電場(chǎng)對(duì)非平整基底上液滴鋪展特性的影響

趙盼盼，戴宇晴，葉學(xué)民，李春曦

(華北電力大學(xué) 能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院，河北保定071003)

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電場(chǎng)對(duì)非平整基底上液滴鋪展特性的影響

趙盼盼，戴宇晴，葉學(xué)民，李春曦

(華北電力大學(xué) 能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院，河北保定071003)

基于潤滑理論和漏介電質(zhì)模型，通過建立電場(chǎng)作用下非平整基底上液滴鋪展的演化模型，利用PEDCOL程序模擬了導(dǎo)電液滴在非平整基底上的鋪展特征。結(jié)果表明：非平整基底有助于加快液滴的鋪展速度，其中，鋸齒狀基底下液滴的鋪展速率最大；底部電勢(shì)為恒定值時(shí)，電場(chǎng)對(duì)液滴鋪展起抑制作用；線性底部電勢(shì)將誘導(dǎo)液滴中心出現(xiàn)偏移現(xiàn)象，且液膜輪廓呈現(xiàn)與基底外形相似的特征；增加基底波數(shù)或高度，均有利于液滴鋪展，但其影響總體較小。

電場(chǎng)；液滴；鋪展；非平整基底

0　引言

放置在固體表面或預(yù)置液膜上的導(dǎo)電液滴，在電場(chǎng)作用下呈現(xiàn)鋪展、破裂、重組或電潤濕等現(xiàn)象，其影響因素包括麥克斯韋應(yīng)力、電毛細(xì)力和分離壓等，通過改變電場(chǎng)可顯著改變導(dǎo)電液滴的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征，這一過程在礦物浮選、濕式電除塵優(yōu)化及醫(yī)療等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用和前景[1-3]。

帶電液滴與壁面接觸面間的相互作用引出許多值得探討的電水動(dòng)力學(xué)問題，有研究者通過在基底表面人為設(shè)置凹坑或傾斜基底來研究液膜在基底表面的熱質(zhì)傳遞性能。文獻(xiàn)[14]研究了零雷諾數(shù)時(shí)液膜在電場(chǎng)作用下沿傾斜波紋狀基底上的鋪展，發(fā)現(xiàn)隨韋伯?dāng)?shù)增大，液膜鋪展速度加快且鋪展愈加穩(wěn)定。在此后研究，文獻(xiàn)[15-17]進(jìn)一步提出了描述小幅度甚至是中幅度階躍基底上的漸進(jìn)模型，分析了重力驅(qū)動(dòng)液膜沿電場(chǎng)存在且有周期性缺口的傾斜基底的鋪展過程；其結(jié)果表明，可采用長波近似法分析電場(chǎng)對(duì)液膜自由表面毛細(xì)狀隆起的影響，導(dǎo)電液膜進(jìn)入凹槽前毛細(xì)隆起高度與電場(chǎng)強(qiáng)度成反比，由此指出穩(wěn)定條件下可通過調(diào)節(jié)電場(chǎng)強(qiáng)度來控制液膜表面變形及與相對(duì)波紋基底的相位差，進(jìn)而消除下臺(tái)階區(qū)域薄膜出現(xiàn)的毛細(xì)狀隆起結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[18]比較了電場(chǎng)作用下理想導(dǎo)體和漏介電質(zhì)液膜在不同基底上的動(dòng)力學(xué)特性，指出理想導(dǎo)體的平滑曲面出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，而漏介電質(zhì)液膜依然穩(wěn)定鋪展。文獻(xiàn)[19,20]對(duì)兩相不相溶液體中的液滴在直流電場(chǎng)中的變形進(jìn)行了模擬，表明外加電場(chǎng)較小時(shí)液滴隨時(shí)間呈現(xiàn)振蕩狀態(tài)，過強(qiáng)的電場(chǎng)則使液滴掙脫表面張力，失去穩(wěn)定進(jìn)而導(dǎo)致液滴破裂。文獻(xiàn)[21]研究了徑向電場(chǎng)作用下粘性流體在垂直纖維制品上的動(dòng)態(tài)特征，指出電場(chǎng)不改變振幅和流動(dòng)速率、長波速度在外電場(chǎng)作用下隨振幅增加而減小。

