應(yīng)用拉格朗日中值定理逆向巧解數(shù)學(xué)問(wèn)題

孫輝

【摘要】隨著我國(guó)新課程改革的不斷貫徹和深入，在現(xiàn)階段的高中課本中，逐漸引入了近代和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，同時(shí)加入了導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)。因此，在高中數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了很多相關(guān)數(shù)學(xué)模型，對(duì)高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)一定困難。通過(guò)對(duì)應(yīng)用拉格朗日中值定理逆向巧解數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行研究分析，希望能夠?yàn)橄嚓P(guān)教育工作者提供一定的理論借鑒。

【關(guān)鍵詞】拉格朗日中值定理 逆向 數(shù)學(xué)問(wèn)題

前言：拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，同時(shí)也是高中學(xué)生必須掌握的定理，對(duì)高中生解答數(shù)學(xué)題具有至關(guān)重要的作用。在如今的高考試題中，常會(huì)出現(xiàn)考察高中生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力要求較高。因此，高中數(shù)學(xué)教師需要在課堂教學(xué)活動(dòng)中，加強(qiáng)對(duì)拉格朗日中值定理知識(shí)的滲透，保證所有學(xué)生能夠扎實(shí)掌握此數(shù)學(xué)思想。

一、拉格朗日中值定理概述

如果函數(shù)f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；那么在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ε（a<ε

二、應(yīng)用拉格朗日中值定理逆向巧解數(shù)學(xué)問(wèn)題具體措施

在面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，利用拉格朗日中值定理需要對(duì)問(wèn)題詳細(xì)解讀，充分理順定量之間的限定條件，學(xué)生全面掌握拉格朗日中值定理概念的基礎(chǔ)上，對(duì)題目與定理之間的關(guān)系進(jìn)行逆向思考，進(jìn)而構(gòu)建與問(wèn)題有關(guān)聯(lián)的函數(shù)，最終實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解答。

2.1極限問(wèn)題的求解

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，有很多方法都能夠解答極限問(wèn)題，比如說(shuō)洛必達(dá)法則、夾逼定理、或者泰勒公式。上述方法在面對(duì)極限問(wèn)題時(shí)，不僅僅便于高中生進(jìn)行操作，同時(shí)解題思路較為清晰明了，能夠有效降低解題難度，有利于提升解題效果。但是，很多極限問(wèn)題具有一定的困難性和復(fù)雜性，利用上述方法無(wú)法很好的解決。因此，可以選擇拉格朗日中值定理進(jìn)行求解。利用拉格朗日中值定理，可以將求積式型的極限替代差式的極限，改變題目，使解答過(guò)程更加簡(jiǎn)單。此外，面對(duì)求解極限問(wèn)題時(shí)，必須充分找出極限問(wèn)題與拉格朗日中值定理之間的關(guān)聯(lián)，準(zhǔn)確找出連接點(diǎn)，進(jìn)而使方程式簡(jiǎn)化，以此實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決[2]。不僅于此，在具體計(jì)算階段，還需要確認(rèn)極限式滿足拉格朗日中值定理的限定要求，避免出現(xiàn)解題錯(cuò)誤的情況。

2.2不等式問(wèn)題的求解

在高中數(shù)學(xué)不等式證明中，通常情況下進(jìn)行函數(shù)的構(gòu)建，以此明確導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系，以此解答問(wèn)題；使函數(shù)在某個(gè)限定條件下符合條件，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)不等式的證明。類似此種數(shù)學(xué)問(wèn)題，很難利用初等函數(shù)進(jìn)行求解，如果利用拉格朗日中值定理，能夠快速準(zhǔn)確的求出答案。利用拉格朗日中值定理證明不等式、或者求解不等式時(shí)，僅僅需要根據(jù)條件構(gòu)建滿足拉格朗日中值定理要求的函數(shù)即可，之后根據(jù)相應(yīng)內(nèi)容進(jìn)行證明。

2.3證明問(wèn)題的求解

在現(xiàn)階段的高等數(shù)學(xué)階段，普遍利用拉格朗日中值定理進(jìn)行問(wèn)題的證明。在問(wèn)題的證明過(guò)程中，需要高中生能夠?qū)窭嗜罩兄刀ɡ淼脑敿?xì)內(nèi)容做充分掌握，同時(shí)能夠利用逆向思維，使思考從題目轉(zhuǎn)回到定理中，根據(jù)具體問(wèn)題，以此找出與拉格朗日中值定理相關(guān)的內(nèi)容，進(jìn)而將問(wèn)題與定理合理聯(lián)系起來(lái)。在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)利用逆向思維，找出證明途徑，能夠使問(wèn)題難度降低，更加利于學(xué)生解答。

例如：假設(shè)g（a）在[0，1]中可導(dǎo)，并且0

存在性的證明：可以假設(shè)函數(shù)f（a）=g（a）+a-1，那么f（a）在（0，1）范圍內(nèi)可導(dǎo)。同時(shí)由于00。依據(jù)根的存在定理可知，f（a）=0在（0，1）中至少存在一個(gè)實(shí)根。

唯一性證明：可以假設(shè)f（a）=0，在（0，1）中，至少存在2個(gè)根a1a2，并且a1

2.4函數(shù)問(wèn)題的求解

拉格朗日中值定理能夠有效經(jīng)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)進(jìn)行相連，中值定理通過(guò)聯(lián)系起導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系，可以進(jìn)一步深入研究函數(shù)性質(zhì)，對(duì)函數(shù)區(qū)間的連續(xù)性、單調(diào)性、凹凸性、以及符號(hào)全面解析，有利于學(xué)生在整體方面、局部方面掌握函數(shù)關(guān)系，拉格朗日中值定理是求解函數(shù)的主要方法。在面對(duì)函數(shù)問(wèn)題時(shí)，同樣需要做好逆向分析。根據(jù)拉格朗日中值定理、以及所求證內(nèi)容，以此分析函數(shù)求證之間的關(guān)系，并且確認(rèn)兩者的一致性。有利于幫助學(xué)生準(zhǔn)備而又快速的求證，簡(jiǎn)化函數(shù)問(wèn)題，提升解題效率。特別注意的是，必須構(gòu)建出最有效、最直接的輔助函數(shù)。

總結(jié)：通過(guò)上述論述能夠看出，拉格朗日中值定理對(duì)高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)影響深遠(yuǎn)。在高中學(xué)習(xí)階段，學(xué)生不僅需要掌握基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)知識(shí)，以及解題技巧，同時(shí)能夠明確各知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，充分掌握拉格朗日中值定理，結(jié)合逆向思維，利用其正確解答和證明數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而提高自身的數(shù)學(xué)解題技巧，提高數(shù)學(xué)成績(jī)。

【參考文獻(xiàn)】：

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