李群方法在滲流力學(xué)的應(yīng)用

侯紹繼，劉曰武，李奇

（中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所流固耦合實(shí)驗(yàn)室，北京 100190）

李群方法在滲流力學(xué)的應(yīng)用

侯紹繼，劉曰武，李奇

（中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所流固耦合實(shí)驗(yàn)室，北京 100190）

試圖用李群方法來分析流體及滲流的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.對(duì)于流形上流體、滲流力學(xué)方程的研究，物理空間的流動(dòng)中的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)只要具有李群的性質(zhì)，便可以此來進(jìn)行流動(dòng)分析.這是將李群理論直接、直地應(yīng)用于滲流力學(xué)的一種方法.李群方法將眾多求解特定類型的滲流微分方程方法統(tǒng)一到共同的概念之下.李群無窮小變換方法為尋找微分方程的閉合形式的解提供的廣泛的應(yīng)用，補(bǔ)充了求解滲流力學(xué)方程的數(shù)學(xué)物理技巧.

李群；滲流；隔開；偏微分方程；無窮小變換

1　引言

目前對(duì)于不穩(wěn)定滲流問題，即是滲流中的偏微分方程初值問題和邊值問題，數(shù)學(xué)上有很多方求解，如積分變換法、分離變量法、待定系數(shù)法、格林函數(shù)法.雖然這些某些解已經(jīng)得到了，但是都是對(duì)一種方程有著特殊的方法不能用統(tǒng)一的方法去求解，本文將李群理論直接應(yīng)用于滲流力學(xué)，以李群對(duì)稱方法為基礎(chǔ)，從無窮小變換準(zhǔn)則出發(fā)，通過保持微分方程的不變性[1]，導(dǎo)出滲流微分方程的簡(jiǎn)化方程(常微分方程(降階)、偏微分方程(降維))，最后通過求解簡(jiǎn)化的微分系統(tǒng)的群不變量解，從而得出原方程的自相似解的數(shù)學(xué)描述[2].目的是為了統(tǒng)一和擴(kuò)展形形色色的特定滲流微分方程的求解方法.

在李群方法之前求相似性解要進(jìn)行細(xì)膩的物理分析找出自變量、因變量和特征物理系數(shù)的之間的無量綱組合，分析這些無量綱量之間的函數(shù)關(guān)系，通過這些組合將偏微分方程簡(jiǎn)化為常微分方程.求解依賴于對(duì)問題的物理本質(zhì)有深切的了解且需要經(jīng)過一些試探性的步驟.Lie提出了對(duì)稱和群不變解方法，將以往的關(guān)于求解微分方程的雜亂無章的方法統(tǒng)一起來.

2　李群與李對(duì)稱

本文所涉及的對(duì)象主要集中于定義在歐幾里得空間開集上的微分方程、對(duì)稱群等，為了閱讀便利，本節(jié)對(duì)與之相關(guān)的基本定義、概念以及定理作簡(jiǎn)要的介紹.

經(jīng)典李群框架下，李對(duì)稱群由作用在自變量與未知函數(shù)空間上的幾何變換構(gòu)成的.目前李群理論在偏微分方程(組)中的應(yīng)用主要是在以下幾個(gè)方面展開的.

1.偏微分降維，即減少一個(gè)自變量，特別是含有兩個(gè)自變量的方程即可化為常微分方程.

2.常微分方程降階，對(duì)于一階常微分方程可求出其顯式解.

3.構(gòu)造相似解，而這種解用其他方式很難得到.

4.生成新的解，由于對(duì)稱群將方程的解變?yōu)榻?，因此可由一特解生成依賴于參?shù)的新解.

2.1李群、李子群

在這一節(jié)，將對(duì)李群和李代數(shù)[3-4]，李群作用和李代數(shù)作用作一個(gè)定義.并且對(duì)李群與李代數(shù)，李群作用和李代數(shù)作用的相互關(guān)系作一定的說明.

定義 1.1若已在集合G上定義了運(yùn)算φ且集合滿足下面公理則稱為群.

