具有給定圍長單圈圖的　Harary指數的最大值*

陳單單

（湖南財經工業職業技術學院公共課部，湖南，衡陽，421002）

具有給定圍長單圈圖的Harary指數的最大值*

陳單單

（湖南財經工業職業技術學院公共課部，湖南，衡陽，421002）

本文首先給出了單圈圖的Harary指數的一種計算方法，然后利用這一方法給出了具有給定圍長單圈圖的Harary指數的最大值，以及對應的極圖.

圍長 單圈圖 Harary指數 反距離

1　引言

拓撲指數是從化合物的結構圖衍生出來的一種數學不變量.大約在一百多年之前就引入了拓撲指數，至今已有200多種被證實在結構-活性/性質相關性（QSAR/QSPR）中非常有用，這些指數中有些是基于圖中點的距離，有些是基于圖中點的度數.而Harary指數是基于圖中點的距離.

在1993年，Plav?iC等［1］和Ivanciuc等［2］各自獨立提出了Harary指數模型來刻劃分子結構圖.設G=（V，E）是一個簡單的連通圖，其中V和E分別為G的頂點集和邊集，則圖G的Harary指數定義為

Diudea［3］對路、圈、星圖的Harary指數進行了計算，給出了一些有意義的結論，并通過對這些圖的Harary指數可達或不可達值的分析，得出Harary指數對刻畫分子結構圖意義十分重大.Harary指數與Wiener指數都是基于圖中點的距離，由于在許多情況下，原子之間距離較遠的影響小于與其相鄰的原子，在描述分子結構圖時，Harary指數優于Wiener指數［4］，并使分子的結構屬性得到改善［5］.有關Harary指數有許多有趣的屬性，以及與其它距離拓撲指數的關系見［6-15］.

本文首先給出了單圈圖的Harary指數的一種計算方法，然后利用這一方法給出了給定圍長單圈圖的Harary指數的最大值，以及對應的極圖.

2　單圈圖的Harary指數的計算

本文所涉及的圖都是連通的簡單無向圖.設G=（V，E）是頂點集和邊集分別是V和E的圖，G 的頂點數用n（G）表示，稱為G 的階.頂點u與v之間的距離dG（u，v）（或d（u，v））是指G中連接頂點u與v之間的最短路徑的長度.圖G的Harary指數定義為

若G=（V，E）是一個n階單圈圖，其中的圈Cm=v1v2…vmv1的長度為m （即圍長）且m≤n ，則G-E（Cm）的連通分支Ti（i=1，2，…，m）都是樹，Ti與Cm的公共頂點為vi，這樣的單圈圖我們用G=U（Cm；T1，T2，…，Tm）表示.令n（Ti）=li+1，則l=l1+l2+…+lm= n-m.特別地，若Ti=Sli+1是以vi為中心的li+1階星圖，則G=U（Cm；T1，T2，…，Tm）= U（Cm；Sl1+1，Sl2+1，…，Slm+1）；若Ti=Pli+1是以vi為其中一個端點的li+1階路，則G= U （Cm；T1，T2，…，Tm）=U （Cm；Pl1+1，Pl2+1，…，Plm+1）.

為了計算n階單圈圖G的Harary指數，我們需要了解有關樹的Harary指數的結果.

引理1［15］ 設T是任意不同于星圖Sn與路Pn的n階樹，則

關于圈的Harary指數，我們很容易證明下面的結論：

引理2 設Cn是n階單圈圖，則

下面我們給出關于單圈圖Harary指數的一個計算方法.

定理3 設G=U（Cm；T1，T2，…，Tm）是一個n階單圈圖，則

證明 我們將圖G的頂點之間的反距離分為四類：（i）兩個頂點都在圈Cm上；（ii）兩個頂點中一個在圈Cm上，另一個在某Ti-｛vi｝上；（iii）兩個頂點都在同一個Ti-｛vi｝上；（iv）兩個頂點中一個在Ti-｛vi｝，另一個在Tj-｛vj｝上（i≠j）.

