民族預科生數學認識信念的調查分析

黃永彪

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民族預科生數學認識信念的調查分析

黃永彪

（廣西民族大學預科教育學院，廣西南寧 530006）

學生數學學習的有效性與他們所持有的數學認識信念有密切的關系．調查結果表明：民族預科生數學認識信念呈現一定的文化特點，各維度的有效性處于中等略偏上水平；在不同維度上存在顯著的性別、戶籍、學科和層次差異．在民族預科數學教學中，應注意并把握好預科生數學認識信念的特點，有針對性地從教學理念、言行、方式、目標、素材、評價等方面入手來改善民族預科生的數學認識信念．

民族預科生；數學認識信念；民族數學文化；差異

1 問題提出

數學作為現代人必備的基本科學文化素養的一個重要組成部分，不但培養人的邏輯思維能力，而且培養人解決問題的思維方式．對少數民族預科生（以下簡稱民族預科生或預科生）而言，數學是他們直升本科后專業知識學習的基礎和工具．因此少數民族預科（以下簡稱民族預科或預科）數學的教學質量，不但直接關系到高校本科新生的生源質量，而且對預科生今后的學習、工作和發展有著重要的意義．然而，由于歷史、文化、自然環境及教育資源等因素的影響，導致預科生難以接受良好的數學教育，使得預科生入學的數學基礎參差不齊，數學水平差異懸殊[1]．如何消除這些差異，進而提高數學教學質量，是民族預科數學教育面臨的突出問題．在教學實踐中研究者發現，預科生數學水平差異的形成與他們所持有的數學認識信念有直接的關系．

數學認識信念屬于個體認識論研究范疇，其概念最早由Schoenfeld提出[2]，最近30年來在世界數學教育領域內迅速發展并得到廣泛使用．界定學生的數學認識信念，乃是見仁見智．中國教育學者唐劍嵐通過綜述研究指出，學生的數學認識信念是指學生對數學知識和知識認識過程中的樸素看法或觀點，屬于認識信念系統．這個信念系統的成分主要包括學生對數學知識本質、數學知識確認和數學知識來源的信念以及對數學學習的信念[3]．國內外大量的跨文化信念研究表明：學生的數學認識信念深受他們所成長的地域和群體內積淀的社會文化信念“基因”的影響，并潛在地影響他們的數學學習過程與結果[3~6]．

近10年來，中國教育學者喻平等研究者對學生的數學認識信念進行了廣泛而深入的研究，研究對象涵蓋了初高中生和大學生．研究發現，不同年級、不同性別、不同能力程度的學生的數學認識信念存在一定的差異[6~10]．但對于中國所特有的學生群體的預科生的數學認識信念尚無研究者關注，許多諸如“預科生數學認識信念有什么特點？”，“是如何形成與發展的，又是如何影響數學學習的？”等問題亟待探討．研究基于問卷調查和個案訪談，采用定量分析的方法，試圖探討預科生數學認識信念的現狀和差異性的特點，并基于調查提出改善預科生數學認識信念的建議，以期進一步探索提高民族預科數學教學質量的新方法和途徑．

2 調查的基本情況

2.1 調查對象

采用隨機抽樣法確定樣本．調查選取的樣本為廣西民族大學預科教育學院2014級預科生．該學院是廣西少數民族預科教育基地，承擔著廣西28所普通高校的預科生的培養任務．這些預科生根據其將來選擇的專業分為文、理、醫3個學科類進行編班教學，一年后經考核合格直升本科學習．調查共發放問卷339份，回收339份；除去無效問卷14份，最終得到有效問卷325份．其中文科班共119人（男53人，女66人），理科班共113人（男51人，女62人），醫科班共93人（男44人，女49人）．回收有效問卷率達到要求．如表1為調查對象的基本信息．

表1 調查對象基本信息

2.2 調查工具

參考唐劍嵐等設計的數學認識信念量表工具[11]，并根據預科生對數學的認識和數學學習特點，經過多次探索性和驗證性因素分析，對量表進行適度修訂形成調查問卷．該問卷具有較高的效度和信度，其總體信度為0.809．

