與年齡相關(guān)的隨機分數(shù)階種群系統(tǒng)溫和解的存在性、唯一性

楊洪福，張啟敏

（北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寧夏銀川750021）

與年齡相關(guān)的隨機分數(shù)階種群系統(tǒng)溫和解的存在性、唯一性

楊洪福，張啟敏

（北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寧夏銀川750021）

本文研究了一類與年齡相關(guān)的隨機分數(shù)階種群動態(tài)系統(tǒng).利用不動點定理、隨機分析和算子半群理論，討論了與年齡相關(guān)的隨機分數(shù)階種群系統(tǒng)溫和解的存在性、唯一性.本文是隨機整數(shù)階種群系統(tǒng)的推廣.

存在性；唯一性；隨機分數(shù)階種群系統(tǒng)；溫和解

1　引言

近年來，隨機分數(shù)階微分方程引起了國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，并被廣泛的應(yīng)用在物理、生物、工程、金融等領(lǐng)域［1［6，7］.

另一方面，分數(shù)階微分方程與分形密切相關(guān)，而分形富含于生物系統(tǒng)中.研究表明，在傳統(tǒng)的整數(shù)階微分方程不能建模的現(xiàn)象中，分數(shù)階微分方程為此提供了可能性.這里，特別強調(diào)的是，分數(shù)階與整數(shù)階模型最大區(qū)別在于分數(shù)階模型擁有記憶，而死亡率有長程相似性，它的主要特征恰恰包含了記憶.因此，本文首次嘗試建立與年齡相關(guān)的隨機分數(shù)階動力學(xué)模型.另外，已經(jīng)證實由分數(shù)階微分方程建立的某些生物學(xué)模型比整數(shù)階更有優(yōu)勢［8，9］.

現(xiàn)在將分數(shù)階引入與年齡相關(guān)的隨機種群模型［10］.新系統(tǒng)可描述為如下分數(shù)階非線性系統(tǒng)：

其中0＜α＜1，a∈［0，A］表示年齡，t∈［0，T］表示時間，0＜T＜∞，Pt：=P（t，a）、β（t，a）和μ（t，a）分別表示時刻t年齡為a的種群密度、生育率和死亡率.f（t，P）為外部環(huán)境對種群系統(tǒng)的影響，如遷移、地震等突發(fā)性災(zāi)害對種群引起的影響,為隨機外界環(huán)境對系統(tǒng)的擾動.

在α=1的情況下，方程（1.1）成為經(jīng)典的與年齡相關(guān)的隨機種群模型，該模型通過隨機分析理論和數(shù)值方法已被廣泛研究.例如張啟敏等［10］研究了與年齡相關(guān)的隨機種群方程解的存在性，唯一性和指數(shù)穩(wěn)定性.李榮華等［11］考慮了帶Markovian跳的與年齡相關(guān)的隨機種群方程數(shù)值解的收斂性.馬維軍和張啟敏等［12，13］討論了與年齡相關(guān)的隨機種群方程帶分數(shù)布朗運動的數(shù)值解和Markovian跳的漸近穩(wěn)定性.楊洪福等在文獻［14］中介紹了與年齡相關(guān)的隨機兩種群方程在POD基下的數(shù)值解.

本文首次將分數(shù)階引入與年齡相關(guān)的隨機種群動力學(xué)模型，討論在滿足一定的假設(shè)條件下證明了溫和解的存在性、唯一性，得到的結(jié)論是文獻［10］的推廣.

2　預(yù)備知識

令

下面，首先給出兩個相關(guān)的基本定義.

定義2.1［4］函數(shù)f的α分數(shù)階積分定義為

其中t≥t0且α＞0，Γ（·）為Gamma函數(shù).

