有放回必有序，無放回可無序

邱東華

計算事件A的概率就是要算清楚基本事件的總數和事件A包含的基本事件數，在人教A版必修3《古典概型》一節的教學中，由于排列組合的內容是放在《選修2-3》才學，所以基本事件數的計算只能用列舉法，教材對于這部分的要求是：僅限于能用列舉法列出全部基本事件的問題，那么怎樣合理準確快捷地列舉出所有的基本事件呢？特別是在列舉時，事件中的元素是要按不同的順序（就是排列，有順序）來列舉呢，還是不必考慮元素順序（就是組合，無順序）列舉呢？什么條件下必須按不同的順序列舉，什么條件下可以不按順序列舉？這個問題是概率初學者容易混淆卻又必須弄清楚的問題，因為有沒有按順序來列舉，不僅決定著基本事件的總數和解答計算的繁簡，甚至會導致解答的錯誤！

本例題中的“同時擲兩個骰子”，也可以理解為“一個骰子擲兩次”，或相當于“從分別標有1，2，3，4，5，6的六張卡片中，有放回地隨機取出兩張卡片”，因為是“有放回”地取，所以才有可能出現“11，22，33，44，55，66”，這樣前后兩次取到一樣的情況，也正是因為有“11，22，33，44，55，66”，這條對角線的存在，如前所述，“有順序”列舉的解法正確，“無順序”列舉的解法錯誤，因此，我們可以得出結論：如果是有放回抽取，那么就一定要有順序的列舉，即“有放回，必有序”，

2.無放回，可無序

如果把上述中的“有放回”改為“無放回”，即“從分別標有1，2，3，4，5，6的六張卡片中，無放回地隨機取出兩張卡片，求兩張卡片上數字之和5的概率”，又該如何解答呢？請看解法一：將取出的兩張卡片“有順序”排列，因為卡片無放回，抽出的兩張卡片號碼不會重復，不存在上面一題中的對角線，總共只有30種等可能的結果，如圖3，其中和為5的基本事件有4種，所求概率為4/30=2/15；解法二：不區別1+4=5與4+1=5這類事件，也就是不區分卡片的先后順序，“無順序”地列舉，基本事件就是15種，如圖4，不存在之前對角線的情況，15種基本事件的可能性都相等，其中和為5的基本事件有2種，所求概率為

2/15我們發現，本題是“無放回”抽取，解法一是“有順序”列舉，解法二是“無順序”列舉，兩種解法答案一致，都是正確的！這說明在“無放回”抽取中，既可按“有順序”列舉來解答，也可按“無順序”列舉來解答，但是“無順序”列舉時基本事件數更少，更容易列舉和計算，因此，我們有：“無放回，可無序”，

至此，我們總結出：“有放回必有序，無放回可無序”，我們用這一規則來解答一些問題，

先看教科書中的另一個例題，例題5：“某種飲料每箱6聽，如果其中有2聽不合格，間質檢人員從