該問卷包括“數學知識的結構（下稱‘知識結構’）”、“數學知識的穩定（下稱‘知識穩定’）”、“數學學習的能力（下稱‘學習能力’）”、“數學學習的速度（下稱‘學習速度’）”、“數學學習的方式（下稱‘學習方式’）”等5個信念維度．封閉性問卷編制22個題項，每一題項有5個選項：“非常反對”、“反對”、“中立”、“贊同”、“非常贊同”，題項采用李克特式五點量表記分．在分析時，正向題依次賦值“1”、“2”、“3”、“4”、“5”，對于反向題項，則反向取值．開放性問卷有5個問題，每一個問題代表一個信念維度．

2.3 調查程序

先用封閉性問卷對樣本進行全面調查測試，然后再用開放性問卷進行個案訪談，最后分析數據和訪談材料．

3 問卷的定量分析與討論

問卷數據運用統計軟件SPSS19.0進行統計分析，主要分析數學認識信念及其各維度的差異性．通過對選項進行計分，可以定量分析數學認識信念的基本情況．信念各維度的得分為該維度下題目得分的總和，總維度得分為5個維度得分總和．

3.1 預科生數學認識信念的基本現狀

預科生數學認識信念總體和各維度得分均值情況如表2所示．

表2 預科生數學認識信念總體及其各維度的描述統計

數學認識信念從低到高賦值“1~5”，得分越高，說明數學認識信念水平越好．從表2可知，數學認識信念總體和各維度的得分均值都在3~4之間，顯示預科生的數學認識信念處于中等略偏上的水平．對各維度具體描述分析如下．

3.1.1 知識結構信念

知識結構信念是指預科生相信或認為數學知識是孤立的、片斷性的概念，還是與其它知識、生活實際有緊密聯系的[7~8]．該維度包含“學校學到的數學與日常生活的聯系很大”等4個題項，得分均值為3.86，是5個維度中最高的，顯示預科生知識結構信念相對較好．根據對預科生訪談對象的回答進行整理，可以發現大多數預科生認為：數學知識與其他學科知識、與生活實際聯系是緊密的，不管什么學科都與數學或多或少有聯系．但也有少數預科生傾向于數學知識與日常生活需要關系不大．這說明預科生對數學為生活服務、實用性、數學知識之間及與其他學科相互聯系的認識上，整體上看是比較積極的．這與以上問卷調查的數據分析結果是保持一致的．這一結果或許與預科生由于家庭生活所迫從小就參與家務勞動，親身體驗到數學在日常生活中的應用和居住的環境相對惡劣、生活質量相對不高相互作用有關．

3.1.2 知識穩定性信念

知識穩定性信念是指預科生相信或認為數學知識是永遠不變的真理，還是不斷發展變化的、甚至有誤的[7~8]．該維度包含“課本上的數學知識（如公式、定律等）是不能懷疑的”等3個題項，均為反向計分題，得分均值為3.01，僅相當于理論中值3，在5個維度中得分均值最低，顯示預科生在知識穩定性方面水平相對較低．這說明預科生雖然對數學知識一般也敢于質疑并主動去探究、發現、觀察，但對老師的信賴度相對較高．這或許與預科生所感受到的廣西少數民族文化和所處的教育環境交叉影響有關．比如他們一方面從小受到本民族長期勇于探索創造出的“織布工藝”、“繡球、銅鼓制作”、“鼓樓、風雨橋建造”等所形成的民族文化的影響，另一方面受到民族地區除學校教育以外其他教育資源普遍缺乏，接受教育渠道比較單一等制約，他們獲得的知識大多還是來自書本與老師．從訪談來看，預科生普遍對教師所傳授的數學知識是認同和接受的．他們認可課本上的數學知識和生活中的數學，但在“數學知識是永遠不變的真理還是不斷發展變化的”這一點的認識上個體之間差異較大，超過半數的預科生能用一種發展、辯證的眼光看待數學，認為：數學知識是不斷發展變化的，表現出積極的建構性傾向，但有一部分預科生對此持“中立”的立場，也有一些預科生回答“我認為數學知識是永遠不變的真理”．這顯示訪談的結果與問卷調查的數據分析結果是基本相符的．

