復習課要有“復習味”
——以“一元二次方程根的判別式”復習為例

☉江蘇省蘇州市高新區第一中學李莎莉

復習課要有“復習味”
——以“一元二次方程根的判別式”復習為例

☉江蘇省蘇州市高新區第一中學李莎莉

根據教學內容的不同，我們常將數學課分為新授課、復習課、試卷講評課和練習課.初中階段，復習課是僅次于新授課的一種課型，到了初三下學期，復習課更是成為了“主打”課型.為幫助學生獲取中考的最大利益，中考前夕，幾乎所有的學校都會安排較長的時間集中復習.在這一階段，復習課的主要任務就是幫助學生將已經遺忘的知識喚醒，培養他們應用數學知識分析問題與解決問題的能力.顯然，復習課主要是重復“學生學過的知識”，加深學生對這些知識的印象，使其在腦海中留存更長的時間.然而，在近期的一次隨堂聽課中，一位老師將“一元二次方程根的判別式”復習課上出了濃濃的“新授味”，偏離了復習的主旨，耗時不少，復習成效卻并不好.現結合這節課的“前半段”及對此的優化談談筆者的感悟，希望能給你帶來一些啟示.

一、教學片斷及簡析

1.教學片斷

投影三個方程如下：

（1）2x2-3x=0；

（2）3x2-2x+1=0；

（3）4x2+x+1=0.

教師：這三個方程有什么共同特征？

學生（齊）：都是一元二次方程.

教師：對！一元二次方程的一般形式是什么？

學生1：ax2+bx+c=0（a≠0）.

教師：你能說出這三個方程中a、b、c的取值分別是多少嗎？

學生2：方程（1）中，a=2，b=-3，c=0.

學生3：方程（2）中，a=3，b=-2，c=1.

學生4：方程（2）中，a=4，b=1，c=1.

教師：很好！這些方程都有解嗎？

一些學生開始動筆求解.

教師：如果不解這三個方程，你能判斷它們解的情況嗎？

學生（齊）：能！

教師：根據什么來判斷呢？

學生5：根的判別式Δ=b2-4ac.

（教師板書：Δ=b2-4ac）

教師：好的！接下來，請自己先判斷一下，然后將結果在小組中交流一下.

學生活動：自主判斷方程根的情況，并將判斷的結果在小組中交流.

5分鐘后，教師組織學生開展交流.

學生5：方程（1）有兩個不相等的實數根.

教師：你是怎么判斷的？

學生6：利用根的判別式，Δ=（-3）2-4×2×0=9＞0，所以這個方程有兩個不相等的實數根.

教師：據此，我們可以歸納：當b2-4ac＞0時，方程ax2+ bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實數根.（教師板書）

學生7：在方程（2）中，Δ=（-2）2-4×3×1=0，所以方程（2）應該有兩個相等的實數根.

（教師板書：當b2-4ac=0時，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個相等的實數根）

學生8：在方程（3）中，Δ=12-4×1×1=-3＜0，所以方程（3）沒有實數根.

（教師板書：當b2-4ac＜0時，方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實數根）

在經歷了近10分鐘的探索與交流后，“根的判別式”的應用要點被教師板書在黑板上.接下來，教學進入典型例題講評環節.

2.片斷簡析

按照知識梳理的順序，這則片斷可以分為兩個階段：第一階段，歸納給出的三個方程的共同特征，梳理出一元二次方程的一般形式，并剖析每個方程中對應字母a、b、c的取值；第二階段，學生應用根的判別式判斷方程根的情況，教師引導學生歸納出判別式的三個應用要點，并進行板書.整個教學過程，花了近10分鐘的時間，在中考一輪復習中，花這么長時間做“這么一點事”，實在有點不值.首先，一元二次方程的一般形式應該在前面課時中已經進行了復習，在這里再拿出來強調，完全沒有必要；其次，三個一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項幾乎一眼就能看穿，讓學生結合一般形式進行分析實屬多余之舉，吃力不討好；再者，這里給出的三個方程，并不是都需要用到根的判別式來判定根的情況的，比如方程（1），目測可得解為x=0，x=，拿這樣的方程來討論根的情況，要么是低估了學生的能力，要么是低估了根的判別式的價值；最后，基礎掃描環節，應該側重于知識的應用，而非知識點的歸納，我們應在教學中讓學生說說怎么用這個知識的，上面的教學片段中，教師則側重于從題目歸納出知識點，有點本末倒置的味道，何況，學生對根的判別式有著較為深刻的認知，幾乎每位學生都能準確地說出根的判別式的應用點.因此，不管是從教學時間的損耗上，還是從教學成效上看，教師的板書價值都不大.投影的快速展示，可能比教師的“一筆一畫”要來得有效.

