基于高考全國卷的立體幾何復(fù)習(xí)策略探究

馮艷玲齊　瑾謝定亮

（1.三明市第九中學(xué)，福建 三明 365001；2.三明第一中學(xué)，福建 三明 365001）

基于高考全國卷的立體幾何復(fù)習(xí)策略探究

馮艷玲1齊瑾1謝定亮2

（1.三明市第九中學(xué)，福建 三明 365001；2.三明第一中學(xué)，福建 三明 365001）

立體幾何是高考中的主要考查內(nèi)容之一。文章從對福建卷和全國卷關(guān)于立體幾何在考綱要求、考點(diǎn)分布、試題特點(diǎn)等方面的差異的比較，從而在基于高考全國卷的基礎(chǔ)上探究立體幾何的有關(guān)復(fù)習(xí)策略。

立體幾何；福建卷；全國卷；復(fù)習(xí)策略

2016年福建省高考將采用全國統(tǒng)一命題試卷，對新高考，教師必須認(rèn)真研究全國教學(xué)大綱、考試說明。加強(qiáng)對近年高考試題的研究，既要對全國新課標(biāo)試題進(jìn)行縱向比較，也要與福建省近年的高考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行橫向?qū)Ρ龋瑢す残裕也町悾此紵狳c(diǎn)問題，調(diào)整復(fù)習(xí)策略，使高考復(fù)習(xí)更具有實(shí)效性。

一、基于宏觀層面上的全國卷與福建卷的異同比較

（一）相同點(diǎn)

關(guān)注基礎(chǔ)知識、技能與基本思想方法的考查；強(qiáng)調(diào)能力立意，突出對數(shù)學(xué)學(xué)科能力的考查；考點(diǎn)設(shè)置基本相同，重點(diǎn)考查六大主干知識；不過分追求“新”“異”，著重在數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)。

（二）兩卷差異

1.試卷特點(diǎn)。全國卷每年的高考數(shù)學(xué)試卷“既全面又突出重點(diǎn)，綜合考慮學(xué)科整體高度以及思維價(jià)值，基于知識的交匯處設(shè)計(jì)試題，依托數(shù)學(xué)知識深刻考查數(shù)學(xué)思想方法，命題立足于能力立意，加強(qiáng)試題的基礎(chǔ)性，全方位考查綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)”。福建卷保留了課改以來“注重考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法的命題特色和優(yōu)點(diǎn)，試卷知識覆蓋面廣，各模塊的考查權(quán)重合理，重點(diǎn)突出，以基礎(chǔ)知識為依托，全面考查了考生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想方法”。

2.題型、題量對比。全國卷文、理科試卷結(jié)構(gòu)一樣，都是12道選擇題、4道填空題、5道必做的解答題、1道選做題（3選1）。福建卷文、理科的題量不同，且文科沒有選考題，理科選做題（3選2）。全國卷文理科兩份試卷的相同考點(diǎn)，基本上是相對應(yīng)的，只是題序上的變化；理科的卷（Ⅰ）（Ⅱ），文科的卷（Ⅰ）（Ⅱ），相同的考點(diǎn)也基本上是相對應(yīng)的，只是題序的變化，據(jù)此可以看出全國卷每年的四份卷子之間是有一定的內(nèi)在聯(lián)系。

3.信度、效度、難度、區(qū)分度對比。高考在信度、效度、難度、區(qū)分度等方面的要求，決定了高考數(shù)學(xué)試題要有必要的長度（很多學(xué)生做不完），適當(dāng)?shù)碾y度（有些學(xué)生不會(huì)做），一定的區(qū)分度（甄別不同思維層次考生）等，以保證高考的客觀、公平、公正，有利于高校選拔具有學(xué)習(xí)潛力的優(yōu)秀生。全國卷試題難點(diǎn)分散，中等題較多，容易題較少，難題不怪，試卷的思維量更大；而福建卷難點(diǎn)也有分散，但中等題較少，容易題較多，難題“劍走偏鋒”。由此產(chǎn)生的實(shí)測結(jié)果可能會(huì)是兩種截然不同的情況：全國卷的考生，分?jǐn)?shù)的分布會(huì)比較分散，對數(shù)學(xué)能力不同的考生，會(huì)真正起到甄別區(qū)分的作用，對優(yōu)生有利，對中等生可接受，對差生無話可說。福建卷的考生，分?jǐn)?shù)相對會(huì)比較集中，對極少部分的優(yōu)生有利，中等生不能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的優(yōu)勢，差生的分?jǐn)?shù)相對不會(huì)很低。

二、基于微觀層面上的全國卷與福建卷的異同比較

在實(shí)行全國卷的基礎(chǔ)上，基于對全國卷和福建卷在立體幾何內(nèi)容的對比，尋找二者之間的差異與共同點(diǎn)，尋找契合學(xué)校實(shí)際情況的復(fù)習(xí)策略尤為重要。以下從三個(gè)方面進(jìn)行探究：

（一）考綱要求

表1　考綱差異（理科）

（二）考點(diǎn)分布

縱觀2011-2015年全國新課標(biāo)Ⅰ卷高考試題，對立體幾何部分的考查主要集中在以下幾個(gè)熱點(diǎn)問題：

1.突出三視圖問題的考查。全國新課標(biāo)卷每年都考查三視圖問題，從考查形式來看，以選擇題、填空題為主對有關(guān)三視圖試題進(jìn)行分析，可以感受到全國新課標(biāo)卷對空間想象能力的考查比福建卷要求更高。從全國新課標(biāo)卷來看，這部分內(nèi)容主要考查以下兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是幾何體三視圖的識別與判斷；二是簡單幾何體（包括簡易組合體）的三視圖與幾何體的表面積、體積的求解問題。（例2014高考課標(biāo)Ⅰ理12）

