求和問題， 數列教學的 “重頭戲”

瞿麗娟

摘 要： 數列求和問題是高考重要考點，數列求和有多種方法，要讓學生分清每種求和方法適用的題目類型。本文主要從公式求和、整體求和、分項求和等幾大方面入手，通過實例介紹每種求和方法的具體應用，讓學生靈活掌握多種數列求和方法。

關鍵詞： 數列求和 公式求和 分項求和

數列是高中代數的重要內容，同時數列求和問題是高考的重要考點。近幾年高考中數列求和問題的出題形式越來越靈活，且很有可能結合導數相關知識讓學生進行不等式證明，作為整張試卷的壓軸題，這種題目的難度不言而喻。盡管數列求和有很多種方法，有些學生可能覺得無從下手，但是只要分清每種求和方法的適用題目類型，那么數列求和這個難題便會很快被攻克，下面我將對數列求和方法進行總結。

一、公式求和，熟練記憶

等差數列和等比數列這兩類是兩種最基本數列，其他一些較復雜的數列往往是在這兩種數列基礎上變形、轉化得來的，所以說掌握這兩種數列求和方法是學好數列求和基本條件。

這兩種數列的求和都有固定的公式，并不需要學生耗費太多精力。如等差數列的求和公式：Sn= =a n+ n（n-1）d。等比數列的求和公式：Sn= （q≠1）。除此之外，數列求和還有其他固定公式，如Sn=1+2+3+…n= n（n+1），Sn=1 +2 +3 +…n = n（n+1）（2n+1），Sn=1 +2 +3 +…n =[ n（n+1）] 。這些公式都是學生進行復雜數列求和的基礎，所以一定要熟練記憶。

對于有些題目來說，可能題干中并沒有明確指出數列類型，但是經過對數列的深入分析后便可以得出該數列等差數列或是等比數列這樣的結論，就可以套用公式求和。所以我們要引導學生在做題過程中仔細思考、沉著應對，努力使題目向所學知識靠攏。

二、整體求和，分清類型

對數列進行求和時，有些數列既不是等差數列又不是等比數列，無法用公式求和，這時就需要學生采用其他方法求和。有些數列通過對數列整體進行變形和運算巧妙求出數列的和，如數列求和中的錯位相減法和倒序相加法就運用這種思想。

錯位相減求和適用于通項公式為等差數列乘以等比數列的形式：如“a =3n-1，b =2 ，c =a b ，求c 的前n項和Tn”。仔細觀察之后不難發現，a 為等差數列，b 為等比數列，c 為等差數列與等比數列的積，所以這道題毫無疑義要用錯位相減法。需要讓學生寫出Tn的展開式，然后寫出2Tn的展開式，兩式相減可得-Tn的展開式，而這時-Tn的和正好可以用等比數列的求和公式，就可以得到Tn=8+（3n-4）2 。而對于倒序相加法來說，有著很廣的應用范圍，如可以用來推導等差數列的求和公式：Sn=a +a +a +…a ，Sn=a +a +a +…a ，因此將二者相加可得2Sn=（a +a ）n，則Sn= 。這種求和適用于第k項與第（n+1-k）項的和為定值的情況。

因此，需要讓學生分清整體求和中每種方法適用的題目類型。有效引導學生做題時仔細觀察題干中數列的特點，爭取將每種類型典型例題和解題思路都銘記于心，這樣做起題目來才會得心應手。

三、分項求和，對癥下藥

這里所說的分項求和有兩重含義，一個是將每項拆分成多項求和，這種思路對應的是裂項相消求和法。而另一種則是將數列中所有項的同一類型的項分為一類，這種思路對應的則是分組求和法。

對于裂項相消求和法，針對不同項往往會有不同裂項方法，下面我總結了一些比較常見的裂項方式： = - ， = （ - ）， = （ - ），那么裂項之后又是如何求和的呢？通過觀察可以發現，裂項之后的每一項的減數部分與其下一項的被減數部分正好相同，所以相加之后兩者相消，這樣的話中間相都被消去，只需用首項和末項的剩余部分進行求解即可。而分組求和這種方法則相對來說比較簡單，通過對數列進行觀察將數列中同類型的數歸為一組，然后分別求和即可，如對于數列“Sn=0.9+0.99+0.999+…0.9…9（n個9）”的求和，可以讓學生將0.9拆分成1-0.1，將0.09拆分成1-0.01并以此類推，該數列最后就可以變形成一個全1數列的和與一個等比數列的差，這道題解答時充分利用分組求和思想。

總之，要讓學生充分掌握分組求和要領，仔細區分每一種方法對應的數列特點，然后對癥下藥，確保每種方法的應用過程都了然于胸，這樣學生做題時才能心中有數、萬無一失。

四、其他求和，活學活用

除了以上這些數列求和方法之外，還有一種比較常用的方法就是構造求和法。這種方法應用得十分廣泛，出題方式靈活多變，更需要靈活掌握。

構造求和法的出題形式一般都是給出一個遞推公式，學生剛接觸可能覺得和之前介紹的哪種方法都靠不上，因此可能感覺有些力不從心。其實，這種類型的題目并不難做，需要讓學生依據題干給出的關系式進行變形和構造，爭取將其改造成我們熟悉的等差和等比數列，這樣就可以選擇套用公式進行求解。比如：“數列a 中a =1，a =0.5a +1（n>1），求Sn。”通過對a =0.5a +1進行變形可得a -2=0.5（a -2），這樣將（a -2）構造成了一個等比數列，根據公式可以求出a 的通項，進而求出Sn。這種方法的出題方式非常靈活，很難像之前介紹的那些方法一樣有固定的解題套路，那么我們能做的就只有掌握好最基礎的部分，以不變應萬變。

此外，還有一些數列求和方法如導數求和法、數學歸納法及通項分析法等，由于其并不太常見因此這里不再詳細介紹，但前面提到的構造法是需要學生重點掌握的，教學中要有意識地讓學生對此方法多加練習，爭取做題時將該方法應用得爐火純青。

總之，數列求和問題是高中教學的一大重點也是一大難點，要讓學生們克服畏難情緒，認真分析每一種求和方法適用的題目類型，然后做題時針對數列的具體特點選擇合適的方法求解。相信在老師和學生的共同努力下，數列求和這個難關一定會被攻克，數列求和這個“重頭戲”一定會被唱得異常精彩。

參考文獻：

[1]王建文.數列求和方法總結[J].新校園，2011（01）.

[2]付偉.數列求和問題的研究[J].中國校外教育，2012（04）.