（i）設兩個頂點都在圈Cm上的反距離之和為H1，則

（ii）設兩個頂點中一個在圈Cm上，另一個在某Ti-｛vi｝上的反距離之和為H2，則

（iii）設兩個頂點都在同一個Ti-｛vi｝，i=1，2，…，m上的反距離之和為H3，則

（iv）設兩個頂點中一個在Ti-｛vi｝，另一個在Tj-｛vj｝，（i≠j）的反距離之和為H4.?x∈Ti-｛vi｝，?y∈Tj-｛vj｝，則

于是，Ti-｛vi｝與Tj-｛vj｝中頂點之間的反距離之和為

因此，

從而

3　給定圍長的單圈圖的最大Harary指數

這一節我們首先給出具有給定圍長m（3≤m≤n）的單圈圖的Harary指數的界，然后刻劃出具有給定圍長的單圈圖G中具有最大Harary指數的圖的特征.

定理4 設G=U（Cm；T1，T2，…，Tm）是一個n階單圈圖，Ti是li+1階的樹，i=1，2，…，m，則有

H （U （Cm；Pl1+1，Pl2+1，…，Plm+1））≤H （G ）≤H （U （Cm；Sl1+1，Sl2+1，…，Slm+1））.

左等號成立當且僅當G?U（Cm；Pl1+1，Pl2+1，…，Plm+1），而右等號成立當且僅當G?U （Cm；Sl1+1，Sl2+1，…，Slm+1）.

證明 由引理1知，H （Pli+1）≤H （Ti）≤H （Sli+1）且左等號成立當且僅當Ti?Pli+1，vi是Pli+1的一個端點；右等號成立當且僅當Ti?Sli+1，vi是Sli+1的中心，i=1，2，…，m.設V（Ti）-｛vi｝=V（Sli+1）-｛vi｝=｛y1，y2，…，yli｝，Pli+1=viy1y2…yli.不妨設在Ti中y1，y2，…，yli到vi的距離是不減的，即dTi（vi，y1）≤dTi（vi，y2）≤…≤dTi（vi，yli），則

因為

而

因此，對于x ∈Cm，有

和

同樣地，有

由定理3得

H（U （Cm；Pl1+1，Pl2+1，…，Plm+1））≤H（G ）≤H（U （Cm；Sl1+1，Sl2+1，…，Slm+1）），

左等號成立當且僅當G?U（Cm；Pl1+1，Pl2+1，…，Plm+1）；右等號成立當且僅當G?U（Cm；Sl1+1，Sl2+1，…，Slm+1）.

由上述結論，我們現在可以給出具有給定圍長的單圈圖中具有最大Harary指數的特征.

定理5 設G=U（Cm；T1，T2，…，Tm）是任意一個圍長為m單圈圖，則

等號成立當且僅當G?U（Cm；Sn-m+1，S1，…，S1），即U（Cm；Sn-m+1，S1，…，S1）是圍長為m的n階單圈圖中唯一具有最大Harary指數的圖.

證明 由定理4

下面證明：

因此，H（U（Cm；Sn-m+1，S1，…，S1））≥H（G）等號成立當且僅當l2=0，即

利用定理3，我們可計算出兩個圍長分別m和m-1為的n階單圈圖U（Cm；Sn-m+1，S1，…，S1）和U（Cm-1；Sn-m+2，S1，…，S1）的Harary指數，直接比較可得n 階單圈圖的Harary指數的最大值.

［1］PlavsiC，D.&S.NikoliC&N.TrinajstiC&Z.MihaliC.On the Harary index for the characterization of chemical graphs［J］.J.Math.Chem.1993，（12）：235-250.

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The Maximum Value for the Harary Index of Unicyclic Graphs with a Given Girth

Chen Dandan
（Department of Public Course，Hunan Financial&Industrial Vocational-Technical College，Hengyang 421002，China）

In this paper，we first give a formula for calculating the Harary index of a unicyclic graph according to the structure，and then using this formula，we obtain the maximum value for the Harary index of unicyclic graphs with a given girth，and characterize the extremal graph with respect to the Harary index.

Girth Unicyclic graph Harary index Reciprocal distance

2016年05月09日