3.1.3 學習能力信念

學習能力信念是指預科生相信或認為自己的數學學習能力是先天注定的，還是可以通過后天努力改善的[7~8]．該維度包含“一個人的數學學習能力是可以通過勤奮學習來提高的”等3個題項，得分均值為3.59，略高于理論中值．這一結果在訪談中也可得到印證．比如一個壯族女生所說的很有代表性：“再聰明的天才，如果后天不努力、不奮斗，到最后還是會淪為一個平凡的人，正像愛迪生所說的‘天才是1%的靈感加上99%的汗水’一樣，如果沒有那99%后天努力奮斗的汗水，那么這1%先天智商的靈感終將消失掉．所以我更相信后天的努力能提高學習能力．”這說明預科生大多傾向于認為數學學習能力不是先天注定的，是可以通過后天努力而不斷提高的．

3.1.4 學習速度信念

學習速度是指預科生相信或認為數學學習是一件很快就能夠完成的事情，還是一個緩慢的過程[7]．該維度包含“學習數學是一個逐步積累的過程，不可能一下子就能學好”等3個題項，得分均值為3.78．各題項得分都高于理論中值3，接近4．這個數據分析結果，與大多數預科生在訪談中對數學學習速度的認識給出了相對積極的回答是基本一致的．其中一位侗族男生的回答很有普遍性：“數學是需要花時間去思考的，特別是遇到難題的時候顯得尤為重要，只要多花點時間認真去思考、仔細分析，再難的題終究會解答出來的．但有時候也要根據具體情況具體分析，就考試而言，如果遇到難題一下子做不出來，應學會大膽放棄，在有限的時間內要取得最大的分值，為一道題花大把的時間是不明智的，但如果是平時學習，倒是一個好的機會，因為它可以讓我明白自己哪一方面知識存在漏洞，多花點時間去深入研究，尋找出解題方法技巧有利于考試中拿到高分．”這說明預科生普遍認為學習數學需要時間和耐心，對復雜的問題要慢慢解決．

3.1.5 學習方式信念

學習方式是指預科生相信或認為數學學習是依靠被動接受、機械學習為主，還是依靠主動建構、理解學習為

主[7~8]．該維度包含“理解數學知識不如多做數學題”等9個題項，得分均值為3.81，各題項得分在3.01~4.01之間，均超過了理論中值．從訪談的回答來看，大多數預科生認為數學學習不是機械記憶，而是重在理解，比較傾向于通過探索、合作、交流、反思來獲取知識，且不贊成題海戰術．這與問卷調查的數據分析結果基本是吻合的．這或許與廣西少數民族文化心理有關．廣西世居少數民族都喜歡群體活動，他們凝聚力強、平等相待、和睦相處、包容心強．這一民族文化心理，使得預科生樂于通過自主學習、探究學習、合作學習等多種形式的學習活動來共同感受數學的意義與價值．

3.2 性別的差異分析

為了解預科男、女生數學認識信念的基本情況，運用兩獨立樣本檢驗分析，結果見表3．

表3 預科生數學認識信念總體及其各維度在性別上的差異性比較

注：*表示<0.05，表示有顯著差異；**表示<0.01，表示有非常顯著差異，以下均同

表3顯示：從整體上看，預科生只在知識穩定性上存在顯著的性別差異，其中在知識穩定性的均值中，女生得分（3.05）高于男生（2.92），即女生比男生有較好的知識穩定性；在總體信念和其余維度上無顯著差異．之所以出現這樣的性別差異，可能與廣西少數民族文化價值傾向有關．通過對預科生的文化背景分析發現，廣西少數民族普遍具有女性偏向．相對男性而言，廣西少數民族的女性參與家務勞作要早、要多，當家做主和獨立意識更強．很多民族文化都是她們在長期的生產勞動中勇于質疑、大膽探索創新的結晶，如“壯錦文化”、“繡球文化”、“稻作文化”、“服飾文化”等．在這種文化背景下，女性相對于男性表現出更不墨守成規，更敢于質疑，更有主見，更少盲從．這也深刻影響預科生的數學學習，具體而言預科女生學習目的性、獨立性、主動性與探索性普遍好于男生，并且女生在學習上表現出較強的求知欲、挑戰欲和獨立思考能力．

