現代數學教育中的教材研究：“概念”“問題”和“方法”

范良火，熊 斌，李秋節

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現代數學教育中的教材研究：“概念”“問題”和“方法”

范良火1，熊 斌2，李秋節2

（1．英國南安普頓大學教育學院，南安普頓英國；2．華東師范大學數學系，上海 200241）

近年來數學教材研究在國際數學教育研究中發展非常迅速，可以說正處于最活躍的時期．有必要對數學教材研究領域中的一些基本問題進行深入地探究和厘清，以使整個領域得到更好地發展．研究在概述國際數學教材研究的歷史和最新動態的基礎上，闡述數學教材的地位和功能；重點分析和討論數學教材研究的概念及所要研究的問題，并給出一個關于數學教材研究問題的分類框架；再結合有關研究案例，論述數學教材研究的方法，給出一些基本結論和建議．

國際數學教育；數學教材研究；數學課程和教材

1 引論和背景

教材（包括數學教材）的存在在人類教學活動中有悠久的歷史，如中國古代的《九章算術》和古希臘歐幾里得的《幾何原本》就被認為是古時候東西方最有代表性的數學教材．前國際數學教育委員會秘書長Howson教授曾指出，人們對數學教育的歷史在很大程度上是通過對以前數學教材的研究而獲知的，通過教材可以了解學校數學及其教學的演變，而課程發展總是以教材的發展為先導的[1]．

與人們對教材的編寫和使用相比，教材研究的歷史很短．20世紀20年代，國際聯盟（聯合國前身）從其自身定位和關注點出發，對歷史、地理和家政3個社會學科開展了教材比較研究[2]，此時還不包括數學學科．后來聯合國教科文組織和位于德國的Georg Eckert國際教材研究中心聯合出版了《關于教材研究和修訂的聯合國教科文組織指導用書》[3]，學科范圍有所擴大，但主要還是局限在文科領域和宏觀方面，不是專門關于數學教材研究的，因此在數學教育界很少有人關注．

從數學教育研究的角度看，現代關于數學教材研究的歷史更短，但最近十幾年，特別是最近幾年在國際范圍內發展非常迅速，引人注目．

在某種意義上，數學教材研究現代發展的一個重要標志可以說是2004年在丹麥召開的第十屆國際數學教育大會（ICME-10）．當時負責大會議程的國際程序委員會在國際數學教育大會的歷史上，第一次將數學教材作為獨立的主題設立討論組（DG14）．第一作者作為該討論組的共同主席，曾親身經歷了有關過程，包括決定討論組的焦點是“數學教材的發展和研究”．2008年在墨西哥舉行的第十一屆國際數學教育大會（ICME-11）也有關于數學教材的討論組（DG17），主題是“數學教材的作用及其變動特點（形成、使用、選用）”；2012年在韓國舉行的第十二屆國際數學教育大會（ICME-12）上沒有專門關于數學教材主題的研究組或討論組，有些遺憾；而在2016年德國舉行的第十三屆國際數學教育大會（ICME-13）上，這方面的討論組擴大為“（教學）資源（教材、學習材料等）的研究”（TSG38）．

對數學教材在數學教育中的重要性的認識同樣也反映在其他國際會議和出版物中．例如，2010年APEC（亞太經合組織）在泰國舉辦的“在APEC經濟體中移植優秀的數學教育實踐”會議，專門組織了關于新加坡和日本數學教材出版過程和原則的大會報告；2011年在日本舉行的第五屆APEC-Tsukuba國際會議的主題是“聚焦數學教材、電子教材和教育用具”；2011年在上海華東師范大學召開的中小學數學教材國際會議（2011 ICSMT）則關注于數學教材的比較研究；而在2013年，《國際數學教育學刊》（ZDM- International Journal on Mathematics Education）出版了由范良火和其他3位中英兩國學者主編的以“數學教育中的教材研究”為主題的特輯；在2015年底，《北歐數學教育研究》（Nordic Studies in Mathematics Education）也特別出版了關于數學教材研究的特輯．

值得特別指出的是，2014年在英國南安普頓大學舉辦了首屆國際數學教材研究和發展會議（ICMT-1），吸引了約三十個國家和地區的一百八十余人參加[4]．第二屆國際數學教材研究和發展會議將于2017年在巴西舉行，第三屆也已計劃于2019年在德國舉行．可見國際數學教育界對數學教材研究給予了前所未有的關注，這與數學教材本身在數學教與學中的作用受到關注是直接相關的．

