基于問題解決的線性代數概念教學

劉耀軍，張姍梅

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基于問題解決的線性代數概念教學

劉耀軍1，張姍梅2

（太原師范學院 1. 計算機科學與技術系，2. 數學系，山西 晉中 030619）

概念是線性代數教學的基礎，概念教學既是教學的重點，也是教學的難點．學生存在著為什么引入這些概念，為什么這樣定義這些概念等疑問．教材中存在著概念引入分析不到位、概念強行引入等問題．教師作為學生與教材之間的紐帶，必須按照“教師為主導，學生為主體”的教學原則，根據學生已有的知識基礎，遵循“從具體到一般、從感性認識到理性認識”的認知規律，采取“探究式”教學方法，以適應“創新精神、創新意識和創新能力培養”的要求，審視概念的教學．教學實踐表明，基于問題解決的線性代數概念教學是一個有效的方法．

行列式；矩陣；初等變換；線性相關性；二次型

線性代數中的概念是線性代數的基石，從概念開始筑起了線性代數的理論．概念以學術的形態展示于教材中，體現了概念的簡潔性和抽象性，同時也加大了學生對概念理解和掌握的難度．教師在概念教學中除了讓學生理解概念的內涵和外延之外，還應通過概念教學提高學生發現問題、分析問題和解決問題的能力，把培養學生創新思維能力作為教學的出發點和落腳點．在概念教學中，教師應模擬數學家構建概念的原始形態，從最簡單做起，從具體問題研究做起，引導學生探究，使學生自發地構筑起線性代數的概念[1]．

1學生的數學基礎

線性代數是中學數學的加深和提高，主要內容包括解線性方程組和把二次型化為標準形，在線性代數中大量使用了矩陣的方法．線性代數開設在大學的第一學年，此時學生已經具備了學習線性代數的基礎：用消元法解二元一次方程組和三元一次方程組；數的范圍的擴展，即自然數、整數、有理數、實數和復數；平面向量的內積；化二次曲線的一般方程為標準方程．學生也具備了學習線性代數的基本能力：實數、代數式、函數的計算能力；代數及幾何證明的邏輯思維能力；二元一次、二元二次方程的幾何圖形的空間想象能力．總之，學生已經具備了基本的數學素養，為線性代數的學習奠定了一定的基礎．

線性代數課程作為中學數學的加深和提高，采取了抽象思維的方法，如從解線性方程組的消元法抽象出行列式法和矩陣方法；從線性方程組解按未知量的表達方法抽象為按未知向量的向量表達方法；從化二次曲線的一般方程為標準方程提升為化二次型為標準型的矩陣方法．在線性代數中，從始至終貫穿著抽象思維方法．抽象思維方法在中學數學中幾乎沒有得到訓練，是大學一年級學生所欠缺的．對此，教師必須深入研究線性代數中概念的教學方法，對概念抽象（即從具體的概念抽象出一般的概念）的教學及抽象概念（即由形式化方法定義的概念）的教學，采取更加貼近學生知識基礎和更加接近學生思維能力的教學方法，引導學生從具體概念抽象出一般概念，啟發學生理解引入這些概念的原因．在線性代數課程教學中，對概念引入進行了研究，形成了從特殊到一般的抽象概念教學方法，以及從問題需求引入概念的教學方法．

2現行教材中對概念的處理

線性代數課程是經濟、管理和工程等專業本科一年級開設的公共基礎課．內容主要包括解線性方程組和化二次型為標準型，化二次型為標準型可以作為線性方程組的應用[2-3]．解線性方程組包括線性方程組的行列式、線性方程組的初等變換及線性方程組解的結構等內容．

自1978年以來，國內已經出版了一批優秀的線性代數教材．但在這些教材中對概念的引入仍然存在一些問題：

（1）在從具體概念抽象出一般概念時，雖然注意到從具體到一般的認知規律，也注意到類比在抽象思維中的作用，但是分析不徹底，造成思維的跳躍．如從二階行列式和三階行列式抽象出一般行列式的定義時，項符號的確定問題．

（2）在概念引入時，雖然注意到數學概念產生于實際需求的思想，但是沒有照顧到學生的現有數學知識基礎，導致了線性代數課程與中學課程的脫節，如矩陣概念的引入．

（3）在概念引入時，雖然注重了理論的嚴謹性，但是沒有照顧到如何釋放學生“為什么引入這些概念”的疑慮．如向量組的線性相關性、方陣的特征值、方陣的特征向量等概念的引入．

教材中的概念應該以學生已有的知識為出發點，將學生帶入未知領域，讓學生創造性地學習新的知識．教材中的概念應該從問題的驅動入手，觸發學生去探究．

3基于問題解決的線性代數概念教學

在線性代數概念教學中，將“教師為主導，學生為主體”的教學原則貫穿于教學實踐活動中是至關重要的．教師應引導學生提煉出概念，作為學生自己思維的結果，對概念的掌握就成了水到渠成的事情．為此，根據學生在不同階段所具備的基礎，在概念引入前，設定問題，激發學生興趣，引導學生探索，抓住學生思緒，挖掘學生潛能，促使學生通過分析、歸納和總結，很自然地得出并理解引入的概念．

