多元函數積分定義的微課設計

李紅?陸垚

摘 要：本文針對多元函數積分定義的微課設計作了初步的探討。

關鍵詞：多元函數的積分；定義；微課；設計

多元函數積分部分是高等數學課程的核心內容之一，也是這門課程的重點和難點。多年的教學經驗告訴我們定義是數學的靈魂，它直接決定著學生對這部分知識掌握的程度。因此我們將多種多元函數積分的定義放到一起構成知識單元，通過類比的方法加深學生對各類多元函數積分概念的理解，達到復雜問題簡單化的目的。下面就是我們具體的做法：

首先，教師在制作微課程之前應該對該部分內容做一個系統地設計（最好是圖表形式，間接直觀） ，給微課制作者提供一個可行的整體方案。

我們將各類多元函數積分的定義放到一起稱之為一個單元，這個單元中包含了二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第二類曲線積分、第一類曲面積分和第二類曲面積分共六種多元函數的積分。為了更好地引入多元函數積分的定義，我們將定積分作為復習模塊納入這個單元，從而將單元劃分為七個知識點；將每個知識點細分為引例、這類積分的思想方法、定義（符號）、幾何或物理意義、積分域、你對這類積分的概念（符號）的理解、與定義有關的習題七個模塊；說明每一個模塊呈現的方式、方法（教案、視頻、圖片、講義、試卷、題庫等形式）；通過學習要求學生完成的線上作業，并說明此次作業成績占單元成績的百分比。

其次，教師團隊按照之前制定的整體方案分工合作，將我們錄制好的視頻、圖片以及講義、試卷、題庫等分類到不同模塊，以不同形式上傳到學校的網絡教學平臺，分享給學生使用。下面就以定積分和二重積分兩個模塊的設計來說明我們具體的做法：

定積分放到這個單元，目的是幫助學生回憶定積分的思想方法，溫習定積分的定義以及它所代表的幾何、物理意義，并和多元函數積分的定義形成類比。二重積分定義知識點（或其他知識點）與定積分定義知識點中的引例模塊都是通過PPT教案的形式展現，通過學生線上自學完成教師提出的問題“曲邊梯形面積的計算與曲頂柱體體積的計算有何異同？”。對比兩類積分的引例，實質上它們采取的都是“以直代曲、以常代變、找近似和、取極限”的思想方法。為了達到學生能夠靈活的運用這種方法自學其他類型積分定義的目的，這部分再通過教師講解的微視頻展現。定義（符號）以教師在紙上或黑板上講解的有聲圖片形式呈現，通過類比使學生深刻理解定積分和二重積分實質上都是是離散和的極限值—也就是離散和的推廣“連續和”（這樣說有可能不科學，但學生可以會意地去理解），只不過它們作和的范圍不同（積分域不同）；定積分在幾何上代表的是曲邊梯形的面積，在物理上代表變速直線運動的位移（由此引出定積分的基本公式），二重積分在幾何上代表的是曲頂柱體的體積（由此引出二重積分的計算方法）。二者在物理上具有共同的特性：定積分代表直線型構件的質量，二重積分代表平面型構件的質量，并且這種物理解釋可以延續到三重積分、第一類曲線和第一類曲面積分上。教師通過微視頻講解提醒學生注意，同時提出問題“如何求三維空間中的立體、曲線型、曲面型構件的質量”，這樣后續模塊的鋪墊自然完成。

最后，教師搜集學生作業中出現的典型問題，通過線下課堂教學加以講解糾正，將六類多元函數積分符號與其物理意義相對照書寫出來（表格形式），加以比較，找到各類積分的共同點（沒有方向的積分代表質量，有方向的積分代表的是功和流量）與不同點（積分域不同），讓學生徹底理解各類多元函數積分的定義不過就是離散和的極限---連續和，只是不同類型的積分做和的范圍不同而已。通過學生線上的學習，不僅節省了教師講授的時間，而且使得教師的講解更有針對性，使得像多元函數積分定義這樣繁瑣的問題一次性地類比解決，讓學生看到多元函數的積分原來很容易，真正做到使復雜的問題簡單化，輕松消化課堂上的難點，激發他們進一步研究各類積分的性質和計算方法的興趣，達到提高教學質量的目的。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系，高等數學第七版，高等教育出版社.

[2]劉群，李紅， 高等數學解題指導， 東北大學出版社.