封閉性：?a，b∈G，φ(a，b)∈G

結(jié)合性：?a，b，c∈G，φ(a，φ(b，c))=φ(φ(a，b)，c)

有單位元：?e∈G，?a∈G，φ(a，e)=φ(e，a)=e

有逆元：?a∈G，?a-1∈G，φ(a，a-1)=φ(a-1，a)=e

定義1.2群G的子群：就是由G中的子集按照同樣的運(yùn)算規(guī)則組成的群就稱為群G的子群.

定義1.3設(shè)集合G是一個(gè)微分流形，同時(shí)也是一個(gè)群，如果群的運(yùn)算，即乘法運(yùn)算：

乘法：

和取逆運(yùn)算：

是光滑映射，那么稱G是一個(gè)李群.

2.2微分方程不變性、微分方程對(duì)稱群

為了處理微分方程，Lie采用擴(kuò)大空間變量方法讓其在一定意義下可看出比較高維空間的代數(shù)方程，Lie的微分方程延拓理論基于這個(gè)思想將代數(shù)方程的不變?nèi)豪碚撌褂玫轿⒎址匠躺蟻?[5-6].

Lie證明了偏微分方程的解可以在群變換下轉(zhuǎn)換成一個(gè)不變量.對(duì)常微分方程可以降階，偏微分方程則可以降維[7].

對(duì)于一個(gè)n階微分方程，

其中 x是自變量，u是因變量，x=(x1，...，xp)是自變量數(shù)目，p是因變量數(shù)目.u= (u1，...，up)，q是因變量數(shù)目.

方程的解可以表示為u=f(x)，或者uα=fα(x1，...，xp)，其中α=1，...，q，u(k)項(xiàng)是指u對(duì)x的k階偏導(dǎo)數(shù)，m，k，p，q都為任意正整數(shù).

無窮小變換為：

微分方程的n階延拓為：

令向量場(chǎng)為：

n階延拓為：

其中：

則微分方程的延拓滿足：

若方程在群變換作用下保持不變，那么方程的不變量可以通過積分特征方程來得到：

通過(5)求出ξi，φ的表達(dá)式后將其帶入(6)中，求出群不變量，將群不變量帶入原偏微分方程便可得到原方程的降維方程.在某些特殊情況下，很容易得到將維方程的解，從而得到原方程的自相似解.

3　不穩(wěn)定滲流力學(xué)方程求解

3.1弱可壓縮液體多孔介質(zhì)徑向流動(dòng)

假設(shè)在無限大且均質(zhì)油藏中有一口丼，這口井在t=0(s)時(shí)開井，并以恒定產(chǎn)量q(cm3/s)生產(chǎn)；開井前整個(gè)油藏地層壓力相同，保持原始地層壓力.我們有下列方程描述：

初始條件：

邊界條件：

為解方程(7)引入變量的線性變換群：

將(11)代入方程(7)得到：

從而必須有：

a是待定量.將(14)代入方程(7)可以得到

令a=4η可以化簡(jiǎn)方程得，

定解條件化為：

我們對(duì)于常微分方程(16)很容易解的本文略去過程，其解為：

即：

這就是弱可壓縮系數(shù)液體多孔徑向滲流在無限大均質(zhì)油藏在壓力分布公式.

至此我們用李群方法完美解決了多孔介質(zhì)徑向流動(dòng)的PDE.

3.2無限區(qū)域弱可壓縮液體多孔介質(zhì)二維流動(dòng)

考慮無限空間區(qū)域均質(zhì)地層.原始地層壓力為pi，開井前整個(gè)油藏地層壓力相同，保持原始地層壓力pi，求任意時(shí)刻壓力分布.這是典型的擴(kuò)散現(xiàn)象，滿足的PDE方程和定解條件為：

為了解決這方程我們首先考慮p∝ρ關(guān)系，改寫方程(20)為方程：

這里x=(x1，...，xn)，n≥2.

