線性規劃模型的LINGO軟件求解

姜遠彥

摘 要：本文通過實例介紹運用LINGO軟件求解線性規劃問題。

關鍵詞：線性規劃問題 LINGO軟件 求解

線性規劃是運籌學中形成最早、最成熟的一個分支，是優化理論最基礎的部分，也是運籌學最核心的內容之一。線性規劃主要是用來確定具有多個變量的線性函數，在變量滿足線性約束條件下的最優解。目前廣泛應用于工農業、軍事、交通運輸、決策管理、物流管理等領域，線性規劃的方法已經成為求解各種優化問題的主要方法。

1947 年丹捷格（G.B.Dantzig）提出的單純形方法是求解一般線性規劃問題的通用方法，對于數據簡單的線性規劃問題用這種方法手工求解還是可行的，但對于數據較復雜的規劃問題手工求解就變得比較困難，計算量太大，容易出錯，因此運用計算機相關軟件求解線性

規劃問題便成為首選的方式。目前，已有多種軟件可提供線性規劃問題的計算機求解，其中包括專業優化軟件LINDO/LINGO、WINQSB，具備強大計算功能的MATLAB、MATHEMATICA，以及具有規劃求解功能的EXCEL軟件。本文介紹運用LINGO軟件來求解具體的線性規劃問題。

一、線性規劃基本概念

1.線性規劃的定義

線性規劃是指如何最有效或最佳地謀劃經濟活動。它所研究的問題有兩類：一類是指一定資源的條件下，達到最高產量、最高產值、最大利潤；一類是，任務量一定，如何統籌安排，以最小的消耗去完成這項任務。如最低成本問題、最小投資、最短時間、最短距離等問題。前者是求最大值問題，后者是求最小值問題。總之，線性規劃是在一定限制條件下，求目標函數最值的問題。

2.線性規劃三要素

（1）目標函數最優化——單一目標、多重目標問題如何處理？

（2）實現目標的多種方法——若實現目標只有一種方法不存在規劃問題。

（3）生產條件的約束——資源是有限的、資源無限不存在規劃問題。

3.線性規劃模型的基本結構

（1）決策變量——未知數。它是通過模型計算來確定的決策因素。又分為實際變量——求解的變量和計算變量，計算變量又分松弛變量（上限）和人工變量（下限）。

（2）目標函數——經濟目標的數學表達式。目標函數是求變量的線性函數的極大值和極小值這樣一個極值問題。

（3）約束條件——實現經濟目標的制約因素。它包括：生產資源的限制（客觀約束條件）、生產數量、質量要求的限制（主觀約束條件）、特定技術要求和非負限制。

二、線性規劃問題的數學模型

1.模型建立的步驟

從實際問題中建立數學模型一般有以下三個步驟：

（1）根據影響所要達到目的的因素找到決策變量；

（2）由決策變量和所在達到目的之間的函數關系確定目標函數；

（3）由決策變量所受的限制條件確定決策變量所要滿足的約束條件。

2.線性規劃問題數學模型的基本形式

（1）線性規劃問題數學模型的一般形式是：

三、線性規劃問題的具體實例以及模型的建立

1.具體實例

某奶制品加工廠用牛奶生產，兩種奶制品，1桶牛奶可以在設備甲上用12小時加工成3 公斤，或者在設備乙上用8小時加工成4 公斤，且12每公斤獲利24元，每公斤獲利16元。現在加工廠每天能得到50桶牛奶的供應，每天正式工人總的工作時間為480小時，并且設備甲每天至多能加工100公斤，設備乙的加工能力沒有限制。試為該廠制定一個生產計劃，使每天獲利最大。

2.模型建立

每天50 桶牛奶，工人總工作時間共480小時，至多加工100公斤.設用桶牛奶生產，用桶牛奶生產，下面給出該問題的目標函數和約束條件：

四、利用LINGO軟件求解

1. LINGO軟件簡介

LINGO是美國LINDO系統公司開發的一套專門用于求解最優化問題的軟件包。LINGO用于求解求解線性規劃、二次規劃、非線性規劃，以及一些線性和非線性方程組的求解、代數方程求根等。

一般地，使用LINGO求解運籌學問題可以分為以下兩個步驟來完成：

（1）根據實際問題，建立數學模型，即使用數學建模的方法建立優化模型；

（2）根據優化模型，利用LINGO 來求解模型。主要是根據LINGO 軟件，把數學模型轉譯成計算機語言，借助于計算機來求解。

2. LINGO軟件求解

以下應用LINGO9.0軟件求解。點開軟件，首先在LINGO 界面輸入以下程序 ：

MODEL：

max=72*x1+64*x2；

x1+x2<=50；

12*x1+8*x2<=480；

3*x1<=100；

END

然后點擊計算 ，可得出下列結果 ：

Global optimal solution found.

Objective value： 3360.000

Total solver iterations： 2

Variable Value Reduced Cost

X1 20.00000 0.000000

X2 30.00000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 3360.000 1.000000

2 0.000000 48.00000

3 0.000000 2.000000

4 40.00000 0.000000

從上面結果中不僅可以得到20桶牛奶生產，30桶牛奶生產，總利潤為3360元，還可以得到靈敏度分析的結果。分析結果：當兩個變量，增加一個單位時，目標函數的減少為零（即目標函數不變）。對于三種資源：原料無剩余，時間無剩余，加工能力剩余40小時，其中“資源”剩余為零的約束為緊約束（有效約束），即原料和時間為緊約束；原料增加1單位， 利潤增加48，時間增加1單位， 利潤增加2 ，加工能力增減不影響利潤。

結語

線性規劃是輔助人們進行科學管理的一種數學方法，在工農業生產、經濟管理、交通運輸等方面都有極其廣泛的應用。但其建立數學模型的正確與否，手算的繁瑣復雜程度給線性規劃廣泛的推廣與應用帶來了許多不便。但是通過使用LINGO軟件，只需編寫很簡單的幾行程序，就可以輕松求解，同時也提高了精確度。因此，利用LINGO軟件求解線性規劃問題逐漸成為科學界的共識。

參考文獻

[1]昊祈宗.運籌學[M].北京：機械工業出版社，2002.

[2]謝金星，薛毅.優化建模LINDO/LINGO軟件[M].北京：清華大學出版社，2005.