一類四階偏微分方程的對稱分析及級數解

楊春艷，李小青

（西北大學數學系，陜西 西安　710127）

一類四階偏微分方程的對稱分析及級數解

楊春艷，李小青

（西北大學數學系，陜西 西安710127）

研究了一類四階偏微分方程的李對稱，構造了方程所容許的李對稱的優化系統，進行了對稱約化，得到了精確解.進一步，基于冪級數理論，得到了這類四階偏微分方程的冪級數解.

四階偏微分方程；李對稱；優化系統；冪級數法；精確解

1　引言

四階偏微分方程在自然科學領域有著廣泛的應用背景，它起源于應用數學和物理學的不同方面，尤其在彈性梁及穩定性理論中具有廣泛的應用[1].研究非線性偏微分方程的方法有很多[2-4]，而用Lie對稱群理論來構造微分方程的解是非線性微分方程研究中活躍的領域之一[5-9].本文研究這一類四階微分方程：

的對稱約化和精確解的構造問題，其中：α/=0，β/=0是常數，

這里我們首先對方程(1)進行對稱群分析，應用優化系統理論，由方程(1)所容許的李點對稱構造其對應的優化系統；再對方程進行對稱約化，推出相應于優化系統中各個對稱的約化常微分方程；最后，用冪級數法對約化的常微分方程求解，得到方程(1)的冪級數解.

2　方程 (1)的李對稱群分析

本節利用經典李群方法研究方程(1)，考慮如下單參數李變換群：

其中，ε是參數，τ(t，x，u)，ξ(t，x，u)，η(t，x，u)是光滑函數.李變換群(2)的無窮小生成元為：

此時，我們需要確定向量場的系數函數τ(t，x，u)，ξ(t，x，u)，η(t，x，u).顯然，V必須滿足無窮小不變準則：

其中?=ut+αu2ux+βuxxxx.由李對稱理論知，向量場（3）的四階延拓為

其中

結合方程(4)和方程(5)，我們得到了方程(4)的等價條件

將(6)式及方程(1)代入上述方程(7)，并比較u的各階導數的系數，得到決定方程組，通過求解這個偏微分方程組，得到方程(1)的對稱群的Lie代數由如下三個向量場

生成[10].

由于無窮小生成子的任意線性組合也是無窮小生成子，容許非平凡李對稱的微分方程將會容許無窮多個不同的對稱子群.因此為了完全理解方程的不變解，一個重要且必須的任務就是尋找那些能夠對應本質不同的解的子群.對稱群中任意變換都能夠把一個解映射為另一個解，所以我們只需尋找那些與變換無關的解，即互相不等價的解.這樣優化系統的概念應用而生[5，11，12].優化系統是使得方程的群不變解更豐富，構造子群的優化系統等價于構造子代數的優化系統.對一維子代數而言，這種分類等價于伴隨表示的軌道的分類，其基本方法就是取李代數的最一般的表達形式，并用各種不同的伴隨變換作用其上，使其形式得以最大程度的簡化.由交換算子［Vs，Vt］=VsVt-VtVs，得代數(8)的非零交換關系為

伴隨表示由李級數

給出，其中 ε為參數.表 1給出李代數 (8)的伴隨表示，其中第 i行第 j列的元素表示Ad(exp(εVi))Vj.

表1　李代數（8）的伴隨表示

下面構造方程(1)所容許的李代數(8)的一維優化系統.令

我們的任務是盡可能的通過對的恰當的伴隨映射的應用去簡化系數ai.

情形1由表1知，a3為不變量.假設a3/=0.不失一般性，令a3=1.用Ad(exp(4a2V2))作用于V上，使得V2的系數變為零：

再用Ad(exp(a′1V1))作用于V′上，使得V1系數變為零：因此，由V(a3/=0)生成的一維子代數等價于子代數V3.

情形2假設 a3=0，a2/=0.現在V=a1V1+a2V2.不失一般性，令a2=1.根據表1，用Ad(exp(εV3))作用于V上，使得

也相當于V′=a′1eV1+V2，它取決于a′1的系數，令a′1的系數為1，-1，0.此時，由V(a3=0，a2/=0)生成的一維子代數等價于V2+V1，V2-V1，V2.

情形 3假設 a3=0，a2=0，a1/=0.現在V=a1V1.不失一般性，令a1=1.因此，由 V(a3=0，a2=0，a1/=0)生成的一維子代數等價于V1.上述過程得到方程(1)的優化系統為

3　對稱約化和精確解

方程(1)的向量場和優化系統已得到.這節我們在得到的優化系統的基礎上求方程(1)的對稱約化和群不變解.

3.1生成子 V1=?t.