由于本問題是二維問題很難用一個(gè)不變量代入求解，我們?cè)噲D求方程(23)的對(duì)稱無窮生成元，方程生成元有下面算子計(jì)算：

用本文2.2經(jīng)典李群方法可以計(jì)算無窮小生成元：

考慮方程李群無窮小變換：

微分方程產(chǎn)生的向量場(chǎng)為：

1階延拓為：

其中

則微分方程的延拓滿足

求出ξi，φ，既可以得到，

這個(gè)方程得到特征線方程：

式中

現(xiàn)在要求方程(20)的通解，由于方程(20)為線性可以用基本解來線性組合構(gòu)造通解，設(shè)通解為：

式中：b是常數(shù).

考慮質(zhì)量守恒原理：任意時(shí)刻介質(zhì)中流體增量為：

將(34)代入(33)得到：

積分(35)得到：

將(36)代入(33)得到瞬時(shí)點(diǎn)源誘導(dǎo)密度 ?ρ：

由密度和壓力之間關(guān)系式：?ρ-ρi=ρicf(?p-pi)，δm=ρiδV.則式(37)可以寫為：

實(shí)際滲流是某一時(shí)刻開始持續(xù)一段時(shí)間進(jìn)行采出或注入，作為點(diǎn)源是持續(xù)點(diǎn)源.由于方程和邊界條件和初始條件都是線性，故而解可以疊加.若討論點(diǎn)源在M(0，0)處，從t=0持續(xù)注入，對(duì)單位厚度地層而言地層體積流量q(t)可以寫成：

則持續(xù)源的壓力解為：

至此我們求出了方程(23)的持續(xù)源的解，現(xiàn)在來求方程(20)的解，我們只需將做坐標(biāo)變換即可令t=χτ，代入解(40)得到方程(20)的解：

討論：

對(duì)于生產(chǎn)井(匯)，q(t)=q=const，則壓力降的表達(dá)式：

考慮地層厚度，丼產(chǎn)量為

則(42)式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：

4　兩相流在多孔介質(zhì)的擴(kuò)散

該問題是描述兩相相混流體流經(jīng)多孔介質(zhì)在混合區(qū)域濃度的變化.濃度是時(shí)間t和位置x的函數(shù).在混合區(qū)兩側(cè)由單一流體方程描述運(yùn)動(dòng)，在混合區(qū)由更加復(fù)雜流體方程描述運(yùn)動(dòng)，即使在一維情況下，流體的發(fā)生縱向和橫向混合情況也很復(fù)雜.我們討論關(guān)于橫向流動(dòng)速度隨著時(shí)間的依賴在一個(gè)特定的形式

該現(xiàn)象產(chǎn)生了一個(gè)非線性的偏微分方程.這里使用李群分析將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程.許多研究人員已經(jīng)討論過這一現(xiàn)象從不同的方面得到其解析解為超幾何函數(shù)[8].由連續(xù)性方程和達(dá)西定律可知現(xiàn)象滿足的PDE方程：

其中c是流體A混入流體B的濃度(c含義是單位體積的質(zhì)量)，D是滲透率張量.考慮流體是不可壓縮流體有：

當(dāng)混合過程是在一維情況下，方程(44)可以化簡(jiǎn)為：

邊界條件：

其中c0是初始位置濃度，cL是L處濃度.

由于u是橫斷面滲流速度與時(shí)間有關(guān)，它被認(rèn)為是明確性為：u=，則我們將方程(46)化為：

這里為了方便我們可以假設(shè)D=1.為了解非線性方程引入變量的線性變換群G：

式中ε為實(shí)數(shù).X，C，T是x，c，t的函數(shù)，將(48)帶入方程(46)得到：

特征方程為：

設(shè)，則有a1=2，k=a2=a3=a4=0，則有

得到變換

使

將變換代入方程(47)得到，

這是一個(gè)二階非線性常微分方程，解這個(gè)方程得到：

erf是誤差函數(shù)，c1和c2是常數(shù)，可以通過邊界條件得到.通過自相似解可以發(fā)現(xiàn)有意義的物理擴(kuò)散現(xiàn)象反應(yīng)[9].進(jìn)一步還斷定縱向擴(kuò)散的濃度是的符合誤差函數(shù)分布.

