 寧波　315211）

含梯度項的橢圓方程組的邊界爆破解

李華，馬飛遙

（寧波大學理學院，浙江 寧波315211）

研究了含梯度項的橢圓方程組的邊界爆破解的性質，其中權函數a(x)，b(x)為正并且滿足一定的條件.利用上下解的方法及比較原則證明了正解的存在性與唯一性，并得到了邊界爆破速率的估計.

橢圓方程組；梯度項；邊界爆破

1　引言

主要考慮如下的含有梯度項的橢圓方程組：

其中 λ，t＞0，p，s＞1，q，r＜0，(p-1)(s-1)-qr＞0，?∈RN為一個有界光滑的C2區域.a，b∈Cη是非負權函數，η∈(0，1).邊界條件u=+∞，v=+∞，x∈??，表示當d(x)→0+時，u(x)→∞，v(x)→∞，其中d(x)=dist(x，??).

當λ=t=0時，方程組變為

此方程組已在文獻［1-3］中被廣泛研究.其中Meli′an在文獻［1］中研究了a(x)=b(x)=1這種特殊情況下，方程組在三種不同的Dirichlet邊界條件：(F)u=λ，v=μ，(I)u=v=+∞與 (SF)u=+∞，v=μ下，在 ??上解的定性性質.在文獻 ［1］中又進一步的考慮了帶權函數的方程組 (1.2)，給出了當 d(x)→ 0時，在條件 a(x)～C1d(x)γ1，b(x)～C2d(x)γ2，C1，C2＞0，γ1，γ2＞-2下解的存在性與不存在性，唯一性及邊界性行為的結果.文獻［2］Meli′an對系統(1.2)又進行了研究給出了不同于文獻［1］的唯一性的證明.

文獻［4-5］對擬線性的橢圓系統的邊界爆破解進行研究，得到了解的存在性，唯一性及邊界爆破行為.

對于單個的含梯度項的橢圓方程 ?u±λ|?u|q=b(x)g(u)，x∈?；u=+∞，x∈??. C.Bandle 1996年在文獻 ［6］中對 λ=1的形式進行了詳細研究.文獻 ［7］張志軍應用了Karamata正規變換理論，得到了方程解的唯一性與爆破行為.含梯度項的橢圓方程更深入的研究參見文獻［8-10］.

本文考慮的是含梯度項的橢圓方程組，首先定理2.1改變了文獻［7］定理1.1的條件，應用文獻［7］中同樣的技巧Karamata正規變換理論與比較原則，得到了單個方程爆破解的漸進性結論.其次，在對單個方程研究的基礎上，利用上下解的方法證明了當(p-1)(s-1)-qr＞0時方程組(1.1)解的存在性，利用迭代思想得到了解的爆破速率估計，并給出了在一定的條件下解的唯一性的證明.要求權函數滿足以下條件：

假設a，b∈Cη，η∈(0，1)，存在γ1，γ2＞-2與正常數C1，C2，C′1，C′2，使得

下邊給出本文的主要結論：

定理 1.1假設 p，s＞1，q，r＜0，a(x)，b(x)∈Cη，η∈(0，1)且滿足條件 (1.3)，則當(p-1)(q-1)＞qr時，方程組存在正解.方程組的解(u，v)滿足：

其中

D1，D2，D′1，D′2為正常數.

定理 1.2唯一性：令(u1，v1)，(u2，v2)為方程組(1.1)的正解，若

則在?中

2　預備知識

考慮下邊問題：

其中p＞1，γ＞-2.由于?是C2的，d(x)在??的鄰域上也是C2的，假定d(x)∈C2(ˉ?)，方程組(2.1)的解將會在第三部分中用到.首先考慮一般形式：

其中q∈［0，2］，g∈C2［0，∞)滿足：

(g1)g(0)=0，g在［0+∞)上為增函數；

(g2)對任意的ξ∈(0，1)與所有的s≥0，均有g(ξs)≤ξg(s)；

其中

s為任意的正數.

定義2.1定義在［a，∞)(a＞0)上的正的可測函數g，稱為在無窮遠處以指數ρ的正規變換，記為g∈Rρ，若對任意的ε＞0與常數ρ∈R 成立，

其中ρ為正規變換指數.當ρ=0時，稱g在無窮遠處緩慢變化，所以若g∈Rρ，則可以寫成g(u)=upL(u).

引理2.2[11]表示定理：函數L在無窮遠處緩慢變化的充分必要條件是：對某些a＞0，存在可測函數c(u)，y(s)，滿足當u→∞時，y(u)→0，c(u)→c(c＞0)，使得

引理 2.3[12]假設g滿足條件(g1)與(g2)，則以下條件是等價的.

引理 2.4[7]如果g滿足(g1)(g2)(g3)且ρ＞0，則Z(t)在定理2.1中有下邊的性質：

對固定的λ≥0，由??的正則性，選取?δ足夠的小，使得

(ii)

由|?d(x)|=1，得

同理可得

計算過程詳見文獻［7］.

