淺論數學模型思想在教學中的滲透策略

戴玉英

【摘 要】模型思想指的是針對要解決的問題，構造相應的數學模型，通過對數學模型的研究來解決實際問題的一種數學思想方法。在小學數學教學中，如何滲透學生的模型思想，筆者認為應該課前研讀，深度挖掘模型思想；課中研磨，經歷數學建模過程；課后研變，活用數學模型思想。總之，我們只有抓住數學本質，與新課程理念有效結合，才能發揮數學教育的最大價值，才能真正發展學生的核心素養。

【關鍵詞】感受；數學；模型思想

數學學習不僅要掌握基礎知識、基本技能，而且也要掌握基本思想。模型思想是《課程標準（2011年版）》新增加的一個核心概念。它指的是針對要解決的問題，構造相應的數學模型，通過對數學模型的研究來解決實際問題的一種數學思想方法。筆者結合自己的教學談談數學滲透模型思想的力量。

一、課前研讀：深度挖掘模型思想

“凡事預則立，不預則廢。”如果課前教師對教學中應滲透哪些思想方法一無所知，那么課堂教學就不可能有的放矢。因此，老師要認真研讀教材，反復琢磨每一具體的教學內容中隱藏著哪些數學模型？需要幫助學生建立怎樣的模型？所建的“模”和建模的過程對于兒童的數學學習具有怎樣的影響？……讓我們走進《植樹問題》的課堂，一起感悟不同的教學設計下演繹出的不同教學效果。

【A老師教學片斷】

課前教師和同學們一起玩手指游戲，讓學生觀察有幾個手指幾個間隔？“兩個手指一個間隔”；接著是三個手指幾個間隔……通過簡短的活動，學生們初步感知手指數和間隔數之間的關系（手指數=間隔數+1）。

再出示例題：“同學們要在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共需要多少棵樹苗？”

教師讓學生分組合作，解答并設法驗證。匯報時，有些同學是通過借助學具在紙上進行“實地”植樹的方式來進行驗證，更多的同學是通過畫線段圖的方式來說明自己的解答結果是正確的。此時，教師啟發學生思考：在兩端不種的情況下，棵數和間隔數之間有什么關系呢？這時，有個別學生說：棵數比間隔數多1，也就是棵數=間隔數+1。老師對該生的回答大加贊賞。

【B老師教學片斷】

植樹節情境引入后，出示例題：“同學們要在全長150米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共需要多少棵樹苗？”

教師讓學生根據自己的理解列式解答，并嘗試想辦法驗證。匯報時，同學們列出了幾個不同的式子，教師質疑：究竟哪個是正確的呢？大多數學生都想到要畫圖，但要畫150÷5=30個間隔太麻煩了……這時，教師引導學生思考：遇到大的數目不好把握怎么辦？學生想到可以從小的數目入手，找出規律，然后再用規律來解決大數目的問題。

教師將學生自主研究的情況進行列表整理：

然后，老師進一步引導學生分析、比較，總結概括出“植樹問題”的數學模型：植樹棵數=間隔個數+1（兩端都植樹）

同時，老師根據學生的實際情況，引導學生進一步抽象、概括數學模型：如果我們用N表示植樹的棵數、用a表示間隔的個數，那么我們植樹問題的數學模型可以怎么寫呢？植樹問題數學模型還可以寫為：N=a+1（兩端都植樹）。

同是《植樹問題》這堂課，兩位教師備課所站立的高度不同，所產生的現場教學效果迥然不同。A老師的課堂我們看到的是“教教材”的影子，按照教材安排的順序組織教學，整個教學片斷缺少深度，缺少體驗和探究，不利于學生核心素養的培養。而B教師在整個環節的設計中凸顯數學模型思想的滲透。從問題情境的創設到解決問題策略的探究，使構建“植樹問題”的模型成為學生的主動需求，激發了建模的興趣。接著老師在課堂中通過分析、判斷、推理，架起知識與方法間溝通橋梁。最終抽象概括了在兩端都種的情況下棵數=間隔數+1，滲透了數學中重要的模型思想。