以同濟大學《工程數學·線性代數》教材[4]為例，探討概念教學問題．

3.1行列式的概念的解析

在教材中給出了二元一次方程組的行列式求解公式．在教學中，按照概念產生于實際需要的思想，明確了二階行列式的引入是為了記憶由消元法導出的二元一次方程組求解公式．并且通過二階行列式定義的引入，體會數學能夠使無序變為有序．

在教材中給出了三階行列式的定義．在教學中指出三元一次方程組也可用行列式求解，并給出求解公式．同時指出用消元法導出三元一次方程組的行列式求解公式的困難，明確暫時不予推導．指出公式的推導將在本章結束時給出，且推導變得十分容易．這樣調動了學生的好奇心，使學生帶著問題進入行列式的學習．

在本章結束時，向學生指出，克拉默法則只是解決了特殊的線性方程組的求解，對于一般線性方程組的解法將在第3章和第4章中給出．這樣，通過問題的設定，提高了學生的探究意識，同時激發了學生進一步想要學習第3章和第4章的興趣，調動了學生學習的積極性．

3.2矩陣及逆矩陣概念的解析

教材中，首先給出矩陣的定義，然后用例題說明矩陣的實用性．在教學中，從學生中學已有知識出發，將矩陣納入數的擴充的框架之下．首先，回顧了從自然數、整數、有理數、實數再到復數的數的擴充歷程，指出數的發展來源于客觀的需要．然后，通過諸如高考成績匯總表這樣的實際問題，指出在實際問題中需要研究數的矩形表格，從而引入矩陣的定義．既然作為數的擴充，也就有了類似于數運算的矩陣運算．

教材中，對于逆矩陣的引入采用了線性變換的逆變換作為實際背景．在教學中，按照逆運算的思想引入逆矩陣的概念．首先指出，矩陣加法的逆運算是可以進行的，即矩陣的減法．接著指出矩陣乘法的逆運算不是總可以進行．例如：已知一個矩陣和一個矩陣，求矩陣，使得．這個方程類似于中學的一元一次方程，解一元一次方程需要數的倒數的概念，從而得到在的情況下的解為．借此指出為了進行矩陣乘法的逆運算，需要引入矩陣的類似于數的倒數的概念，即方陣的逆矩陣的概念．類比在矩陣乘法中單位矩陣與1在數的乘法中的作用相同，引入了逆矩陣概念，即階方陣的逆矩陣是適合等式的階方陣．這樣使學生體會到了類比推理的思想．

在講解逆矩陣的伴隨矩陣算法公式之后，向學生指出該方法將求逆矩陣的問題歸結為若干個行列式的計算問題，因此只能局限于簡單的方陣，對于一般方陣的逆矩陣的求法，需要找出切實可行的算法．指出一般矩陣的乘法逆運算問題將在第3章中進行．這樣，通過問題的設定，提高學生的探究意識，同時激發了學生進一步想學習第3章的興趣，調動學生學習的積極性．

3.3初等矩陣與矩陣的秩概念的解析

教材中，將線性方程組抽象為矩陣，將用加減消元法解線性方程組抽象為矩陣的初等行變換．一方面說明了矩陣的應用，另一方面自然地引入了矩陣的初等行變換，進而推廣為矩陣的初等變換．然后討論了矩陣的初等變換與初等矩陣之間的關系．在教學中，將矩陣的初等變換與初等矩陣的關系后置到本章的最后，以突出解方程組這一重點，也照顧到解方程組內容的連貫性．

教材中，在矩陣的初等變換后接著轉向矩陣的秩的討論，利用矩陣的子式給出了矩陣秩的定義．在教學中，為了避免偏離解線性方程組這條主線，把矩陣經過行初等變換得到的行階梯形矩陣的非零行的個數稱為矩陣的秩，同時指出矩陣的秩是由矩陣唯一確定的，而不會因為所采取的初等變換不同而不同，但把它的證明后移到線性方程組解的存在性及解的個數之后．

作為本章的結束，對矩陣乘法的逆運算進行了徹底的討論，給出了矩陣乘法逆運算可以進行的條件和逆運算的計算方法．

在教學中，以解決問題為向導，對課本中的內容的原來順序進行了重新整合．新順序為：方程組解的討論——矩陣的秩——求逆矩陣的初等變換法．這樣采取各個擊破的方法，使得脈絡更加清楚．

3.4向量、向量組、向量組的等價及向量組的秩概念的解析

從整體結構看，教材中先討論了向量組的理論，借助向量組的理論討論了線性方程組解的結構．在教學中，按照學以致用的原則，按照問題驅動的思路，首先給出線性方程組解的結構．一方面突出了解方程組的重點，另一方面也使得學生能更好地理解引入向量組理論的原因．

在中學數學中，線性方程組解的表述方法是按各個未知量的解分開表達的，而在線性代數中，是把未知量作為整體來表達，所以需要引入向量的概念．接著按照齊次線性方程組解的結構中呈現出的解向量的表達形式，引入向量組的線性組合的概念．