即

令l→0，得到

即

令ξ→0，由ξ1與ξ2的定義，得

定理得證.

定義2.2首先給出系統

證明記u1為下列方程的唯一的解，

證明取 δ＞0，令 ?δ={x∈?，d(x)＞δ}且，為定義在 ??δ上的光滑函數，在??δ上有≤≤，≤≤.由引理2.5則系統有一個解(uδ，vδ)使得在?δ內≤uδ≤，≤vδ≤可知 uδ與 vδ是有界的.存在一個序列 δn→ 0，使得在 Cl2oc(?)內 uδn→ u，vδn→ v，其中 (u，v)為方程 (2.3)的解，且在?內≤u≤，≥v≥，在??上u=v=∞.

引理2.7令f，g∈C(ˉ?)，u，v∈C2()為方程組?u+λ|?u|=f(x)，?v+t|?v|=g(x) 在 ?上的解，且在 ?中 u≤v，其中等號在某些點處取到.假設在 ??上u＜v.則存在x0∈?，使得u(x0)=v(x0)且f(x0)≤g(x0).

證明令ζ={x∈?：u(x)=v(x)}.由假設可得ζ非空且嚴格包含于?.應用反證法，假設在ζ中f＞g.選取ζ的一個開鄰域ψ，使得在ψ中f＞g，并且在?ψ上u＜v.則對于任意小的ε＞0在?ψ上有u+ε≤v，在ψ中?u+λ|?u|=f＞g=?v+t|?v|.由比較原則得，在ψ中u+ε≤v，這與ζ?ψ矛盾.因此，f＞g在ζ中不可能成立.所以，存在x0∈ζ，使得f(x0)≤g(x0).

注2

則(2.7)式有唯一的解若函數f(x，u)/u對固定的x關于u是增函數.

引理 2.8假設p，s＞1，q，r＜0滿足(p-1)(s-1)＞qr，令(u1，v1)，(u2，v2)為下列方程組的正解：

且在??上f，g＞0.則u1=u2，v1=v2.

因此

由假設 k＞1與 (p-1)(s-1)＞qr得 u2(x?)＞ku1(x?)，推出矛盾.這表明 k≤1，并且在?中u2≤u1，v2≥v1.相似的，由u2，v2＞0在 ˉ?中，可以證明在?中u1≥u2，v1≥v2，引理得證.

所以

又因為

所以，由比較原則(見文獻［12］Theorem 10.1)，可得

可以推出

3　定理的證明

定理 1.1的證明(存在性)首先證明(εUp，σ1，ε-δUs，σ2)為方程組(1.1)的一個下解，其

令

由δ的范圍，有

并且

證明了這一需要.

又因為a(x)≥C1d(x)γ1，b(x)≤C′2d(x)γ2，類似的，可證得(MUp，σ1，M-δUs，σ2)為(1.1)式在?上的一個上解，其中

由引理2.6得到方程(1.1)存在一組解(u，v).

(爆破速率的估計)令a0=inf v＞0，由已知條件v＞0，q＜0，a(x)≥C1d(x)γ1，可得

由引理2.9可知

再次應用引理2.9可得

其中

當n→+∞，可以直接計算出

同理，存在D1，D，使得u(x)≥D1d(x)-α，v(x)≥Dd(x)-β.

定理 1.2的證明因為(u1，v1)，(u2，v2)為方程組的正解，且

所以，對任意的ε∈(0，1)，存在δ＞0，使得

在??ρ：={x∈?，d(x)≤?ρ}.設??ρ=?ˉ??ρ，考慮下邊的問題

顯然，((1-ε)u1，(1-ε)-δv1)與((1+ε)u1，(1+ε)-δv1)為方程組(3.2)的下解與上解，由引理2.6可得在??ρ中至少存在一個解(u?ρ，v?ρ)使得

又由引理 2.8可得 (3.2)的解唯一，即 (u2，v2).所以在 ??ρ中 u2=u?ρ，v2=v?ρ.因此，結合(3.1)，得

令ε→0，可得在?上有u1=u2，v1=v2，則方程組具有唯一解.

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2010 MSC:35J57，35B44

Boundary blow-up solutions for an elliptic system with a gradient term

Li Hua，Ma Feiyao
（Department of Mathematics，Ningbo University，Ningbo315211，China）

The properties of boundary blow-up solutions for an elliptic system with a gradient term are studied，where the weight functionsa（x），b（x）are positive and satisfy certain conditions.By the methodof suband super-solutions and comparison principle，the existence and uniqueness of positive solutions are proved and the estimates of boundary blow-up rate are obtained.

elliptic systems，gradient term，boundary blow-up

O175.25

A

1008-5513(2016)04-0387-12

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.04.007

2016-05-31.

國家自然科學基金(11201250).

李華(1989-)，碩士生，研究方向：偏微分方程.