綜上所述，針對(duì)電場(chǎng)作用下平整壁面上的液滴運(yùn)動(dòng)特征已開展了大量研究，而非平整壁面上的液滴運(yùn)動(dòng)研究尚不完善，且多數(shù)研究是針對(duì)定常流動(dòng)，而關(guān)于電場(chǎng)和基底對(duì)液滴的非定常運(yùn)動(dòng)影響的研究還較少。為此，下文開展恒定電勢(shì)作用下液滴在不同基底上的動(dòng)力學(xué)特性，分析不同電場(chǎng)和基底形態(tài)對(duì)鋪展特征的影響。

1　理論模型和特征演化方程

1.1理論模型

圖1　非平整基底上液滴的鋪展示意圖

如圖1所示，基底函數(shù)為s(x)，基底高度為D，基底上預(yù)置一層厚度均勻?yàn)镠b-s(x)的液膜。液滴鋪展而成的液膜與預(yù)置液膜交界處，形成鋪展前沿，最大液膜厚度Hmax、鋪展半徑Xd和鋪展前沿Xf是描述鋪展特征的重要參數(shù)。假設(shè)液滴為不可壓縮牛頓流體，壁面為無滑移無滲透界面，液滴自由表面外為無粘性氣體。液滴初始最大厚度H與流動(dòng)方向尺度L相比非常小，即∈=H/L<<1，適用潤滑理論[22]。

1.2控制方程

獲取分析信息能力作為考綱要求的四種能力之一，常常是學(xué)生的薄弱能力。如果，教師一方面能充分挖掘教材中的各種信息素材，另一方面利用試題素材充分訓(xùn)練學(xué)生獲取信息，利用信息解決問題的能力，那么也許學(xué)生在面對(duì)新情境的信息試題時(shí)，會(huì)更加有信心與方法！

描述界面電荷密度q的方程[22]93為

(1)

無量綱水動(dòng)力學(xué)[23]控制方程組為

(2)

(3)

(4)

無量綱邊界條件為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

結(jié)合式(1)～式(9)，通過積分運(yùn)算可得液膜厚度和界面電荷密度的演化方程組為

(10)

(11)

2　數(shù)值模擬

采用PEDCOL程序[24,25]求解演化方程式(10)和式(11)，該程序?yàn)榛赑etrov-Galerkin有限元法和非均勻網(wǎng)格Gear時(shí)間分析法的高效數(shù)值計(jì)算程序，可有效求解非線性拋物型偏微分方程，已廣泛應(yīng)用于相關(guān)領(lǐng)域研究中。選取-15

程序中的初始條件為：

(12)

(13)

波紋狀基底函數(shù)為：

(14)

鋸齒狀基底函數(shù)為：

(15)

三角狀基底函數(shù)為：

(16)

梯形狀基底函數(shù)為：

(17)

式中：F(x)=0.5[1+tanh(100x)]為海氏階躍函數(shù)；s(x)為基底函數(shù)，由于s(x)是關(guān)于x的任意函數(shù)，通過改變s(x)，可得不同特征的基底表面。其中，無特殊說明時(shí)無量綱預(yù)置液膜厚度Hb=0.2。

程序中的邊界條件

(18)

3　結(jié)果分析

3.1不同基底的影響

對(duì)基底施加恒定底部電勢(shì)Φ=1，不同基底上導(dǎo)電液滴鋪展過程的特征參數(shù)變化如圖2所示。圖2(a)表明，平整基底上最大液膜厚度隨時(shí)間的減小率為Hmax～t-0.12，與此相比，非平整基底上Hmax的減小率均有所增加，其中鋸齒狀基底下的Hmax～t-0.16減小速率最快，其次為梯形狀和波紋狀基底下的Hmax～t-0.14，最次為三角狀基底下的Hmax～t-0.13，由此表明，基底表面的不平整性對(duì)液滴鋪展過程有明顯影響。