3.3 戶籍的差異分析

預科生主要以農村學生為主．運用兩獨立樣本檢驗分析數學認識信念在戶籍上的差異，結果見表4．

表4 預科生數學認識信念總體及其各維度在戶籍上的差異性比較

結果表明：預科生在總體信念和學習能力維度上存在顯著或非常顯著的戶籍差異，在其余維度上都沒有顯著差異．來自農村的預科生學習能力水平非常顯著高于來自城市的預科生，而且來自農村的預科生數學認識信念總體水平顯著高于來自城市的預科生．這或許與教育條件和居住環境有關．相對于來自城市的預科生，來自農村的預科生一方面由于之前受教育條件限制，存在“先天”不足；另一方面由于居住環境相對艱苦，抗壓克挫能力更強，所以他們具有較強的吃苦耐勞的品質．對待學習，他們更珍惜而且更堅信：笨鳥先飛，勤能補拙．

3.4 學科類別的差異分析

預科生有文科、理科與醫科3種不同的類別，利用多元方差分析數學認識信念在不同學科類別上的差異性．如表5所示．

表5 預科生數學認識信念總體及其各維度在學科類別上的差異性比較

從表5看出，預科生在知識結構維度上存在顯著的學科類別差異，其中，醫科生比理科生具有較好的知識結構，理科生比文科生具有較好的知識結構；在總體信念和其余維度中沒有顯著差異．

據調查：數學令人遺憾的成為大多數預科文科生最不愿意學的課程．文科生普遍感到數學“除考試以外，對今后的生活和職業沒有多大用處；太難，雖然努力，卻見不到效果；太抽象，難以提起學習興趣；將來不會再學”等等，而理、醫科生對數學在今后的專業學習和生活中應用的預期大多持肯定的態度．這也許是導致預科文科生知識結構信念水平低于理、醫科生的原因．

相對理科生，預科醫科生職業指向要強，升入本科選擇專業的種類集中、競爭更激烈．數學作為預科的一門主干課程，醫科生對數學的重要性和實用性的認識要深刻，所以預科醫科生知識結構信念水平略高于理科生．

3.5 能力層次的差異性分析

選取預科生的數學段考和期考成績的平均值作為數學成績，運用多元方差分析法分析數學認識信念在學優生、中等生、學困生3個能力層次上的差異性．

將預科生按照以下依據劃分能力層次：

數學成績較高（高于“平均分+標準差”）的學生作為學優生組；

數學成績較低（低于“平均分-標準差”）的學生作為學困生組；

其余為中等生組，如表6．

表6 預科生能力層次劃分情況

從表7可知，預科生在知識結構維度上存在顯著的能力層次差異，其中學優生比中等生有更好的知識結構，中等生比學困生有更好的知識結構，在其余維度和總體信念上沒有差異．同時通過訪談得知，學優生的信念相對學困生比較有效．學優生更加相信“勤能補拙”，而學困生更加相信“先天注定”；學優生更加相信“數學需要理解，做題需要反思”，而學困生更傾向認同“多做多練”．

表7 預科生數學認識信念總體及其各維度在能力層次上的差異性比較

預科生一般來說只要沒有健康、違紀等問題都會直接升入本科．可以說他們不再像高中那樣有升學壓力，而且他們可以根據興趣來選擇今后升入本科的專業，所以，對預科生而言，興趣和愛好是他們學習的重要動力，興趣濃厚，就會獨立思考、努力鉆研，但興趣差者，就無所謂、得過且過．從某種意義上說，對數學實用性的認識程度決定他們學習數學的興趣，從而影響他們數學學習的效果．這應該是造成不同能力層次預科生知識結構信念水平有差異的重要原因．

4 思考與建議

以上分析結果揭示作為特殊學生群體的預科生的數學認識信念有其自身特點，呈現出明顯的民族文化烙印，仍有待進一步改善．為此，在教學中，應注意區分不同的信念維度，把握好預科生數學認識信念的特點，有針對性地幫助他們消除無效的信念，形成并發展積極有效的信念，進而提高他們數學學習的有效性．