定義2.2［15，16］函數(shù)f的α階Caputo分數(shù)階微分定義為

其中t≥t0，n是一個正整數(shù)滿足n-1＜α＜n.特殊地，當(dāng)0＜α＜1時，

把與年齡相關(guān)的隨機分數(shù)階種群方程（1.1）寫成如下形式的積分方程［16］

其中

定義2.3［17］如果一個Ft-循序可測的隨機變量｛P（t，a）｝t∈J是方程（1.1）的一個溫和解，則｛P（t，a）｝t∈J滿足相應(yīng)的積分方程（2.1）.

引理2.4［18］如果算子和是強連續(xù)的，則對每個Pt∈H，當(dāng)t1→t2，有

為了證明本文的主要結(jié)論，給出以下假設(shè)條件：（i）μ（t，a）非負可測，并且

（a.2）?N＞0，使得

（b.1）g（t，0）=0；

（b.2）?L＞0，使得

3　溫和解的存在性、唯一性

在本節(jié)中，利用第二部分給出的定義和引理，證明與年齡相關(guān)的隨機分數(shù)階種群方程（1.1）的溫和解的存在性、唯一性.定義算子Ψ：H→H，滿足如下方程為了證明文章的主要結(jié)論，先證明如下引理.

引理3.1對任意的Pt∈H，ΨPt在［0，T］上是L2-連續(xù)的.

證令0＜t1＜t2＜T.對于方程（3.1）的任意固定點Pt∈H，有

類似的可以證明在［0，T）上ΨPt是左連續(xù).因此引理得證.

定理3.2如果條件（i）-（iii）是成立的，并且滿足下面的不等式，則方程（1.1）存在唯一的溫和解Pt∈H.

證應(yīng)用壓縮映射原理證明算子Ψ存在一個不動點.首先，要證Ψ（H）?H.令Pt∈H，由（3.1）式，可得

現(xiàn)在估計方程（3.3）右邊的項.第一項，由條件（ii）可得

第二項應(yīng)用Holder不等式和假設(shè)條件（i）-（iii）有

進一步又可以得到

所以從（3.4）式到（3.7）式可以得到E‖ΨPt‖2＜∞.由引理3.1知ΨPt∈H.因此算子Ψ是從H到H的自映射.接下來，將證明Ψ是H上的連續(xù)映射.事實上，對任意的P1t，P2t∈H，由方程（3.1）和等距公式，可得

現(xiàn)在估計方程（3.8）右邊的項.第一項由Holder不等式和假設(shè)條件（i）-（iii），有

類似的，第二項為

因此?t∈J由方程（3.9）-（3.11）可以得到

即

從方程（3.12）可以得出Ψ是連續(xù)映射.由Banach壓縮映射原理，在H上存在唯一不動點Pt，使得ΨPt=Pt.因此可以得到

即Pt∈H是方程（1.1）的溫和解.定理得證.

4　結(jié)論

本文用分數(shù)階導(dǎo)數(shù)代替古典的隨機種群系統(tǒng)中關(guān)于時間的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)，得到了一類隨機分數(shù)階種群模型，該模型較傳統(tǒng)的隨機種群系統(tǒng)能更好地刻畫現(xiàn)實中的種群問題，尤其對具有遺傳性的種群現(xiàn)象.在引入分數(shù)階概念的基礎(chǔ)上，利用不動點定理、隨機分析和算子半群理論，討論了隨機分數(shù)階種群系統(tǒng)溫和解的存在性、唯一性.所得到的結(jié)論為種群未來的研究提供了一定的理論依據(jù).

［1］He J H.Nonlinear oscillation with fractional derivative and its applications［J］.Intern.Confer.Vibrating Engin.，1998，288-291.

［2］Cui Z J，Yang Z D.Application of homotopy perturbation method to nonlinear fractional population dynamics models［J］.Intern.J.Appl.Math.Comput.，2012，4（4）：403-412.

［3］Xu H.Analytical approximations for a population growth model with fractional order［J］.Commun. Nonl.Sci.Numer.Simulat.，2009，14：1978-1983.

［4］Shu X B，Lai Y，Chen Y.The existence of mild solutions for impulsive fractional partial differential equations［J］.Nonl.Anal.TMA，2011，74：2003-2011.