通過分析齊次線性方程組中的解向量的表達式，引入線性無關和線性相關的概念，并用矩陣的秩給出向量組線性相關的描述．在此基礎上，通過對齊次線性方程組的解向量的進一步分析，引入極大線性無關組的定義．作為對同一齊次線性方程組的不同基礎解系的分析，引入了向量組之間的線性表示和向量組等價的概念，并且討論了向量組等價的刻劃．

采取這樣的處理方式，使得概念的引入更加自然，體現了數學源于實踐，又服務于實踐的思想，使學生更容易接受．

3.5特征值、特征向量概念，及正交化方法的解析

教材中是依照內積、特征值與特征向量、矩陣對角化、二次型的順序展開討論的．在教學中，按照由具體到一般的思維方式，對教學內容的順序進行了調整．

將二次型與其矩陣統一起來之后，分析利用正交變換化二次型為標準型的問題，本質上是求正交矩陣和對角陣，使得的問題．而，因此問題可以弱化為求可逆矩陣，使得的問題．即求可逆矩陣，使得的問題．利用列向量表示矩陣，則問題化為求實數和非零向量，使得的問題．據此引入方陣的特征值和特征向量，增強了學習的目的性．

引入正交化方法，修正利用可逆矩陣化方陣為對角矩陣的方法，得到用正交矩陣化實對稱矩陣為對角矩陣的方法．這樣教學安排下，內容環環相扣，學生的學習積極性和參與意識得到提高，學生的主體作用得到保證．增強了學生的探索精神和創新能力，提高了學生的抽象思維能力和邏輯推理能力．

在線性代數的教學中，應遵循“以教師為主導，以學生為主體”的教學原則，深入研究概念的切入點，形成了概念教學的改革思路，以概念教學改革為突破點進行了教材改革．線性代數作為經濟、管理和工程等專業本科的公共基礎課，應與專業相結合，針對不同的專業，增加一些面向不同專業的問題[5-7]，在教學中可以借助Maple，Matlab，Mathematics等軟件進行概念的形象化教學[8-11]．

[1] 李紅，李厚彪，黃廷祝．《線性代數》研究型教學初探[J]．大學數學，2013，29（4）：151-154

[2] 王瑞，夏愛生，劉艷娜，等．《線性代數（非數學專業）》整體教學的實踐與認識[J]．大學數學，2011，27（6）：11-14

[3] 李小平．關于《線性代數》教學改革的一些思考[J]．大學數學，2011，27（3）：22-25

[4] 同濟大學．工程數學·線性代數[M]．5版．北京：高等教育出版社，2007

[5] 王強，方文波，張俊杰，等．教育信息化背景下高校線性代數課程教學內容創新的探索與實踐[J]．大學數學，2012，28（5）：4-7

[6] 姚瓊，高東娟．面向獨立學院學生的線性代數課程“可視化”教學研究[J]．大學數學，2013，29（1）：6-9

[7] 杜建衛，蘇欣．讓線性代數課程易教易學[J]．大學數學，2011，27（5）：179-184

[8] 楊韌，張志讓．以能力培養為中心的線性代數課程建設與改革[J]．高等理科教學，2014（5）：89-90，117

[9] 陳平炎．線性代數課程教學改革的探索與實踐[J]．高等理科教學，2012（5）：120-123

[10] 陳建華，李立斌，凌智，等．基于問題解決的線性代數課程教學設計研究[J]．高等理科教學，2011（4）：117-119，152

[11] 王利東，劉婧．從應用實例出發的線性代數教學模式探討[J]．數學教育學報，2012，21（3）：83-85

On the concept learning method in linear algebra based on the problem solving

LIU Yao-jun1，ZHANG Shan-mei2

（1. Department of Computer Science and Technology，2. Department of Mathematics，Taiyuan Normal University，Jinzhong 030619，China）

Concept is the foundation of the linear algebra learning，the concept learning is the focal point in teaching but it is also the difficult learning point．Student doubt why the concept is introduced and why the concept is defined in this manner．There are some questions about the introduction of the concept in textbooks such as the analysis is not thorough and the concept is intruded．As the bridge between students and the textbooks teachers must be in accordance with the teaching principle which takes the teacher as leading and takes the students as the main body．According to the students′ existing knowledge background，and following the cognitive law of start from specific to general，and from perceptual to rational knowledge，and using the inquiry teaching methods，and adapting to the training of the spirit，consciousness and ability about the innovation，teachers must reexamine the concept teaching．The teaching practice showed that the concept teaching method in linear algebra based on the problem solving is an effective way．

determination；matrix；elementary transformation；linear dependence；quadratic form

1007-9831（2016）02-0050-05

O151.2∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.02.015

2015-09-20

山西省教育廳教學改革項目（J2015137）

劉耀軍（1963-），男，河北陽原人，教授，博士，從事代數及其應用研究．E-mail：yjliuty@sina.com

張姍梅（1964-），女，山西霍州人，副教授，碩士，從事代數及其應用研究．E-mail：smzhangty@163.com