從內涵出發，豐富學生對數學概念的認知

夏井川

《對稱》是人教版新課標教材二年級下冊第3單元第一課時的教學內容。筆者曾執教了本課，現將備課思考和課堂實踐整理如下，以期與同行討論交流。

一、教材解讀

實驗教材中，《對稱》編排在二年級上冊第五單元《觀察物體》的第二課時、第三課時，包括軸對稱和鏡面對稱。“做一做”中明確要求畫出軸對稱圖形的對稱軸，練習題中還要求按對稱軸畫出軸對稱圖形的另一半。新教材中，根據一線教師的反饋，去掉了鏡面對稱，將軸對稱單獨拿出來編排在二下《圖形的運動（一）》中，同時將“畫對稱軸”和“按對稱軸畫出軸對稱圖形的另一半”這兩點后移到了四年級下冊《圖形的運動（二）》中。

實驗教材二下第三單元《圖形與變換》包括“銳角和鈍角”“平移和旋轉”以及“剪一剪”等內容。新教材將“銳角和鈍角”整合到二上《角的初步認識》中，與直角一起編排。將二上的“對稱”后移到二下，和“平移”“旋轉”一起編排。知識的呈現更加合理化、系統化，便于學生學習和系統理解。

對比實驗教材，新教材指向性更為明確和清晰。

二、備課思考與課堂呈現

課標（2011年版）中關于圖形的運動學段要求

人教版教材中關于圖形的運動的教學目標和內容編排

運動是世間萬物的特征，是物質存在的基本形式。在現實生活中，我們會遇到很多物體的運動與變化。例如，將一塊三角板移動位置，把一張照片放大若干倍，等等。在這個過程中，物體的某些性質發生了變化，而某些性質卻保留了下來。例如，移動三角板，三角板的位置變了，形狀、大小都不變；放大照片，照片中物體的大小變了，形狀不變。從數學的角度看，物體的運動與變化，可以抽象為圖形的變換。幾何圖形是點的集合，所以幾何變換就是兩個圖形上點之間的一一對應，即點變換。

對稱是一種最基本的圖形變換，包括軸對稱（也叫反轉對稱）、中心對稱、平移對稱、旋轉對稱和鏡面對稱等多種形式。在自然界和日常生活中具有對稱性質的事物很多，學生對于對稱現象并不很陌生。

基于對人教版有關“圖形的運動”新舊教材、縱向教材編排的研究和整體、系統的學習把握，以及對《教師教學用書》的認真研讀，感到“對稱”這一知識在整個小學“圖形與運動”結構中的重要地位和育人價值。“對稱”是學生接觸的第一種圖形的運動，而兒童的年齡特點卻決定他們在理解“對稱”的運動性上遠不及理解“平移”和“旋轉”的運動來得直觀。當然，如果從“圖形的變換”角度來理解“對稱”，則要容易得多。因此，備課時，筆者主要思考了這樣幾個問題：

1. 對相關概念的理解。在本課中，至少有這樣幾個概念需要學生初步感知和理解：對稱（基于單個物體和圖形的）、對稱軸、軸對稱圖形。在此基礎上，可適當延伸“軸對稱”的概念。對于二年級下學期的孩子來說，“對稱”的生活經驗是有的，生活中的建筑、藝術、生物、飲食等，到處都能看到和感受到對稱現象，因此孩子們在課堂上說到了裙子、披薩、課本等。孩子們的問題在于，他們不能從這些對稱表象中抽象出對稱的特征，他們的年齡特征決定他們在感知對稱上還處于“只可意會不可言傳”的階段。但是，如前所述，“對稱”有很多種，二年級下冊“軸對稱圖形”是最基本的一種。如果不給學生適當滲透，很容易使孩子形成思維定勢：對稱就是對折后能完全重合的，對稱圖形就是左右對稱的（軸對稱圖形旋轉一定角度后就容易對他們產生思維干擾），等等。課堂實踐后，總感覺自己在這一塊還講得不夠清晰，讓學生把“對稱”和“軸對稱”混為一談了，最典型的例子有兩個：一個是學生對平行四邊形的認識產生了歧義（反思：這里也有沒有讓學生動手操作的原因），一個是“做一做”中香港特區區徽紫荊花的圖案（這其實是一種旋轉對稱，但不是中心對稱）。因此，我們在本節課的學習中，可以把視野放寬些，眼光放高些，從上往下來考量，盡量層次分明地、有步驟地給學生滲透“對稱”“軸對稱”這樣的概念。

2. 從表象走向抽象。為了彌補學生對“對稱”概念理解的不足，在備課和課堂教學中，筆者堅定地選擇了學生感知眾多的對稱現象和對稱圖形：蜻蜓、樹葉、荊州古城九龍橋、剪紙、國旗……并配以感性的描述語言，讓學生在感知對稱現象的同時感受到生活中對稱的美。課堂實踐表明，讓學生感受對稱現象和感受對稱的美做到了和諧統一，實效較好。當然，在此過程中，筆者注意了“生活中的對稱現象”和“圖形中的對稱圖形”的用詞。