圖2　不同基底上液滴特征參數(shù)的變化

由圖2(b)和2(c)可知，基底的外形結(jié)構(gòu)也顯著影響液滴的鋪展半徑Xd和鋪展前沿Xf。與平整基底的Xd～t0.17相比，鋸齒狀基底下液滴鋪展稍有加快，為Xd～t0.18；波紋狀和梯形狀基底同鋸齒狀相比，其不平整度有所增加，因而液膜局部壓力變化幅度增大，所以液滴向兩側(cè)鋪展的速度比鋸齒狀基底快，為Xd～t0.19；三角狀基底下液滴向兩側(cè)鋪展的速度增加最快，為Xd～t0.20。鋪展前沿的變化率依次為：鋸齒狀Xf～t0.215，三角狀Xf～t0.203，波紋狀和梯形狀Xf～t0.200，均比平整基底時(shí)的Xf～t0.190要快。這是因基底表面的不平整度將影響液滴鋪展速率，與三角狀、波紋狀和梯形狀基底相比，鋸齒狀基底的不平整度最大，由此使液滴鋪展成的液膜表面變形顯著增大，進(jìn)而其鋪展前沿隨時(shí)間的變化速率最快。

3.2不同電場(chǎng)強(qiáng)度的影響

為研究電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)液滴鋪展特征的影響，以波紋基底為例，對(duì)液滴施加恒定電勢(shì)Φ=1、30和50進(jìn)行對(duì)比。圖3(a)為t=50時(shí)液滴鋪展示意圖，觀察x=0處h(x，t)+s(x)可知，隨底部電勢(shì)增大，Hmax下降幅度減小；相對(duì)于平整基底上鋪展過程，波紋狀基底時(shí)，液滴向兩側(cè)鋪展有所加快，但不同電場(chǎng)強(qiáng)度下的液滴鋪展半徑和鋪展前沿基本保持不變。圖3(b)表明，隨底部電勢(shì)值增加，Hmax隨時(shí)間的變化率減?。黄渲?，Φ=1時(shí)Hmax～t-0.1368減小得最快，其次為Φ=30的Hmax～t-0.134，當(dāng)Φ=50時(shí)，為Hmax～t-0.1283。

圖3　不同恒定電勢(shì)對(duì)液滴鋪展的影響

3.3不同電勢(shì)形式的影響

實(shí)際應(yīng)用中，液滴所處電場(chǎng)不僅僅局限于恒定電場(chǎng)，還可根據(jù)不同應(yīng)用場(chǎng)合，通過改變電場(chǎng)形式進(jìn)而控制液滴鋪展過程。如圖4(a)所示，Φ=1時(shí)，液滴向兩側(cè)對(duì)稱鋪展，與平整基底上的鋪展特征類似。當(dāng)改底部電勢(shì)形式為Φ=1+Sx，圖4(b)和4(c)分別為S=-1和1時(shí)液滴的鋪展形態(tài)。由圖可知，在基底波谷處形成凹陷，波峰處形成隆起，這是因在電場(chǎng)力和基底共同作用下波峰/波谷處液膜表面壓力不同所致。隨時(shí)間持續(xù)，液膜變形區(qū)域逐漸擴(kuò)大、且變形愈加明顯，并逐漸呈現(xiàn)與基底輪廓類似的表面波形。觀察最大液滴高度所在位置可知，在線性電勢(shì)作用下，液滴分別呈現(xiàn)右移和左移現(xiàn)象，這與文獻(xiàn)[26]所得模擬結(jié)果一致。

圖4　不同電勢(shì)下波紋狀基底上液滴的鋪展

圖5　不同作用力分析圖

為進(jìn)一步探討液滴呈現(xiàn)上述不同形態(tài)的內(nèi)在原因，圖5給出了液滴鋪展過程中的各作用力變化。由式(10)可知，方程右側(cè)第1項(xiàng)為底部電勢(shì)作用項(xiàng)，第2項(xiàng)為毛細(xì)壓和基底共同作用項(xiàng)。在恒定電勢(shì)Φ=1下，液滴受電毛細(xì)壓和基底的共同作用，作用力主要集中在液滴上，預(yù)置液膜區(qū)域受影響很小，因此液滴向兩側(cè)均衡鋪展而成的液膜未出現(xiàn)任何波動(dòng)。當(dāng)S=-1和1時(shí)，因液滴鋪展半徑處于基底第一波谷處，毛細(xì)壓和基底及底部電勢(shì)作用明顯，加快了液滴向兩側(cè)鋪展的速率，并在此處出現(xiàn)凹陷。當(dāng)S=-1時(shí)，液滴中心左側(cè)底部電勢(shì)作用強(qiáng)于右側(cè)，此時(shí)左側(cè)底部電勢(shì)起減小液膜厚度而右側(cè)起增大液膜厚度的作用，表現(xiàn)為液滴整體右移；受基底影響，表面呈現(xiàn)波紋狀特征；S=1時(shí)電勢(shì)作用方向與S=-1相反，液滴向左偏移。