在簡單回顧國際數學教材研究現代發展的基礎上，以下將結合若干研究案例，分析和探討數學教材研究的概念、研究的問題和方法論問題，并提出有關認識．

2 數學教材研究的概念和問題

在論及數學教材研究的概念之前，有必要先簡單說明一下數學教材本身在數學教與學過程中的地位和功能．

盡管教材在不同國家和教育體系中受到的重視和使用程度有所不同，但大多數的研究者普遍認為教材在現代教育背景中具備重要的甚至是支配性的作用，并且相比于其它學科，數學教學可能更加依靠教材．研究者認為，教材能向學習者展現那些并非顯而易見的事物和無法直接擁有的經歷，能為系統的教與學過程提供組織有序的觀點和信息，從而引導學習者理解、思考和感受．另外，第一作者在研究中發現教材的作用還包括影響教師選擇教學法，教材向教師傳遞著教學法信息，同時向教師傳遞著鼓勵的和批判的課程環境，從而影響教師對于教學方法和策略的選擇．

從課程論的角度看，根據Schmidt等學者的說法，“兩個世界——正式的目標世界和實際的課堂教學活動——在一定程度上是通過教材來連接的”[5]．其中，“正式的目標世界”即為人們制定的課程大綱，大綱制定后需要通過教材來達到目標．

不過在傳統上，人們多把教材和課程標準（大綱）都視作意向課程的一部分，因為教材體現了教材編寫者等人的意向．但是最近十幾年來這種認識已有改變，第三次國際數學和科學調查（TIMSS）的研究者們提出了以下的“教材與課程標準（大綱）的關系”[6]（見圖1），在這一框架中，教材不是“意向課程”的一部分，而是作為潛在實施的課程，介于意向課程和實施課程之間，起到橋梁的作用．

圖1 TIMSS研究組提出的概念框架

在2011年的上海中小學數學教材國際會議上，范良火提出教材研究是“對教材本身及教材與其他因素之間關系的科學研究”[7]．從宏觀上，應把教材（包括其他課程和學習資源）看作一個中間變量來研究，它的產生和發展既受到其它因素（自變量）的影響，而它形成后又會影響其它因素（因變量）（見圖2）．

圖2 在教育情境中被看成中間變量的教材

根據上述基本定義，教材研究總體上可分為3類：一種是關于教材本身的研究，即教材作為研究的對象；一種是關于影響教材生成和發展不同因素，即教材作為因變量（相比之下，其他因素是自變量）的研究；還有一種是關于其他因素是如何受到教材的影響的問題，即教材作為自變量（其他因素是因變量）的研究，比如教材是怎樣影響師生的課堂行為的．表1給出了一個關于數學教材研究的問題分類框架．

在首屆國際數學教材研究和發展會議（ICMT-1）上，國際程序委員會（IPC）確定了以下會議主題：（1）教材研究（概念、問題、方法、方向等）；（2）教材分析（特點、教學方法與內容的處理等）；（3）教材比較與歷史研究；（4）教材使用（教師、學生和其他人員）；（5）教材開發（表達、問題設計、出版和政策問題等）；（6）ICT在教材中的融入（包括電子教材）；（7）其他學科在數學教材及數學在其他學科教材中的相互滲透；（8）其他與數學教材相關的問題．第二屆國際數學教材研究和發展會議的主題和首屆基本一致，一定程度上反映了國際數學教育界在有關問題上的共識和關注的焦點．

表1 數學教材研究的問題分類框架

應該指出的是，到目前為止，有關教材的研究主要集中在表1中的第一類，即關于教材本身的分析（包括比較）等，盡管這類研究有重要意義且不可忽視，但對數學教材研究這一領域的發展是遠遠不夠的．關于第二和第三類問題的研究正在受到越來越多的重視，不過總體上還較少，尤其是關于教材開發方面的研究還很缺少，也很有挑戰性．鑒于教材開發的重要性，開展這方面的研究具有現實意義．

3 數學教材研究的方法

和數學教材研究的短暫歷史相對應，數學教材研究的方法論問題傳統上也很少受到關注和討論，很大程度上還處于起步階段．上面提到過的德國Georg Eckert國際教材研究中心，在官方網站上則稱該中心主要從歷史和文化的視角進行跨學科的教材研究．