3. 教學要求的把握。前面學段要求中清楚表明，新教材二年級下冊是初步感知“軸對稱”和“軸對稱圖形”，不再教學軸對稱的特征，不再要求畫出對稱軸，也不再要求在方格紙上根據軸對稱的一半畫出另一半。這些，都后移到了四年級下冊《圖形的運動（二）》中。但是，不作為正式的教學要求并不表示就完全不需要學生去初步感受。因此，在課堂教學中，筆者設計了3個小細節讓學生來感受這三點：①用折一折讓學生感受軸對稱的特征；②用手比劃對稱軸讓學生感受對稱軸的位置和條數；③根據軸對稱圖形的一半以及給出的三個選項，在腦海中想象正確的圖形并做出選擇。另外，還有一些其他的小教學要求也需要教師把握，如，筆者在課堂中回避了數字的對稱性，為什么？因為即使對稱的數字也是基于它的字體，一個數字并不是所有字體下都是對稱的。因此，在呈現對稱的漢字時，筆者也特別說明“這種字體的這個字是對稱的”。

三、課后研討

課后，團隊伙伴們針對筆者的教學設計和課堂呈現，發表了各自的看法，提出了很多很好的建議，主要有四點：

1. 關于操作。本課有些地方應該讓學生動手操作，例如，讓學生體驗學過的平面圖形中，哪些是軸對稱圖形，哪些不是，可以讓學生動手對折一下長方形紙、正方形紙、三角形紙、平行四邊形紙以及圓形紙，印象會更為深刻，感知更為直觀。

2.關于語言。“對稱”是非常規范和嚴謹的數學語言，課堂實踐表明，二年級的學生對此有自己的語言描述。在小學階段，兒童的語言和數學語言之間是有距離的。作為教師，應該在兒童的感性語言和數學的理性、規范語言之間架起一座橋梁，促進兒童對數學概念的理解和感知。

3.關于拓展。可以在講完軸對稱圖形的對稱后，適當拓展一下兩個相同的物體（或圖形）關于對稱軸的軸對稱現象，開闊學生的視野。

四、課后的再思考

課后，針對本節課的呈現和伙伴們的建議，筆者再一次進行了備課思考。先后查閱了課標、初中教材，上網查詢了相關資料。

1.對稱知識編排的分與合

下圖是初中九年級《數學》中學習“旋轉”一章時的知識結構圖，可以讓我們對“圖形的運動”在義務教育階段的分布及其作用有一個更為清晰的認識。

2. 關于對稱

百度百科上對于“對稱”是這樣梳理的。

對稱：指物體或圖形在某種變換條件（例如繞直線的旋轉、對于平面的反映，等等）下，其相同部分間有規律重復的現象，亦即在一定變換條件下的不變現象。

軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形。折痕所在的直線叫做它的對稱軸。

中心對稱圖形：如果一個圖形繞某一點旋轉180度，旋轉后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。而這個中心點，叫做中心對稱點。

旋轉對稱圖形：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角（0°<旋轉角<360°）。常見的旋轉對稱圖形有：線段、正多邊形、平行四邊形、圓等（注：所有的中心對稱圖形都是旋轉對稱圖形）。

人教版小學數學二年級下冊《教師教學用書》第84頁有這樣的資料：

基于以上的分析，到現在，我們是不是可以在腦海里對“對稱”形成一個清晰的框架：對稱從大的方面分為反轉對稱（軸對稱）和旋轉對稱（中心對稱是特殊的旋轉對稱）；對稱可以是一個圖形內部的左右兩部分的聯系，也可以是兩個圖形之間的一種關系。

3. 關于軸對稱和軸對稱圖形

軸對稱與軸對稱圖形是既有聯系也有區別的兩個概念。這一點，初中數學教材中介紹得比較清楚，同時也是教師必須了解和清楚的知識背景和專業儲備。

把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形，把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關于這條軸對稱。

如下圖，可以看成是兩只小雞圖關于直線l對稱，也可以看成是一幅圖中的兩只小雞關于直線l軸對稱。當然，教學中應順便打破學生對軸對稱的定式思維認知，如右圖。

五、二下“軸對稱圖形”教學建議

到此為止，希望能簡要而又清晰地給出二下“軸對稱圖形”的備課和教學建議：

1.盡量講清楚“對稱”和“軸對稱”的不同與聯系；

2.重視學生的動手操作；

3.重視生活中的對稱現象（可以有軸對稱，也可以有中心對稱）的感受和欣賞，幫助學生豐富對稱的表象，開闊數學視野；

4.把握好教學要求，既不超綱，又不能太低估學生的思維水平和已有經驗基礎。

（作者單位：荊州市教育科學研究院）

責任編輯 劉玉琴