對生成子V1，它對應的群不變解為u=f(z)，其中z=x.代入方程(1)約化為常微分方程

對方程(9)積分，且令積分常數為零，得

其中

3.2生成子 V2=?x.

對生成子V2，它對應的群不變解為u=f(t)，代入方程(1)得到約化方程f′=0.因此，方程(1)的解是u=c1x+c2，其中c1，c2是任意常數.

3.3生成子 V3=t?t+x?x-u?u.

對于生成子V3，它對應的群不變解是u=t-f(z)，其中z=t-x.將其代入方程(1)得到的常微分方程為

3.4生成子 V2±V1=?x±?t.

對于生成子V2±V1，它對應的群不變解是u=f(z)，其中z=x±t.代入方程(1)得到的常微分方程為

對方程(12)積分，且令積分常數為零，得

4　基于冪級數法的方程的冪級數解

對常微分方程積分，通過降階來求解常微分方程，這種約化的常微分方程在某些情況下比原方程更復雜.考慮到這種情況，我們用冪級數法，它是解高階非線性或非自治常微分方程的有效工具.而且，這種冪級數解的收斂性很強，在理論和應用上的計算也是方便的[13].方程(1)的約化方程已經得到.這一部分，我們用冪級數法解方程(10)，方程(11)，方程(13)，從而得到它們的冪級數解.

4.1方程 (10)的冪級數解

現在，我們尋找方程(10)形式為

的冪級數解，其中cn是待定系數.將(14)式代入方程(10)，得

從(14)式，比較系數，有

對所有的n=0，1，2，....

這樣，對任意的選定的常數ci(i=0，1，2)，從(16)式得到

序列{cn}∞n=0的其余各項都可以由方程(16)依次唯一確定.進一步，由歸納法可得方程(10)存在由方程(16)給定的冪級數解(14)，參考文獻［8，14］.對于方程(10)的冪級數解(14)的收斂性證明如下：

由(16)可得，

使

和

容易看出，|cn|≤pn，n=0，1，2，...

換句話說，級數

是冪級數解(14)的優級數.下面，只需證明冪級數 μ=P(z)有正的收斂半徑.事實上，通過級數運算有

考慮隱函數方程

顯然，F解析，且F(0，p0)=0，F′μ(0，p0)=1/=0.根據隱函數定理，可得級數 μ=P(z)在點(0，p0)的鄰域內解析，從而存在正的收斂半徑.

因此，方程(10)的冪級數解如下

進而，方程(1)的冪級數解為

其中cn(n=0，1，2)是任意常數，其它的系數cn(n≥3)可以由(16)式確定.

注意到上面我們計算的各項的系數，可將(17)寫成如下的近似形式

4.2方程 (11)的冪級數解

我們探索方程(11)的形式為(14)的冪級數解.將(14)式代入方程(11)，得

當n=0時，通過比較(18)式中的系數得到

當n≥1時，容易得到下列結果

由(19)式易得，

和其它的系數cn(n≥7).因此，方程(11)的冪級數解為

進而，方程(1)的冪級數解為：

其中cn(n=0，1，2，3)是任意常數，其它的系數cn(n≥4)可以由(19)式確定.

注意到上面我們計算的各項的系數，可將(20)式寫成如下的近似形式：

4.3方程 (13)的冪級數解

同樣，尋找方程(13)的形式為(14)的冪級數解.將(14)代入方程(10)，得

當n=0時，

4　結果和討論

這篇論文，我們研究了一類四階非線性偏微分方程的李對稱和優化系統，然后基于優化系統，得到了方程的相似約化和精確解.而且，用冪級數法得到了收斂性很強的解.由此可見，李對稱分析法對研究偏微分方程的精確解而言是一個非常重要而有效的工具與方法，且冪級數法對探索非線性常微分方程的收斂冪級數解也是非常重要的.

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2010 MSC:35J15

The symmetry and series solutions of a class of fourth-order partial differential equation

Yang Chunyan，Li Xiaoqing
（Department of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China）

In the paper，Lie symmetry analysis of a fourth-order partial differential equation is performed.The one dimension optimal system of the Lie symmetries admitted by the equation in consideration is constructed. In addition，all exact solutions or the reduced equations corresponding to the optimal system are presented. Furthermore，based on the power series theory，a kind of explicit power series solutions for the equation is well constructed with a detailed derivation.

fourth-order partial differential equation，Lie symmetry，optimal system，power series method，exact solutions

O175.2

A

1008-5513(2016)04-0432-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.04.011

2016-06-01.

國家自然科學基金(11201371)；陜西省自然科學基金(2012JQ1013)；陜西省教育廳專項科研基金(11JK0482).

楊春艷(1990-)，碩士生，研究方向：偏微分方程.