5　結(jié)論

李群方法將求解偏微分方程自相似解方法統(tǒng)一到同一概念之下，是求偏微分方程自相似解簡(jiǎn)單而有效的方法，為理論求解滲流力學(xué)方程開辟新的思路，有益于找出某些問題內(nèi)在對(duì)稱性.李群方法可以不需要研究問題的物理方面，只要給定了偏微分方程組和定解條件就可以通過一些簡(jiǎn)單的微分和代數(shù)運(yùn)算將相似性解找出來.自相似性解本質(zhì)上是偏微分方程的某種對(duì)稱性解，如果偏微分方程組和定解條件在某變換群作用下不變也就是說它具有某種內(nèi)在的對(duì)稱性，則必有這樣的解.

[1］Bogfjellmo G A.The Lie group structure of the butcher group[J］.Foundations of Computational Mathematics，2015，3：1-33.

[2］王珍，吉飛宇.mKdV方程的對(duì)稱與群不變解[J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2011，27（6）：778-780.

[3］Hamad M A A，F(xiàn)erdows M.Similarity solution of boundary layer stagnation-point flow towards a heated porous stretching sheet saturated with a nanofluid with heat absorption/generation and suction/blowing：A Lie group analysis[J］.Communications in Nonlinear Science&Numerical Simulation，2012，17（1）：132-140.

[4］Carmeli C，Cassinelli G，Toigo A，et al.Unitary representations of super lie groups and applications to the classification and multiplet structure of super particles[J］.nephrology dialysis transplantation，2007，8（5）：viii29-viii36.

[5］MaungMin-Oo.An integrability condition for simple lie groups II[J］.Department of Mathematics&Statistics，2015，27：4pp.

[6］Mei F X，Wu H B，Zhang Y F.Symmetries and conserved quantities of constrained mechanical systems[J］.International Journal of Dynamics&Control，2013，2（3）：1-19.

[7］劉勝，管克英.李群方法對(duì)一階偏微分方程的應(yīng)用[J］.Journal of Mathematical Research with Applications，2000，20（4）：545-549.

[8］李亞瓊，王曉霞.由Dixon求和定理導(dǎo)出的超幾何函數(shù)變換式[J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2015（4）：431-440.

[9］Wolf J A.Stepwise square integrable representations for locally nilpotent lie groups[J］.Mathematische Annalen，2014，357（357）：1-17.

2010 MSC:76S05

Application of Lie Group to mechanics of fluid flow in porous media

Hou Shaoji，Liu Yuewu，Li Qi
（Key Laboratory for Mechanics in Fluid Solid Coupling Systems Chinese Academy of Sciences，Beijing100190，China）

Try to use Lie group methods to analyze the fluid and the fluid in porous media.For the fluid mechanics and fluid mechanics in porous medium research on the manifold，if topological structure of the flow of the physical space has the nature of Lie groups，we can analyze the flow.This is the theory of Lie groups directly applied to fluid mechanics.Lie group method of solving a specific type of differential equation method unified under the concept of the common.In fact，Lie group infinitesimal transformation method for the closed-form solution of ordinary differential equation with the wide application of technique，when it is applied to the partial differential equation，the method of Lie group can export symmetrical to obtain the exact solutions for partial differential equations.The mathematical physics technique for solving the equation of seepage flow is added.

Lie group，seepage，partial differential equation，infinitesimal transformation

O0357.3

A

1008-5513(2016)04-0399-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.04.008

2016-03-21.

侯紹繼(1992-)，中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所碩士，研究方向：滲流力學(xué)

劉曰武(1965-)，中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所研究員，研究方向：滲流力學(xué)及油氣藏工程李奇(1985-)，中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所博士后，研究方向：油氣藏工程