二、優化設計及意圖

（一）優化設計

1.例題設計

例1下列一元二次方程中有兩個不相等的實數根的方程是（）.

A.2x2-x+1=0B.x2+2x-19=0

C.4x2-4x+1=0D.x2+x+1=0

例2關于x的方程kx2-4x-=0有實數根，則k的取值范圍是__________.

例3若關于x的方程x2-2x+kb+1=0有兩個不相等的實數根，則一次函數y=kx+b的大致圖像可能是圖1中的（）.

圖1

2.教學過程設計

學生自主解答，然后在學習小組中交流解題的結果、所用到的知識和解題的注意點.接下來，教師組織學生進行全班交流，結合具體的題目剖析一元二次方程根的判別式的應用價值.對于例2和例3這些具有一定的綜合性的問題，我們將會做具體詳細的解題思路的分析，明確一元二次方程根的判別式在什么時間上、以什么方式進入到解題過程中，以及在解題過程中發揮怎樣的作用，從而使學生將這一知識與其他數學知識“捆綁”在一起，不再孤立看待.

（二）設計意圖

中考前的復習，時間緊，任務重.我們的教學，絕不能停留在“過去的知識簡單重復講”的境地，必須要對課堂教學的內容進行整合，要重點關注數學基礎知識在應用上的創新.在例題的選擇與設計上，要將單一知識置于整個數學知識系統去觀察分析它的價值，從學生分析問題和解決問題的能力上優化提升的角度，去選擇和設計具有一定綜合性的數學問題作為例題.上面的三道例題，都具有一定的綜合性，例1是一元二次方程根的判別式自身的綜合，這里出現的四個方程囊括了這一知識的三個常見應用點；例2是一元二次方程根的判別式與一元一次方程的解的綜合，解題必須用到分類討論思想，這讓例題的難度得到了一定的提升；例3是一元二次方程根的判別式和一次函數圖像的綜合，通過判別式的應用可以得出k、b的符號，進而對各個圖像進行判斷，數與形的結合讓例題教學不再是在單一的知識上行進.

接下來說說教學過程的設計，學生先進行自主解答，這是他們頭腦內進行的“自覺的革命”，沒有任何“外力”的干擾，知識的提取與應用都成為學生自己的事情，這是完全符合中考要求的，也是我們日常教學必須堅持的.至于后續的交流，無論是小組內的，還是全班的，都只是讓學生知曉自己思考的結果對與錯，以及思維過程的成與敗，教師的適度引導和學生間的互助，將會有力地推動學生的思維能力和解題能力不斷提升.

三、幾點思考

1.“碎片化”復習打斷了學生思維的連續性

無論是獲取新知，還是解答例題，教師都應給予學生獨立思維的時間和空間.數學問題的解決，有時需要合作，但在當下這種教學與考試體制下，更多的還是需要學生的獨立思考.走進考場，誰都不可以替代孩子們去思考，去解題.所以，數學課，尤其是中考前的復習課，應將更多的時間留給學生去回憶、去思考、去解題、去整理、去完善.我們絕不能，也不應該將學生的思維活動進行碎片化處理，通過有一搭無一搭的對話來替代學生思考，以教師引領、優生幫忙、軟件演示的方式替代每一名學生思考，這不僅是復習課不能出現，恐怕新授課也不能出現.上面的教學片斷中，教師的用心是良苦的，他自始至終牢牢掌控著學生思維的進程，沒有容許學生出現一點出格的思維或想法，甚至連“（1）2x2-3x＝0”這樣一個完全可以直接解就能發現解的情形的方程，也要引導學生從根的判別式角度給出解題過程.為了將課時復習主線凸顯出來，這位教師是動了心思的，然而，這樣的教學對學生的成長是不利的，尤其不利于學生思維的可持續發展.在問題解決過程中，學生的思維是延續的，而教師采用的這種分段式教學，讓學生分段感知一元二次方程的這些基礎知識，從一般形式，到各項系數，再到判別式，最后到應用，每一次成果的展示都切斷了學生的思維，讓學生停下來，享受著教師總結出的豐碩成果.聽課過程中，就一個感覺，學生學得累，教師教得更累，這樣的片斷式教學，還是整合一下，批量教學呈現的效果可能會更好！

