例析數(shù)學題型中條件變化類型

張麗紅

在平時的教學中，我們經(jīng)常會遇到這樣的情況，試卷上的題目和以往見過的非常類似，但事實上卻是要求不同的題目，部分學生在做這些題時會憑自己的感覺寫上答案，錯誤非常普遍，學生的心理特點是容易理解和接受具體的感性認識。為了讓學生在學習中了解概念的發(fā)生與形成過程，弄清概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，在頭腦中形成相關概念的網(wǎng)絡，以達到掌握并靈活運用的程度，我們有必要研究數(shù)學題目中那些似曾相識卻又并非一樣的幾種相似題目類型，教會學生去分析比較，去區(qū)別，以下的例子在北師大版義務教育初三數(shù)學教材的習題中尤為常見：

一、數(shù)學題型變換類型分析

1.相似三角形的性質(zhì)的運用中，題目條件中的符號“∽”相似，與文字“與”相似的不同

例（課本P123，22題）：如上圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6，CD=4，點P在BD上移動，當P，C，D為頂點的三角形△ABP相似時，求PB的長。

分析：題目中，只是要求△PCD與△ABP相似，它們的頂點除了直角頂點自然對應外，另外兩個頂點是可以有兩種對應的，即本題應該分類討論進行求解：

（1）當∠A=∠CPD時； （2）當∠A=∠C時。

倘若把題目改為：如圖 AB⊥BD ， CD⊥BD，AB=6，CD=4，點P在BD上移動，△PCD∽△APB時，求PB的長。

分析：本題兩個三角形相似的每個頂點之間的對應關系都已經(jīng)確定了，所以答案就只有一種情況。

2.題目本來的文字意義不同，引起題目的結(jié)論要求不同

例：（1）連續(xù)擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，求恰好有一次正面朝上的概率。

（2）連續(xù)擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，求至少有一次正面朝上的概率。

分析：在做這類概率題目時，學生總是因為不能理解“恰好有一次”和“至少有一次”的準確含義而導致解答錯誤：“恰好有一次”含義：有且只有一次正面朝上；“至少有一次”含義：指一次或者兩次正面朝上，即包括一次和兩次朝上的所有情況。

3.在利用方程解應用題的教學中，因為題目多一個詞而引起結(jié)論的不同

例（課本P55）：隨堂練習某批發(fā)市場柜臺春節(jié)期間購進大量賀年卡，這種賀年卡平均每天售出500張，每張贏利0.3元，為了盡快減少庫存，攤主決定采取適當?shù)慕祪r措施。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降價0.05元，那么平均每天可多售出200張，攤主要想平均每天贏利180元，每張賀年卡應降價多少元？

分析：本習題要特別關注“為了盡快減少庫存”這一句話的含義要求，也就是說，在所求出兩個滿足方程的正數(shù)解中，應該把較小的這個解舍去，因為降的價錢越大，庫存減少得越快，但是，倘若題目中，把“為了盡快減少庫存”去掉，那么滿足方程的兩個正數(shù)解都符合要求，不能舍去。學生在解這些應用題時，經(jīng)常會因為理解這句話的存在意義而把結(jié)果搞錯，或者就是無視這句話直接導致解答出錯。

4.反比例函數(shù)值大小比較的問題中，如果已知反比例圖象上的兩點與已知反比例函數(shù)某一支上的兩點，函數(shù)值的大小也會有較大的差異

例1.（課本P157）數(shù)學理解：已知點（x1，y1）（x2，y2）都在反比例函數(shù)y=的圖象上，且x1>x2，比較y1與y2的大小。

例2.已知點（x1，y1）（x2，y2）是第三象限上的點，且都在反比例函數(shù)y=的圖象上，且x1>x2，比較y1與y2的大小。

分析：例1沒有說明點（x1，y1）（x2，y2）的具體位置，所以需要分兩種位置情況進行思考討論：（1）（x1，y1）在第一象限，（x2，y2）在第三象限，體現(xiàn)數(shù)學學科的分類思想；（2）點（x1，y1）（x2，y2）都在反比例函數(shù)的同一支曲線上，從而進行比較函數(shù)值y1與y2的大小；而例2說明了這兩個點的具體位置，都在反比例函數(shù)的同一支曲線上，所以只有一種結(jié)果。

5.在研究方程的根的條件時，學生往往不懂全面理解題目隱含意思，使得答案出錯

例1.已知關于x的方程（k-1）x2-（k-1）x+ =0，有兩個相等的實數(shù)根，求k的值。

例2.已知關于x的方程（k-1）x2+3x+=0，有實數(shù)根，求k的范圍。

分析：這些題型一般會出現(xiàn)在試卷的選擇題或者填空題，學生的解答大多數(shù)都是不對的，比如例1：學生會錯答成：k=1或k=2，原因是學生對題目隱含的條件：二次項的系數(shù)（k-1） 不等于0總會忽略掉，深究其原因，是學生沒能真正理解一元二次方程的實質(zhì)性含義； 至于例2：學生會錯答成：k≤9，且k≠1，學生對題目中的“關于x的方程”并沒有關注，只關注了有實數(shù)根，就認定（k-1）x2+3x+=0只是一元二次方程，沒有意識到當k=1時方程（k-1）x2+3x+=0變成一元一次方程：3x+=0，也是有實數(shù)根的。

二、總結(jié)

數(shù)學問題千變?nèi)f化，數(shù)量繁多，如果只盲目地追求解題數(shù)量，而不注意解題類型、知識點的完整性，解題效果是不會理想的。各種考試中，多數(shù)試題都是取材于教科書。試題的構(gòu)成通常是在教材的例題、練習題、習題的基礎上通過類比、加工改造、加強條件或減弱條件、延伸或擴展而成的。所以對于做過的題目，我們要善于總結(jié)歸類，想一想這道題在知識結(jié)構(gòu)上屬于哪一類？在解題思路和方法上屬于哪一種？在解決問題的過程中，要為學生提供展示自己聰明才智的機會，同時教師要及時發(fā)現(xiàn)學生分析問題、解決問題的獨到見解，以及思維的誤區(qū)，把習題按涉及的知識、方法進行分類、歸納，可以舉一反三，觸類旁通，做到“一法懂，萬法通”“做一題，解一類”，這樣就能得心應手地應對在數(shù)學問題中出現(xiàn)的同類型不同條件的題目。總之，細心將能決定學生在數(shù)學答題中的準確度。

三、教學建議

只是知道題目類型是很難做到隨機應變的，所以我們作為教師要懂得如何引發(fā)學生的興趣，因為學習興趣是推動學生學習的動力，學生如果能在學習數(shù)學中產(chǎn)生對數(shù)學的興趣，就會形成較強的求知欲，就能積極主動地去參與學習。培養(yǎng)學生數(shù)學學習興趣的途徑有很多，如讓學生積極參與教學活動，并讓其體驗到成功的愉悅；創(chuàng)設一個適度的學習競賽環(huán)境；發(fā)揮趣味數(shù)學的作用。

參考文獻：

蔡網(wǎng)蘭.中考添加條件證幾何新題型例析[J].數(shù)學學習，2002（6）.

編輯 謝尾合