4.1 在教學理念上應把握好信念的傳承性

學生信念的形成會深受教師既有信念的影響．教師既有信念會以一種“潛移默化”方式感染學生，還會有意無意地主導自身的教學實踐，進而傳承給學生．若信念是無效的，還會造成“惡性循環”[3]．因此，要讓預科生形成積極有效的信念，教師首先要持有有效的信念．比如，針對預科生學習方式信念有效性水平一般的現狀，教師應持有“理解反思比多做多練更有利于學好數學”的信念，并將“精講多練、變式反思”視為很好的教學方法，把重點放在揭示各個知識形成的方法、展示學習新知識的思維過程上，讓預科生通過感知—概括—應用的思維過程去發現真理，掌握規律，從而使預科生形成積極有效的學習方式信念．相反，教師若持有“多做多練對提高數學成績最有效”，他就會在教學時采用“題海戰術”進行重復強化訓練，甚至在新授課剛結束，就要求預科生解大量的題，這樣會使本來基礎就薄弱的預科生因為新知識沒有理解到一定的水平，題解不了，造成知識有意義遷移受阻[12]，這種做法會讓預科生形成“多做多練比理解反思對學好數學更重要”的無效學習方式信念，甚至使預科生對數學產生厭學心理．

4.2 在教學言行上應確保與信念的一致性

研究表明，教師的教學言行與其持有的有效信念保持一致性，會促使學生形成有效信念，否則反而會強化學生無效信念[3]．比如，針對預科生的知識結構信念相對較積極有效的現狀，教師不但要持有“數學與生活息息相關”的信念，而且在教學中還要經常不斷地聯系日常生活實際來傳授數學知識，講授一些能展示數學應用的案例，建立一些簡單數學模型，讓預科生看見他們想要的“實用”，這樣就會強化預科生“數學很有用”的知識結構有效信念，從而點燃他們的學習動力，激活主觀能動性；但如果教師經常采用“定義—定理—證明—例題”這種“重理論、輕應用”的講解模式，來傳授數學知識，久而久之，預科生就會形成“數學太抽象，與日常生活聯系不大”的知識結構無效信念，從而沖淡他們學習數學的興趣．

4.3 在教學方式上應有利于促進信念的有效性

研究發現，廣西世居少數民族家庭中，家長“一言堂”現象較少，不少孩子從小就參與家務和家庭的決策，這就使得廣西少數民族學生自主性、成人感和獨立意識較強，從小形成不愿盲從、喜歡參與、樂于探究的心理特點．在教學時，教師可充分利用這一心理特點，通過改進教學方式，來促進預科生數學認識信念的改善．如針對預科生知識穩定性信念較弱的現狀，應加強激勵導學，改變以教師為核心的“一言堂”對課堂交流氛圍的強約束，構建“數學共同體”真誠、自由、和諧的交流環境[13]，讓預科生時刻處于充滿積極主動探究的教學環境中，不受約束地將自己的所感、所思、所悟，伴隨見解和認知模式顯現出來，并在此基礎上進行質疑、檢討、修正、批判和利用，實現數學認識信念的正向遷移．

4.4 在教學目標上應體現預科教育作為本科教育的預備性

調查顯示，預科生數學認識信念有效性水平僅屬一般，有待進一步提高，才能適應后續本科階段學習的需要．為此，應加強預科生的大學適應性教育[14]，以預科教學與本科教學達到有效銜接為目標，使預科生逐步適應大學的教學方式和學習方法，在預科階段乃至本科階段始終保持學習積極性和主動性．比如，教師可通過專題講座形式，集中給預科生講清學習高等數學的方式與方法，學好數學對后續本科階段學習的重要性，乃至信念的作用，讓預科生對大學的學習和生活有所了解，及早規劃大學生涯．同時提醒預科生要注意到后續本科階段的學習都是有很大難度的，必須有毅力和做好持續艱苦學習的心理準備，努力消除學習數學的無效信念，堅定學習數學的有效信念．還可通過開設“數學文化課程”，進行個案分析，與預科生分享有效學習數學的方式與信念．再有可將改善預科生數學認識信念滲透在課內外個別輔導當中，特別是對持有無效信念的預科生，他們屬于數學認識信念的弱勢群體，他們的信念改變需要更加細心和耐心的輔導．如對于持有“先天注定，努力無用”等信念的預科生，可先通過耐心細致的心理輔導，消解他們“因一兩次考試失敗，就否定自己有學好數學的能力”的消極情緒，幫助他們堅定消除無效信念的信心；然后再引導他們通過反思自己的學習習慣和方式，辯清怎樣才算努力：努力并非盲目的牢記公式、定理和多練等，更應勤于和善于總結、歸納與反思，摸索出適合自己的有效的學習方法等，讓他們享受到積極有效的信念所帶來的快樂而有效的學習．