2.“新授式”板書延緩了數學知識的網絡化

板書是課堂教學的重要組成部分，不同的課型教學的重心不同，板書也應有著較大的差異.新授課應側重于課時核心知識的展示，板書的最大作用是將抽象歸納出結論，力求共享；復習課應重在多種數學知識的關聯，要關注知識“單體”的板書，更要關注知識“單體”之間的聯系，以便形成網絡化知識體系.顯而易見，新授課的板書應該有新授課的特點，復習課板書也就應該有復習課的特點.我們絕不可以用新授課的板書來代替復習課的板書.在我們的復習課上，要力圖通過箭頭、連線、框格等將知識“單體”鏈接起來，形成彼此關聯的、有效的知識網絡.在上面的教學片斷中，教師過于重視知識“單體”的呈現，先后將一元二次方程根的判別式的三個應用點完整地書寫在黑板上，占了半面黑板，給其他的與本課有關聯的知識留下了極小的版面.在教師接下來的教學中，筆者發現他并沒有形成知識網絡的意識，一節課結束，黑板上除了學生板書的過程，就留下了開頭板書的幾個知識點.很顯然，教師所用的就是新授式板書，他仍然是將知識“單體”作為教學的重點在加以回顧，對該知識與其他知識間的關聯視而不見，這將大大延緩數學知識的“網絡化”進程.而筆者所進行的優化，則將很多與本節課有關聯的知識推上了教學的“前臺”，在例1到例3的解答與交流中，我們不僅要板書一元二次方程的根的判別式，還要將其他與此有關聯的知識一并板書.當教學進入小結提升環節時，原本孤立的知識通過帶箭頭和不帶箭頭兩種線串在一起，知識“單體”被緊密鏈接在一起，至此，一幅能夠引發學生產生定向聯想的知識結構圖已經成形.

3.“綜合性”設例凸顯了數學知識的整體性

不管是新授課，還是復習課，數學知識都是教學的主要內容.而對數學知識的教學，我們應該把每一個知識都置于整體知識的體系中，要努力“引導學生感受數學的整體性”.就以本文所說的復習課為例，單一的知識我們在新授學習中已經獲得了，而且絕大多數同學掌握得比較好，此時，我們就沒有必要再在每個個體上花太多時間和精力，要從整體的角度選擇一些融合了多種數學知識的問題作為教學的例題，并以例題的解答和交流來引導學生完成數學知識的梳理，讓那些原本隱藏著的知識“銜接點”暴露出來，真真正正地成為學生分析問題和解決問題的重要“抓手”.當然，這需要教師充分理解即將復習的內容，知曉這一內容與其他知識之間有著怎樣的聯系，至少這些聯系之間的“親疏遠近”，最終篩選出聯系最緊密的、在中考中出現次數多的、能夠在課堂上讓學生順利產生關聯的知識，這就是接下來選題的方向.茫茫題海，有了方向，我們就可以做出相應的選擇，有原題可以選擇原題.如果沒有適合的原題，我們就改編，從加強知識的縱橫聯系的角度，將所選擇的知識點巧妙地融合到設計的例題中，以求實現“解一題，會一類，通一片”的復習目標.這就是筆者選擇例1至例3作為教學例題的原因所在，為了規避“簡單化”復習帶來的“知識牢牢記住，能力一帶而過”的現象，我們不僅重視例題設計的綜合性，還重視教學過程的綜合性，我們將學生獨立思考、小組合作交流、教師引領展示都融合到例題教學過程之中，使例題教學成為一個多人參與、多元互動的立體化教學體系，學生收獲知識是我們的期待，但我們更期待通過復習能全面提升學生分析問題和解決問題的能力，只有這個目標實現了，我們的復習才是真正有效的.H