回到概念：基于對(duì)稱，理解分類
——以“圓的分類討論問題”習(xí)題課為例

☉江蘇省蘇州市陽山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校孫凱

回到概念：基于對(duì)稱，理解分類
——以“圓的分類討論問題”習(xí)題課為例

☉江蘇省蘇州市陽山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校孫凱

學(xué)生在小學(xué)階段就學(xué)習(xí)過圓，但卻是初中階段最后研究的一種平面圖形，什么原因呢？因?yàn)閳A綜合了七、八年級(jí)三角形、四邊形中大多性質(zhì)，特別是圓兼有軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的性質(zhì)，所以能否順利解決圓的有關(guān)問題，往往意味著對(duì)整個(gè)平面幾何都有深刻的理解和掌握.與圓有關(guān)的習(xí)題有很多都需要分類討論，基于這樣的現(xiàn)實(shí)，我們?cè)O(shè)計(jì)了一節(jié)“圓的分類討論問題”習(xí)題課教學(xué)設(shè)計(jì)，供分享.

一、“圓的分類討論問題”習(xí)題課教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）：基于軸對(duì)稱的分類討論問題

例1（原創(chuàng)題）如圖1，直線AB經(jīng)過圓心O，弦CD經(jīng)過圓心O.

圖1

（1）圓O的對(duì)稱軸是________；

（2）若CD=2cm，則圓O的半徑為_____；

（3）若∠AOC=60°，連接BD，請(qǐng)指出△BOD的形狀；

（4）在圖1中作出點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，求證點(diǎn)D′在圓O上.

教學(xué)預(yù)設(shè)：對(duì)于第一問，要注意填寫直線AB或者弦CD所在直線，由于對(duì)稱軸是直線，如果只寫弦CD是不恰當(dāng)?shù)?第二問主要考查識(shí)別經(jīng)過圓心的弦CD就是直徑，從而可以直接寫出1cm.第三問中△BOD是等邊三角形.第四問有簡(jiǎn)單的作圖方法，比如以B為圓心、BD的長為半徑作弧，交圓O于點(diǎn)D′；證明時(shí)注意要回到圓的定義，即連接OD，設(shè)法根據(jù)對(duì)稱性證出OD′=OD即可.這里也是體會(huì)點(diǎn)D、D′關(guān)于直徑對(duì)稱的基本圖形，為后續(xù)問題的探究積累經(jīng)驗(yàn).

同類變式：（2015年浙江義烏，改編）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，點(diǎn)P在以C為圓心、5為半徑的圓上.連接PA、PB.

（1）分析PB有沒有最小值，如果有直接寫出PB的最小值；

（2）小凡同學(xué)們練習(xí)（1）后發(fā)現(xiàn)：PB有最大值！你會(huì)分析PB的最大值嗎？

（3）若PB=4，求PA的長；

（4）當(dāng)∠PCB=60°時(shí)，求點(diǎn)P到直線AC的距離.

預(yù)設(shè)講評(píng)：這是一道無圖考題，先畫出草圖分析，如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上時(shí)，可以獲得相應(yīng)的PB的最小值和最大值，分別為2、8.這樣也就解決了第一、二問，從圖3來看，這里的P1、P2體現(xiàn)了關(guān)于圓心C的中心對(duì)稱性質(zhì).

圖2

圖3

對(duì)于第三問，仍然需要基于對(duì)稱的啟示，考慮兩種可能，如圖3.

在圖3中，首先確認(rèn)四邊形AP1BC為矩形，且點(diǎn)P1、P2關(guān)于直線BC對(duì)稱，這樣就容易求出AP1=3，AP2=（在Rt△AP1P2中）.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）：弦所對(duì)圓周角的分類討論問題

例2△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，若∠AOC=160°，求∠ABC的度數(shù).

教學(xué)預(yù)設(shè)：這道習(xí)題沒有圖，首先需要構(gòu)造出可能的圖形，如圖4，可見∠ABC有兩種可能，分別在優(yōu)弧、劣弧上，故有兩解：80°或100°.

圖4

反思變式：這道習(xí)題有多種不同的變式可能如下所示.

同類變式1：在⊙O中，弦AC所對(duì)的圓心角∠AOC=160°，則弦AC所對(duì)的圓周角∠ABC是多少度？

同類變式2：半徑為2cm的⊙O中，弦AB的長為2cm，則弦AB所對(duì)的圓周角度數(shù)是多少？

同類變式3：點(diǎn)O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，求∠BAC的度數(shù).