眼界決定境界。一個老師能否精心研讀教材，能否深度挖掘數學模型思想，往往決定著他的教學深刻性和數學課堂的品質。

二、課中研磨：經歷數學建模過程

對小學數學而言，“建模”的過程，實際上就是“數學化”的過程，是學生在數學學習中獲得某種帶有“模型”意義的數學結構的過程。筆者曾對《長方形的面積》這節課中引導學生經歷數學建模，對滲透學生的數學模型思想進行了成功的嘗試。

對于“長方形面積的計算”這部分內容的教學，如何借助現實有趣的活動，幫助學生實現對數學知識、數學觀念的自我建構和發展？筆者安排三個層次的數形對應力求實現孩子的主動建模。

第一層次，通過提供多元化的探索素材，打開了學生探索、研究的切入口。他們有的數、有的擺、有的量，有的畫，同樣的結果卻隱含著不同的數學思考，在教師有意識地組織交流，求同比較和橫向溝通中中理解了不同算法之間的本質意義。從“鋪滿”到“半鋪”再到“只量長和寬”的思維展示活動中，學生感受到了一維線段的長度與二維面積個數之間的某種對應。

第二層次，著重引導學生從“實際操作的層面”逐漸過渡到“用思維去把握對象”，每一問題的推進，都在無聲地引導學生將思維從實物操作向表象操作再向算法操作過渡，從而在探索活動中充分感悟到長、寬數量與面積的對應。

第三層次，當學生從各種具體的實例中發現長和寬與面積個數的對應關系之后，適時地讓學生利用自己實踐操作的直觀經驗，進行不自覺的表象提升，使學生在更高的層面對長方形的長、寬重新進行建構，成功地建立了長方形的面積=長×寬的數學模型。

三、課后研變：活用數學模型思想

學習數學的價值在于它能有效地解決現實世界向我們提出的各種問題，而數學模型正是聯系數學與現實世界的橋梁。數學模型的價值體現在建立過程及以此去解決實際問題的過程之中。解決問題具體表現在兩個方面：一是布置數學題作業，如基本題、變式題、拓展題等；二是生活題作業，讓學生在實際生活中應用數學。

如在學生掌握了速度、時間、路程之間關系后，先進行單項練習，課后作業設計時可出示這樣的變式題：

1. 汽車3小時行駛了270千米，5小時可行駛多少千米？

2. 飛機的速度是每小時900千米，飛機早上11：00起飛，14：00到站，兩站之間的距離是多少千米？

學生在掌握了速度乘時間等于路程這一模型后，進行變式練習，學生基本能正確解答，說明學生對基本數學模型已經掌握，并能夠從3小時行駛了270千米中找到需要的速度，從11：00至14：00中找到所需時間。雖然兩題敘述不同，但都可以運用同一個數學模型進行解答。掌握了數學模型，學生解答起數學問題來得心應手。對于學有余力的學生，學習了行程問題后，教師還可以設計生活題作業讓學生靈活運用模型思想。

總之，我們只要抓住數學本質，與新課程理念有效結合，才能發揮數學教育的最大價值！但數學模型思想的滲透不是一蹴而就的，而是一個長期的過程，需要貫穿于整個小學階段。為此作為數學教師，我們應該自覺地將“數學建模”的思想融入教學實踐中，做課程改革的有心人，有意識地實施課前研讀、課中研磨、課后研變三大策略，讓學生去感知、經歷、體驗、拓展、提升數學思想方法，感受數學模型思想的力量，從而真正提高學生的數學素養！

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[S].北京：北京師范大學出版社，2001.

[2]孔凡哲，曾崢編.數學學習心理學[M].北京：北京大學出版社，2012.