范良火等[8]對數學教材研究進行的文獻分析顯示，約三分之二的研究是關于數學教材分析（一種教材）和比較（多種教材）的研究．與之相對應，所采用的方法是內容或文本分析的方法和比較的方法．這類研究往往聚焦于數學教材的特征或對所關心的數學內容、教學思想或方法等進行客觀、系統的定量或定性分析．在教材的比較研究中，則是在教材分析的基礎上，進一步對多套教材之間的相似和不同方面進行比較，并對有關原因作出解釋和探討．以下各舉一例說明．

Flanders在1980年代研究了美國當時中小學數學教材中新知識（而非舊知識的復習）的含量[9]．通過對從幼兒園到9年級的3個系列的美國數學教材進行分析，發現新的內容在每個年級都有出現，但是從3年級到8年級，新內容含量有減少的趨勢．含量最低出現在6、7和8年級，新內容均少于40%．由此研究者提出一個研究問題，如果教材重復內容太多，會影響學生學習的動機和行為嗎？Flanders的研究結果在很大程度上引起了數學教材改革者和開發者對美國中小學數學教材內容重復過多、螺旋性上升方面處理缺陷的注意，對美國的數學教材改革和發展產生了重要的影響，受到廣泛引用．

Pepin和Haggarty對英、法、德的數學教材進行了比較研究[10]，從這3個國家最暢銷的數學教材中各選一個系列進行了分析和比較，發現各國數學教材的內容結構有巨大差異：法國教材包含活動、基本練習和引導學生理解新內容的適應性練習；德國教材則是先引入練習，然后是大范圍的延伸練習，再介紹主要概念和內容；相比之下，英國教材非常簡單，直接是問題，然后就是練習．研究者認為這種差異與各國教育的背景和傳統有關，特別是，法國的教材結構似乎與國際著名心理學家皮亞杰的建構主義觀點及其對應的教學法相吻合．由于皮亞杰曾長期擔任法國巴黎大學心理學教授并在法國數學教育界具有巨大的影響，該研究似乎指向皮亞杰的建構主義觀點對法國中小學數學教材的開發具有實際的影響．不過，由于研究方法的限制，這類比較研究并不能直接證實皮亞杰的理論對所研究的教材是否有影響，有多大影響．這需要不同的研究方法．

關于教材使用的研究，主要是探討數學教材如何被教師、學生甚至家長所使用，換句話說，教材是如何影響潛在的使用者，特別是教師和學生的數學教與學行為的．這類研究從20世紀80年代起逐漸受到重視．其主要方法是以問卷調查、課堂觀察（包括聽課和錄像記錄）和訪談等實證方法為基礎的．

美國芝加哥大學學校數學項目（UCSMP）曾研究了UCSMP教材和其他較傳統數學教材的使用者（教師）在課堂教學上的差別．研究者實地訪問了28所學校，通過課堂聽課，發現UCSMP教材和其他傳統數學教材的使用者在課堂教學策略上存在顯著差異，這種差異與各自使用的教材的特點有很強的一致性．研究結論認為，教材不僅影響了教師教什么，也影響教師怎么教，從而推斷教材能給教師傳遞不同的教學信息，提供不同的課程環境，影響不同的教學策略的選用[11]．

值得一提的是，美國學者McNaught等使用“實施忠誠度（implementation fidelity）”的概念進行了教材使用的研究．“實施忠誠度”是一個較新的專業術語，指在多大程度上使用者忠實于教材原意進行教學，包括“內容忠誠度”——指忠實選取教材中的內容作為教學內容的程度，“表達忠誠度”——指忠實按照教材把內容表達給學生的程度．McNaught等研究者為此進行了一項長達3年的研究，考察美國教師使用兩套不同數學教材的情況，通過教師的自我報告（包括“教材使用日記”、“內容記錄表”）和“研究者的課堂聽課”等途徑收集數據，得到一些有意義的發現，如，相比于教材提供給學生的問題數量，教師布置給學生的問題數量較少，平均約為教材問題數量的70%[12]．

Remillard和Rezat等學者更強調教師和教材的互動，即教師在使用教材上的能動性．Remillard考察了兩位小學教師使用教材的情況，基于教材和課堂教學存在的差異，提出了一個教師課程建構的三維模型，強調教師應該參與課程建構，因為實際的課程內容在很大程度上依賴于教師的個人信念及其在3方面的決策，即設計（選擇和設計數學任務）、建構（執行選擇或設計任務，并對學生給出回應）與課程應對（決策與整個課程相適應的內容和組織方式）[13]．Rezat以活動理論為基礎提出了一個教材使用的多因素綜合模型，強調以課堂作為教材使用的實際背景，具有目的性和集體性的特點，以全面研究教材的使用情況[14]．