［5］Liu Kewei，Jiang Wei.Finite time stability of fractional order neutral differential equations［J］.J. Math.，2014，1：43-50.

［6］Wang Y W，Guan Z H，Xiao J W.Impulsive control for synchronization of a class of continuous systems［J］.Chaos，2004，14（1）：199-203.

［7］胡建兵，韓焱，趙靈冬.分數(shù)階系統(tǒng)的一種穩(wěn)定性判定定理及在分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)同步中的應(yīng)用［J］.物理學(xué)報，2009，58（7）：4402-4406.

［8］Cole K S.Electric conductance of biological systems［J］.Proc.Cold Spring Harbor Symp.Quant. Biol.，New York：Cold Spring Harbor，1993：107-116.

［9］Anastasio T J.The fractional-order dynamics of bainstem vestibulo-oculomotor neurons［J］.Biol. Cyber.，1994，72：69-79.

［10］Zhang Q M，Liu W A，Nie Z K.Existence，uniqueness and exponential stability for stochastic age-dependent population［J］.Appl.Math.Comput.，2004，154：183-201.

［11］Li R L，Leung P，Pang W.Convergence of numerical solutions to stochastic age-dependent population equations with Markovian switching［J］.J.Comput.Appl.Math.，2009，233：1046-1055.

［12］Ma W J，Zhang Q M，Wang Z P.Asymptotic stability of stochastic age-dependent population equations with Markovian switching［J］.Appl.Math.Comput.，2014，227：309-319.

［13］Ma W J，Zhang Q M，Han C Z.Numerical analysis for stochastic age-dependent population equations with fractional Brownian motion［J］.Commun.Nonl.Sci.Numer.Simul.，2012，17：1884-1893.

［14］Yang H F，Zhang Q M，F(xiàn)eng J T.Numerical simulations based on POD for stochastic age-dependent system of two species［J］.Differ.Equ.Dyn.Syst.，2015，23（4）：433-451.

［15］Jiang H P，Jiang W.The existence of a positive solution for nonlinear fractional functional differential equations［J］.J.Math.，2011，3（31）：440-446.

［16］Chen L P，Chai Y，Wu R C，Ma T D，Zhai H Z.Dynamic analysis of a class of fractional-order neural networks with delay［J］.Neurocomputing，2013，11：190-194.

［17］Sakthivel R，Revathi P，Anthoni S M.Existence of pseudo almost automorphic mild solutions to stochastic fractional differential equations［J］.Nonl.Anal.，2012，75：3339-3347.

［18］Sakthivel R，Suganya S，Anthoni S M.Approximate controllability of fractional stochastic evolution equations［J］.Comp.Math.Appl.，2012，63：660-668.

EXISTENCE，UNIQUENESS FOR STOCHASTIC
FRACTIONAL-ORDER AGE-DEPENDENT POPULATION

YANG Hong-fu，ZHANG Qi-min
（School of Mathematics and Information Science，Beifang University for Nationalities，Yinchuan 750021，China）

In this paper，we study a class of stochastic fractional-order age-dependent population dynamic system.By using fixed point theorem，stochastic analysis and semigroup of operators theory，the main conclusion of the existence and uniqueness of mild solution to stochastic fractional-order age-dependent population equations are obtained.This paper is a generalization of the stochastic integer order population system.

existence；uniqueness；stochastic fractional-order population system；mild solution

MR（2010）主題分類號：26A36；35R11；34D20；60H15O211.63

A

0255-7797（2016）05-1083-08

2014-10-30接收日期：2015-06-02

國家自然科學(xué)基金（11461053；11261043）；寧夏自然科學(xué)基金（N215104）.

楊洪福（1986-），男，黑龍江大興安嶺，碩士，主要研究方向：應(yīng)用概率統(tǒng)計與非線性動力系統(tǒng).通訊作者：張啟敏.

2010 MR Subject Classification：26A36；35R11；34D20；60H15