關于廣義正態分布性質的研究

殷清濤（甘肅省敦煌市敦煌中學）

關于廣義正態分布性質的研究

殷清濤
（甘肅省敦煌市敦煌中學）

一、引言

正態分布是由德國著名數學家高斯首先得到的，所以也常常稱為高斯分布。正態分布在數學、物理、化學及工程中都具有非常重要的地位，尤其在統計學中有著重大的影響力。事實上，正態分布是應用最為廣泛的一種分布，它存在于人們生產生活的各個方面。例如，同一機器生產出的大量產品的質量分布；同一年齡段人類的身高、體重分布；某一地區年降水量的分布；科學實驗中測量同一物體的誤差分布，理想氣體的速度分布等等?，F在人們知道，正態分布是由中心極限定理保證的。實際應用中，還存在一些其他形式的分布，例如t分布、F分布等，其實，這些分布也是由正態分布直接導出的。正態分布可以用來估計頻數分布，制定參考值范圍，質量控制等等。然而，我們知道，作為保證正態分布的中心極限定理，是以大數法則為前提的，具體地說，事件的數目越多，中心極限定理越嚴格，才能保證趨向于正態分布。理論上講，事件的數目為無窮大時，中心極限定理才嚴格正確，分布才是正態分布。實際生活中，事件的數目顯然不是無窮大，因此正態分布實際上并不能準確無誤地表示分布規律。在本篇文章中提出以廣義正態分布代替傳統正態分布，可以很有效地解決這一矛盾。

二、廣義正態分布及其運算法則

傳統正態分布的分布函數可表示為：

從上式可以看出，正態分布的核心是自然指數e，是自然對數的底數，是一個無限不循環小數，其值約為2.71828……，它是一個超越數。自然指數在整個數學史上都具有非常重要的地位。自然指數是由一個重要極限給出的。即當n趨于無限時（1+1/n）n=e。以自然指數為底數的對數叫做自然對數，一般用ln表示。自然對數的含義是在單位時間內，持續的翻倍增長所能達到的極限值。

所謂廣義正態分布，就是在傳統的正態分布基礎上，增加上一個量q，該量稱為非廣延參數，已經被廣泛應用于物理、化學、生物、工程、經濟、計算機科學等各個領域中。它的正確性已經得到了廣泛承認。接下來，從微分方程出發研究廣義正態分布：

考慮這樣一個簡單的一階線性微分方程：dy/dx=y，它的解是y=ex，反函數是y=lnx。很容易看出該微分方程導出了自然指數和自然對數。

再考慮非線性微分方程：dy/dx=yq，它的解是y=［1+（1-q）x］1/（1-q）=exq，反函數是當q無限接近1時，得到了自然指數和自然對數的極限形式，以后簡單稱之為廣義自然指數和廣義自然對數。以廣義自然指數為基礎，便可以得到廣義正態分布函數：

對于自然對數和自然底數，有如下基本性質：

這兩個基本性質是正態分布得以廣泛應用的一個重要理由，因為它們使得正態分布在運算中極為簡便，若缺少這兩個基本性質，幾乎所有涉及正態分布的運算量都將增大很多倍。然而，廣義自然指數與廣義自然底數卻不具備傳統自然對數與傳統自然底數的這些優良性質，即exq·eyq=eq（x+y+（1-q）xy），很顯然exq·eyq不等于exyq；同理從lnq（xy）=lnqx+lnqy+（1-q）lnqlnqy可以看出當q不等于1時，lnqx+lnqy不等于lnq（xy），這使得廣義正態分布在實際應用中計算繁瑣，下面定義一套新的運算法則，可以有效簡化廣義正態分布的計算量。

如果同時定義廣義乘法與廣義加法規則如下：

則以上性質可以得到保持：

可以看到在廣義乘法規則下exq×eyq正好等于ex+yq；

可以看到，在廣義加法規則下lnqx+lnqy正好等于lnqxy。

既然定義了廣義乘法與廣義加法規則，廣義除法與廣義減法規則也就自然而然地給出，此處不再詳述。接下來，在此基礎上建立較為復雜的運算：廣義微分和廣義積分，從而形成一整套廣義運算規則。首先定義廣義微分：

于是相應的廣義積分由下式給出：

以上討論的廣義正態分布下的運算法則都是相對簡潔的，事實上實際運算中還會出現很多本文未能包含的情況，但不管多么復雜的運算，總能從本文定義的加減乘除以及微分積分經過適當的組合以及變形給出。在廣義運算規則下，廣義正態分布中的運算量大大減少，這很好地減輕了工業生產和科學實驗中的計算量，具有非常重要的實際意義。

三、廣義正態分布的跨學科應用

為了進一步說明廣義正態分布的重要性，以下將舉出兩個廣義正態分布成功應用的例子。

例1.某地抽樣調查兩百名十九歲的男大學生的身高，發現平均身高為172.5厘米，標準差為3.98厘米。求這兩百名十九歲男大學生中，有多少人身高分布在168.5厘米到176.5厘米之間？若依照傳統正態分布理論，可以很容易得出67%的男大學生處在該范圍，于是算出應該有134人身高分布在168.5厘米到176.5厘米之間。然而實際情況卻有所偏差。該地抽樣調查結果顯示，這兩百名十九歲的男大學生身高處在該范圍的人數為136人。應用廣義正態分布理論，取q值為0.96，可發現廣義正態分布計算所得值為136人，與實際抽樣調查結果相同。事實上，傳統正態分布與實際的偏差來源于抽樣的局限性。抽樣的樣本容量越小，理論與實際的偏差越大，q越偏離1，越應該使用廣義正態分布。傳統正態分布嚴格來講只適用于抽樣容量無限大的情況。

例2.理想氣體分子的速度分量分布。物理學中經常以理想氣體為例來驗證新理論的正確性。所謂理想氣體，是指氣體分子本身體積與容器總體積相比很小，可忽略不計，且氣體分子之間的作用力也很小，也可忽略不計的氣體。一般認為，理想氣體的速度分量遵循麥克斯韋分布律，麥克斯韋分布律實質上也就是正態分布。然而，理想氣體的速度分量分布，是否真的遵從正態分布，一般多年來都是作為一個既定的事實，從未在實驗上直接測量驗證過。近年來，越來越多的科學家認為，正態分布或許只是一種可能的分布，而不是唯一的分布。另外，理想氣體的條件過于苛刻，實際上不存在能夠滿足理想氣體條件的真實氣體。廣義正態分布為對應的廣義麥克斯韋分布律提供了一種可能，對于不同的氣體，取不同的q值，可以更好地描述真實氣體系統。

周秋生.廣義正態分布及其二次函數的性質［J］.測繪工程，1999（1）.

·編輯薄躍華