與教材分析和比較研究相比，教材使用的研究在數據收集上更具挑戰性，這也說明為什么這方面的研究總體上較少．事實上，前面提到的有關文獻分析發現，這方面的研究僅占到四分之一．

數學教材研究中使用的研究方法還有歷史的方法、文獻法、定量統計的方法，等等，因研究主題和問題而定．如數學教材發展歷史的研究自然用到歷史的方法，探究教材和學生成績的關系多用定量統計（如計算相關系數）的方法．但總體上這類研究很少，不贅述．

最后要說明的是，盡管目前嚴格意義上的數學教材實驗研究幾乎不存在，開展這方面的研究在方法論上對研究者也是一種挑戰，但由于實驗方法在現代科學中的地位和價值[15]，要進一步提高教材研究質量，尤其是科學性水平，在教材研究中使用實驗方法是其他方法所不能替代的．從中國現實情況看，21世紀初實行的數學教材一綱多本的改革，使得開展嚴格意義上的數學教材實驗研究有了更大的必要性和可能性，值得大力提倡和重視．

4 結束語

數學教材研究的目的是探究數學教材改革、發展和使用的規律，促進以研究為基礎和動力，提升數學教材開發和編寫水平，提升教材使用效果，從而整體提高數學教育的質量．

第一作者在擔任2004年第十屆國際數學教育大會數學教材專題組（DG-14）共同負責人時，共收到11篇由各國學者提交的論文，而作為2016年第十三屆國際數學教育大會資源（教材、學習材料等）專題組（TSG-38）共同負責人時，共收到68篇提交的論文，根據已公布的統計，為大會54個專題組（TSG）中收到提交論文最多的5個專題組之一．這從一個方面說明了數學教材研究的迅速增加．從很多方面看，可以說國際上數學教材研究目前正處于最活躍和發展最快的時期．

中國的數學課程發展以及伴隨的教材改革和發展，具有長遠的歷史和豐富的實踐，為數學教材研究提供了直接的動因和素材．自從中國21世紀初實施了數學課程和教材改革以來，中國的數學教材研究無論從數量上還是質量上都有了明顯的提高．隨著人們對數學教材作用認識的進一步加深，相信中國的數學教材研究會得到更加全面的發展，并在國際上占有應有的地位；希望上述分析有益于中國在這方面研究工作的討論和發展．

［參考文獻］

[1] Howson G. The Development of Mathematics Textbooks: Historical Reflections from a Personal Perspective [J]., 2013, 45(5): 647-658.

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[12] ?McNaught M, Tarr J, Sears R. Conceptualizing and Measuring Fidelity of Implementation of Secondary Mathematics Textbooks: Results of a 3-year Study [R]. Paper Presented at the American Educational Research Association Annual Meeting, Denver, CO, 2010.

[13] Remillard J T. Curriculum Materials in Mathematics Education Reform: A Framework for Examining Teachers’ Curriculum Development [J]., 1999, (29): 315-342.

[14] ?Rezat S. A Model of Textbook Use [A]. In: Novotna J, Kratka H, Stehlikova N.[C]. Prague: PME, 2006.

[15] 范良火．試論數學教育實驗的意義、特征和價值[J]．數學通報，1993（5）：1-4．

[責任編校：張楠]

Textbook Research in Modern Mathematics Education: Concepts, Issues and Methods

FAN Liang-huo1, XIONG Bin2, LI Qiu-jie2

(1. Southampton Education School, University of Southampton, UK;2. Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

In international mathematics education research, mathematics textbook research has developed very rapidly in the last few years and it currently appears to be in the most active period. Accordingly, it is necessary to carefully examine and clarify some fundamental issues in mathematics textbook research as a field of scholarship in order to better advance the whole field. This paper first offers a brief review about the history and latest developments of international mathematics textbook research and then, following a delineation of the roles and functions of mathematics textbooks, it examines the concepts and issues of mathematics textbook research and provides a framework about the issues of mathematics textbook research. Using past studies as examples, the paper also discusses the methodological issues in mathematics textbook research. The paper ends with several basic conclusions and recommendations.

international mathematics education; mathematics textbook research; mathematics curriculum and textbook

G423.3

A

1004–9894（2016）05–0001–04

2016–06–27

上海市核心數學與實踐重點實驗室項目——數學實踐（13dz2260400）

范良火（1963—），男，浙江象山人，博士，英國南安普頓大學講座教授（personal chair），主要從事數學教育研究．