圖像法在解物理題中的典型應用

杜輝蓉

圖象法能形象直觀地反映某物理量隨另一物理量變化的規律，故圖象法在物理中有廣泛的應用。在定性或定量討論分析某些物理問題時，圖像法可以使解題過程簡化，比列物理表達式求解容易、簡明得多；且在有些情況下運用解析法可能無能為力，用圖象法可能使你豁然開朗，如利用圖像法處理一些變力問題；運用圖象處理物理實驗數據和研究兩個物理量之間關系也是物理實驗中常用的重要方法。

一、無論是解圖象問題或利用圖象求解物理問題，都要求：

（一）認識坐標軸所表示的物理量（這是認識圖象的開始，是區別圖象性質的鍵）

明確因變量（縱軸表示的量）與自變量（橫軸表示的量）的制約關系。

例如 S-t圖像一定要清楚縱軸表示的是位移，不是路程，橫軸表示的是時間，不是空間位置。這樣就不會把S-t圖像當作物體的運動軌跡了。

（二）看圖線本身識別相關量的變化趨勢，從而分析具體的物理過程

（三）看截距、斜率和“面積”明確圖象斜率，圖象在縱橫坐標軸上截距，圖線與坐標軸所圍成的“面積”等的物理意義。

例如S-t圖像斜率表示速度V，而V-t圖像斜率表示加速度a。

例如控制變量法研究牛頓第二定律作a-F圖像時橫截距表示物體所受摩擦力。

例如V-t圖像中圖線下所圍“面積”表示位移。

二、這里主要談談應用圖像處理兩類物理問題：

全面理解物理圖象的意義，熟練應用圖象處理物理問題，是學生應該掌握的一個基本技能。最基礎、學生最熟悉的應用這里就不再講解。下面我就應用圖像求解兩類實際物理題（很多學生可能存在一些疑惑）來做個歸納講解：

（一）利用圖像“面積”求解類：

例1：如圖所示，有一內壁光滑的閉合橢圓形管道，置于豎直平面內，MN是通過橢圓中心O點的水平線。已知一小球從M點出發，初速率為v0，沿管道MPN運動，到N點的速率為v1，所需時間為t1；若該小球仍由M點以出速率v0出發，而沿管道MQN運動，到N點的速率為v2，所需時間為t2。則（ ）

A.v1=v2，t1>t2 B.v1t2

C.v1=v2，t1

解析：小球在運動過程中機械能守恒，故兩次到達N點的速度大小相同，且均等于初速度，即

v1=v2=v0；兩小球的運動過程分別為先加速后減速和先減速后加速，定性做出小球運動的速率—時間圖象如下圖：

則v-t圖線與坐標軸所圍成的面積表示小球的運動路程，小球兩次的路程相等，故兩次圖線與坐標軸所圍面積相同，由圖可知，t1>t2，A正確。

點評：，本題因加速度大小變化高中階段無法采用運動學公式法求解時間t，而此題用圖象法不僅能解決問題且非常直觀、簡潔。

練習1：一個固定在水平面上的光滑物塊，其左側面是斜面AB，右側面是曲面AC。已知AB和AC的長度相同。兩個小球p、q同時從A點分別沿AB和AC由靜止開始下滑，比較它們到達水平面所用的時間

A.p小球先到

B.q小球先到

C.兩小球同時到

D.無法確定

解析：可以利用v-t圖象（這里的v是速率，曲線下的面積表示路程s）定性地進行比較。在同一個v-t圖象中做出p、q的速率圖線，顯然開始時q的加速度較大，斜率較大；由于機械能守恒，末速率相同，即曲線末端在同一水平圖線上。為使路程相同（曲線和橫軸所圍的面積相同），顯然q用的時間較少。

練2.一質點在a、b兩點之間做勻變速直線運動，加速度方向與初速度方向相同，當在a點初速度為v時，從a點到b所用的時間為t，當在a點初速度為2v時，保持其他量不變，從a點到b點所用時間為t'，則（ ）

