巧用數(shù)學(xué)思想妙解一次函數(shù)

□曹　洪

巧用數(shù)學(xué)思想妙解一次函數(shù)

□曹洪

一、轉(zhuǎn)化思想

例1（2015·桂林）如圖1，直線y=kx+b與y軸交于點(diǎn)（0，3），與x軸交于點(diǎn)（a，0），當(dāng)a滿足-3≤a＜0時(shí)，k的取值范圍是（）.

圖1

A.-1≤k＜0 B.1≤k≤3

C.k≥1 D.k≥3

分析：把點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線解析式得到，然后將其代入不等式-3≤a＜0，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式，即可求出k的取值范圍.

解：把點(diǎn)（0，3）和（a，0）代入y=kx+b，得b=3，

故選C.

點(diǎn)評(píng)：把點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線解

二、數(shù)形結(jié)合思想

例2（2015·徐州）若函數(shù)y= kx-b的圖象如圖2所示，則關(guān)于x的不等式k（x-3）-b＞0的解集為（）.

A.x＜2 B.x＞2

C.x＜5 D.x＞5

圖2

分析1：由圖2可知一次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（2，0），將其代入一次函數(shù)解析式，可求出k、b的關(guān)系式，然后將k、b的關(guān)系式代入k（x-3）-b＞0中解不等式即可.

運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)是一門實(shí)踐性非常強(qiáng)的課程，本質(zhì)上是面向工程的，但是在實(shí)際教學(xué)中，由于教學(xué)要求和培養(yǎng)模式的限制，無(wú)法使課程直接面向工程實(shí)際，這對(duì)一門實(shí)踐性強(qiáng)的課程來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)效果會(huì)大打折扣。因此，在運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)課程教學(xué)中嘗試面向工程實(shí)際，通過(guò)實(shí)際的工程項(xiàng)目，使學(xué)生對(duì)課程的應(yīng)用性有更加深刻的認(rèn)識(shí)。本項(xiàng)目目前在申請(qǐng)學(xué)校的教改課題，將復(fù)雜的工程問(wèn)題嵌入課堂教學(xué)中，達(dá)到理論聯(lián)系實(shí)際、實(shí)踐促進(jìn)理論的目的。

解1：∵一次函數(shù)y=kx-b的圖象過(guò)點(diǎn)（2，0），

∴2k-b=0，b=2k.

由圖2可知，函數(shù)值y隨x的增大而減小，∴k＜0.

將b=2k代入k（x-3）-b＞0，得k（x-3）-2k＞0，即kx＞5k，兩邊同除以k得x＜5，故選C.

分析2：∵一次函數(shù)y=kx-b的圖象向右平移3個(gè)單位得到一次函數(shù)y=k（x-3）-b的圖象，

∴由函數(shù)y=kx-b的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)可得到函數(shù)y=k（x-3）-b與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而通過(guò)圖象得到關(guān)于x的不等式k（x-3）-b＞0的解集.

解2：∵一次函數(shù)y=kx-b的圖象向右平移3個(gè)單位得到一次函數(shù)y=k（x-3）-b的圖象，由一次函數(shù)y= kx-b的圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），可以得到一次函數(shù)y=k（x-3）-b的圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）（如圖3）.

圖3

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，注意幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（交點(diǎn)、原點(diǎn)等），數(shù)形結(jié)合思考問(wèn)題.

三、整體思想

例3若y+b與x+a（a、b為常數(shù)）成正比例，當(dāng)x=3時(shí)y=5，當(dāng)x=2時(shí)y=2，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

分析：根據(jù)y+b與x+a（a、b為常數(shù)）成正比例，列出關(guān)系式y(tǒng)= kx+（ka-b），再將兩對(duì)x、y的值代入，求出待定系數(shù)，但需要把其中的（ka-b）當(dāng)做一個(gè)整體來(lái)處理.

解：由條件可得y+b=k（x+ a），即y=kx+（ka-b）.

因?yàn)閤=3時(shí)y=5，x=2時(shí)y=2，

所求函數(shù)解析式是y=3x-4.

點(diǎn)評(píng)：因直接求出a、b的值是比較困難的，這里應(yīng)用了整體思想，整體求出ka-b的值.