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）：直徑與圓的位置關(guān)系的分類討論問題

（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）求原點(diǎn)O到直線l的距離；

（3）若圓M的半徑為2，圓心M在y軸上，當(dāng)圓M與直線l相切時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

圖5

圖6

教學(xué)預(yù)設(shè)：（1）求直線與x、y軸的交點(diǎn)時(shí)，分別令y與x為0，求出x與y的值，即可確定出A與B的坐標(biāo)；（2）原點(diǎn)O到直線l的距離就是Rt△ABO斜邊上的高，利用面積法即可求解；（3）需要考慮兩種不同的相切位置，如圖6，當(dāng)M在B點(diǎn)的下方時(shí)，，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為；當(dāng)M在B點(diǎn)的上方時(shí)，，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為

同類變式：（2015年山東煙臺(tái)，18，3分）如圖7，直線l∶y＝-x+1與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心、2個(gè)單位長度為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與直線l相切時(shí)，求m的值.

圖7

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）：課堂小結(jié)與當(dāng)堂檢測(cè)

小結(jié)問題1：通過這節(jié)課，你覺得圓中有些問題需要分類討論？

小結(jié)問題2：對(duì)于無圖的圖形問題，你覺得要注意些什么？除了在圓中無圖題前容易出現(xiàn)分類討論現(xiàn)象，在三角形或四邊形的學(xué)習(xí)中，你是否也積累過類似的經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀颗e例說說.

當(dāng)堂檢測(cè)：（原創(chuàng)題）如圖8，圓O中，直徑AB、CD所成的銳角為40°.

圖8

圖9

（1）過點(diǎn)C作AB的垂線交圓O于點(diǎn)E，請(qǐng)指出弦CE與AB的位置關(guān)系；

（2）在（1）的條件下，連接OE，求∠DOE的度數(shù)；

（3）連接BD，求∠ABD的度數(shù)；

（4）若圓中有一點(diǎn)P，連接AP、AC，當(dāng)∠BAP＝50°時(shí)，求∠CAP的度數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：第一問主要復(fù)習(xí)垂徑定理的基本圖形；第二問主要是根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)∠AOE＝∠AOC＝∠BOD＝40°，于是∠DOE＝100°；第三問在等腰△BOD中思考，頂角∠BOD＝40°，于是∠ABD＝70°；第四問需要分類討論，如圖9，基于對(duì)稱的啟示，有點(diǎn)P1、點(diǎn)P2兩種可能，特別是及時(shí)發(fā)現(xiàn)AP1⊥CD，這時(shí)再分析出∠CAP的兩種可能的答案分別為20°、120°.

二、教學(xué)立意的跟進(jìn)闡釋

1.預(yù)設(shè)問題驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生“回到概念去解題”

從上面的課例來看，我們預(yù)設(shè)了大量的習(xí)題，特別是原創(chuàng)題及后續(xù)的系列問題，意圖通過這些問題驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生“回到概念去解題”，即基于對(duì)稱性質(zhì)思考分類討論，或者基于弦所對(duì)的圓周角有兩種可能（在優(yōu)弧、劣弧上），或者直線與圓相切時(shí)要考慮不同的位置關(guān)系等，讓學(xué)生理解這些分類討論的合理與自然，而不是人為制造麻煩.

2.預(yù)設(shè)追問講評(píng)，促進(jìn)思維向“四面八方打開”

事實(shí)上，除了圓具有多種對(duì)稱性質(zhì)，之前所學(xué)的平行四邊形也是中心對(duì)稱圖形，特殊的平行四邊形，如矩形、菱形還同時(shí)兼具軸對(duì)稱性質(zhì)，這些對(duì)稱性質(zhì)往往也會(huì)決定平行四邊形的相關(guān)考題可能有多解出現(xiàn)，如果能引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)稱的高度認(rèn)識(shí)和反思這些分類討論問題的結(jié)構(gòu)，那么將會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)問題有深刻的理解和洞察，包括對(duì)數(shù)學(xué)的和諧性、一致性的認(rèn)識(shí)也會(huì)達(dá)到一定的高度.當(dāng)然，這也是我們?cè)凇罢n堂小結(jié)問題2”中安排學(xué)生“舉例說說”的教學(xué)立意.

1.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.

2.章建躍.全面深化數(shù)學(xué)課改的幾個(gè)關(guān)鍵［J］.課程·教材·教法，2015，35（5）.Z