A.t'﹥ B.t'=

C.t'﹤ D.t'= t

解析：兩種情況下質點運動的加速度和位移相等，在v-t圖像中，則是速度圖線的斜率以及與橫軸所夾的面積相等，如圖1所示，顯然陰影部分的面積2要大于1，則說明初速度為2v時的運動時間要大于。

點評：當然，本題因加數度恒定，也可以用運動學公式求解。

例2. 質量為50kg的物體，所受合外力時間的關系是：，已知時物體的速度為零，當時，物體的速度多大？

解析：據a=F/m，得a=0.08t，作出圖象，如圖所示，根據a-t圖線下所圍“面積”表示速度改變量，可得：s=

點評：本題因加速度大小變化高中階段無法采用運動學公式法求解，利用圖象不僅可解決問題，且簡捷，更體現一種新的思維，同學們應當高度重視。（但本題是一次函數關系，也可利用a對t的平均值求解---相當于加速度大小不變）

例3. 子彈以速度 射入墻壁，入射深度為h。若子彈在墻中受到的阻力與深度成正比，欲使子彈的入射深度為2h，求子彈的速度應增大到多少？

解析：本題求出子彈克服阻力做的功，再由動能求定理進行求解。而此阻力是變力在高中階段W=FS無法用。我們可以做出阻力隨深度的變化圖象如圖所示，則F-s圖線下所圍的面積表示力做的功。

點評 ：本題因力的大小變化高中階段無法用功的定義式W=FS求解，可用F-s圖象求功解決問題。（力隨位移按一次方函數關系變化時，求功時可用平均作用力來代替這個變力，用恒力功的公式求功，若力隨位移的變化不是一次函數關系，高中階段不能用平均值求功）。

練習1. 如圖所示，有一勁度系數k=500N/m的輕彈簧，左端固定在墻壁上，右端緊靠一質量m=2kg的物塊，物塊與水平面間的動摩擦因數，彈簧處于自然狀態。現緩慢推動物塊使彈簧從B到A處壓縮10cm，然后由靜止釋放物塊，求（1）彈簧恢復原長時，物塊的動能為多大？（2）在彈簧恢復原長的過程中，物塊的最大動能為多大？

答案：（1）1.7J；（2）1.764J。

例4. （多選）放在水平面上的物體，在力F作用下開始運動，以物體靜止時的位置為坐標原點，力F的方向為正方向建立x軸，物體的加速度隨位移的變化圖象如圖所示.下列說法中錯誤的是（ ）

A.0～x2過程中物體做勻加速直線運動，x2～x3過程中物體做勻減速直線運動

B.位移為x1時，物體的速度大小為

C.位移為x2時，物體的速度達到最大

D.物體的最大速度為

解析：在0～x2過程中物體的加速度不變（恒為a0），物體做勻加速直線運動，在x2～x3過程中，雖然加速度大小在減小，但方向仍為正方向，與物體開始運動的方向相同，物體仍做加速運動，A錯誤；由初速度為零的勻加速直線運動速度位移關系式v2=2ax可得，位移為x1時，物體的速度大小v1=，B正確；在位移為x3時，加速度減小為零，速度達到最大，由速度位移關系式可知， a-x圖線包圍的面積的2倍表示速度的平方，即vm=，C錯誤，D正確

從上面幾個題我們可以歸納如下：（1）在高中階段兩個物理量的乘積得另外的量時，兩個物理量的圖線下所圍的面積則表示了這個物理量，如常見的v-t，a-t，F-t，F-x及其它的。（2）高中階段在用這些表達式求量時都要求這些量大小不變，若量的大小變化可利用作圖求面積求解；（3）即使可用表達式求解，用作圖法也較簡捷。

（二）利用圖象分析物理實驗。運用圖象處理物理實驗數據和研究兩個物理量之間關系是物理實驗中常用的一種方法，這是因為它具有簡明、直觀、便于比較的特點；具有運用圖象求出的相關物理量誤差較小的特點（比用取平均值法求解的誤差更小）。

總之：充分利用圖像帶來的信息，是求解物理題的一種有效方法；反過來，充分利用圖像的功能來達到理解、解讀題設條件中的物理情景，尋找物理量之間的關系，求解另外的物理量的方法，更是被廣泛應用。