3.4不同基底參數(shù)的影響

為分析基底波數(shù)k和高度D對(duì)鋪展過程的影響，圖6給出了t=50時(shí)液滴的鋪展特征。圖6(a)表明，當(dāng)D=0.1，k=0，1，2，3時(shí)，在相同鋪展范圍內(nèi)，液膜經(jīng)過的基底波數(shù)增多，從而抑制了液滴鋪展過程，最大液膜厚度的減小率降低并接近平整基底情形。圖6(b)表明，隨波數(shù)k增大，鋪展前沿的變化率依次減小，當(dāng)k=3時(shí)，非平整基底上的鋪展前沿變化率已接近平整基底時(shí)的Xf～t0.19。由此表明，增加基底波數(shù)可能抑制液滴鋪展，對(duì)液滴鋪展速度影響較小。

圖6　不同波數(shù)下的鋪展特征

圖7給出了k=1，D=0，0.1，0.2，0.3時(shí)的鋪展特征。該圖表明，隨基底表面的不平整度增大，液滴高度不斷減小并始終保持對(duì)稱形狀向兩側(cè)鋪展，且鋪展前沿逐漸增大；非平整基底上的鋪展前沿變化率略高于平整基底時(shí)的Xf～t0.19，表明增大D有助于加速液膜鋪展過程。

圖7　不同基底高度下的鋪展特征

4　結(jié)論

(1) 基底形式的改變對(duì)液滴的鋪展速度有顯著影響，鋸齒狀基底最大液膜厚度Hmax減小速度最快，梯形和波紋狀基底次之，三角狀基底最慢，但均明顯快于平整基底。

(2) 恒定電勢(shì)對(duì)液滴鋪展過程有明顯的抑制作用，增大Φ值時(shí)，電場(chǎng)力對(duì)液滴鋪展的作用加強(qiáng)，最大液膜厚度減小速率變慢；恒定電場(chǎng)對(duì)液滴的影響體現(xiàn)在垂直方向上，鋪展半徑和鋪展前沿?zé)o明顯變化。

(3) 底部電勢(shì)形式為Φ=1+Sx，當(dāng)S=-1和1時(shí)液滴的鋪展形態(tài)整體呈基底輪廓狀，液滴鋪展中心分別呈現(xiàn)右移和左移特征。

(4) 增加基底波數(shù)或基底高度，有利于液滴鋪展過程，鋪展前沿變化率均高于平整基底情形，但其影響總體較小。

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Effect of Electric Field on Droplet Spreading on Uneven Substrate

ZHAO Panpan, DAI Yuqing, YE Xuemin, LI Chunxi

(School of Energy Power and Mechanical Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

An evolution model on uneven substrate is established, based on the leaky dielectric model and theory of lubrication, to analyze the spreading of a conductive droplet in the presence of electric field. The PEDCOL program is applied to the numerical simulation during modelling. Results show that the uneven substrate can accelerate the speed of spreading, and the maximum rate occurs when the droplet spreads on serrated basement. The spreading of droplet is suppressed in the constant electric field. When the electric potential becomes linear, deviation from the droplet centre appears with its spreading profile similar to that of uneven substrate. Increasing the wave number or height of the substrate facilitates the droplet spreading, but the effect is relatively weak.

electric field; droplet; spreading; uneven substrate

2016-04-17。

國家自然科學(xué)基金(11202079)；河北省自然科學(xué)基金(A2015502058)。

趙盼盼(1989-)，女，碩士研究生，研究方向?yàn)槲⒂^流體力學(xué)理論與應(yīng)用，E-mail:huadianzhaopanpan@126.com。

O361；TQ021

A

10.3969/j.issn.1672-0792.2016.08.009