4.5 在教學素材上應突出民族性

跨文化教育研究表明：民族數學文化是直接影響數學教育的主要文化因素之一，直接影響著民族學生數學能力的發展[15]．研究發現，廣西少數民族生活中蘊藏著瑰麗的民族數學文化，它們廣泛存在于少數民族的服飾、建筑、繪畫、手工藝品等日常生活中[16]．

如前所述，預科生數學認識信念總體和各維度的有效性水平都不高，且在學科類別和能力層次上都存在知識結構信念的顯著差異，在性別上存在知識穩定性的顯著差異，在戶籍上存在總體信念的顯著差異和學習能力上的非常顯著差異．為了改變這種現狀和消除各種差異，在教學中，應充分利用廣西本土豐富多彩的民族數學文化這一寶貴素材．比如可通過挖掘民族物品中蘊含的數學元素來培養知識結構的有效信念．如廣西少數民族的建筑、服飾、樂器、繪畫、民間工藝品等蘊含豐富的數學知識特別是幾何知識[16~18]，讓預科生體會到身邊處處有數學，數學來源于生活，又用之于生活．還可通過挖掘民族數學發展史來培養知識穩定性的有效信念．如廣西少數民族計數方法的演變史和天文歷法中的數學思想等[19~20]，讓預科生感受到數學的發展和進步．也可通過展示廣西少數民族對數學的探索成果來培養學習能力的有效信念．如今天應用廣泛的“二分法”，在廣西世居的苗族、瑤族數學活動中早就有應用等[20~21]，讓預科生體會到先輩們的勤勞和智慧．

4.6 在教學評價上應注重層次性和多樣性

研究發現，預科生數學認識信念在不同維度上存在顯著的性別、戶籍、學科和層次差異．由于預科教學主要任務是對高中知識的查缺補漏和大學學習方法的提前預習，預科生只要各科考核合格且不違紀，一年后都可以直升本科學習，因此民族預科教育采用的教學評價主要是達標性評價而非選拔性評價，其著力點主要放在能力養成和對數學的體驗上．基于此，民族預科的教學評價應有利于促進預科生對高中數學基礎知識達到深層的理解，激發預科生感悟數學實質、體驗數學精神、領略數學應用、提高數學素養、培養數學能力，有利于調動預科生的能動作用和個性得到充分發展[22~23]．為此，針對不同類別預科生數學認識信念的差異性，應分類制定不同的教學目標，授予不同難度的內容，提出不同程度的要求，采用多樣化的分層教學評價方式[24]．如可采取以學習小組為單位，開展“數學社會調研”、“民族數學文化調查”和“小課題研究”，撰寫數學作文、數學調研報告甚至是數學小論文等多樣化的評價方式，并分層次給出考核要求，讓預科生在合作中去自主觀察、發現和探究，體驗到數學的應用和成功的樂趣，逐步消除無效的數學認識信念對數學學習的影響．

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[責任編校：周學智]

Surveyon Mathematics Epistemic Beliefs of National Pre-College Students

HUANG Yong-biao

(Preparatory Education College, Guangxi University for Nationalities, Guangxi Nanning 530006, China)

Students’ Mathematics epistemic beliefs has a great effect on their mathematics learning. Investigations show that the national pre-college students’ Mathematics epistemic beliefs have certain cultural characteristics. Each of them are at an average effectiveness level or a little better than that and have significant differences in gender, residence, subjects and levels. In math teaching in the Preparatory College, we should purposely improve the students’ mathematic epistemic beliefs from the aspects of teaching concept, words and deeds, methods, goal, material, evaluation and etal. according to the characteristics of their mathematic epistemic beliefs.

national pre-college students; epistemic beliefs about mathematics; national mathematics culture; differences

G752

A

1004–9894（2016）05–0078–06

2016–04–15

2013年新世紀廣西高等教育教學改革工程項目——與廣西高中和大學本科新課改“雙銜接”的民族預科主干課程體系及教學模式的創新與實踐（2013JGB133）；2012年度廣西民族大學重點科學研究項目——民族預科生數學認識信念調查研究（2012MDZD032）

黃永彪（1964—），男，壯族，廣西南寧人，副教授，主要從事少數民族教育和數學教育研究．