2.突出球類問題的考查。球作為優(yōu)美幾何體的典型代表，在新課標(biāo)全國卷中屢屢出現(xiàn)。近5年來，全國新課標(biāo)Ⅰ卷只有2014年沒有考查球的問題，其他年份都考，而福建卷很少涉及在以球?yàn)檩d體的問題中：一是考查球的表面積、體積及距離等基本量的計(jì)算；二是考查球與多面體的相切接，較好地考查了學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。（例2014高考課標(biāo)Ⅰ文16）

3.注重對平行、垂直特別是垂直關(guān)系的考查全國新課標(biāo)Ⅰ卷文理科解答題將垂直關(guān)系作為考查的重點(diǎn)近5年來，全國新課標(biāo)Ⅰ卷在解答題中都考查垂直關(guān)系，未涉及平行問題，且5年中有3年都考查了直線與直線垂直的判定全國新課標(biāo)Ⅱ卷常考查平行問題。（例2013高考課標(biāo)Ⅰ理18）

4.突出對空間角的考查。新課標(biāo)卷對立體幾何解答題的考查，一般分成兩部分，第一部分重點(diǎn)考察了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，第二部分重點(diǎn)考察空間角的計(jì)算問題；對空間角問題，全國新課標(biāo)Ⅰ卷特別青睞二面角的考查，2011-2015五年中有三年都考查了二面角問題。全國新課標(biāo)卷的立體幾何解答題基本上是設(shè)計(jì)“兩問”，且設(shè)問比較直接，而福建卷常設(shè)計(jì)成探究性試題，并且常有層次分明的“三問”設(shè)計(jì)。

例1（2012高考課標(biāo)Ⅰ理19）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1， D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1⊥BD

（1）證明：DC1⊥BC（2）求二面角A1-BD-C1的大小

例2（2012年福建卷理18）

如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1=AD=1，E為CD中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：B1E⊥AD1；

（Ⅱ）在棱AA1上能否存在一點(diǎn)P，從而DP∥平面B1AE？如果存在，求AP的長；如果不存在，請說明理由

（Ⅲ）如果二面角A-B1A-A1的平面角大小為30°，求AB的長

此外，全國卷和福建卷在立體幾何條件的表述上存在一定的差異：全國卷經(jīng)常出現(xiàn)“直棱柱、正棱柱、正棱錐”等概念，而福建卷從未涉及這些概念。

（三）試題特點(diǎn)

全國新課標(biāo)卷將立體幾何學(xué)科知識和能力融為一體，堅(jiān)持推陳出新，從不同角度詮釋了立體幾何教學(xué)的價(jià)值取向，形成了鮮明的立體幾何命題風(fēng)格和試題特點(diǎn)。

對近5年全國新課標(biāo)Ⅰ卷和福建卷考點(diǎn)進(jìn)行比較分析，不難發(fā)現(xiàn)，全國新課標(biāo)卷對立體幾何內(nèi)容的考查具有如下特點(diǎn)：

1.結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，難度適中。近5年來，全國新課標(biāo)Ⅰ卷在題量上，除了2014年是“一小一大”，分值17分，其他年份的試題都是“兩小一大”，分值22分；在考查兩個(gè)小題的年份，文理科至少都有一個(gè)小題相同；解答題位置都在第18題或第19題，文理科試題大都成姊妹題，難度比較穩(wěn)定。

福建卷題量一般是“一小一大”，分值在17分左右，但難度波動(dòng)較大，例如2011年理科卷立體幾何位置在第20題，2013年理科卷立體幾何位置在第19題，而2014年和2015年理科卷立體幾何位置都在第17題。

2.貼近教材，推陳出新。全國新課標(biāo)卷的命題始終堅(jiān)持“立意時(shí)處于幾何直觀，設(shè)計(jì)時(shí)貼近教材”的特點(diǎn)，涌現(xiàn)了一批來源于教材，又高于課本，畫龍點(diǎn)睛，寓意升華的立體幾何好題［1］。近幾年全國新課標(biāo)卷的一些立體幾何試題，其解題思路、思想方法都可以在教材中找到“影子”，這既是課本基礎(chǔ)知識、典型例題和習(xí)題的提煉、類比、升華、縱向延伸、橫向拓展的結(jié)果，也展現(xiàn)了教材良好的示范作用。

于教材的“藍(lán)本”高考試題，讓考生感到熟悉親切，很好地凸顯了以教材為核心的導(dǎo)向作用，激發(fā)學(xué)生對教材知識的學(xué)習(xí)熱情例人教A版2-1第109頁例4的四棱錐模型是立體幾何解答題的經(jīng)典模型，2010年、2011年、2014年高考全國新課標(biāo)卷立體幾何解答題就以此背景命制。

教材作為“藍(lán)本”的高考試題，讓考生感到熟悉親切，很好地凸顯了以教材為核心的導(dǎo)向作用，激發(fā)學(xué)生對教材知識的學(xué)習(xí)熱情。

3.能力立意，彰顯選拔。全國新課標(biāo)卷立體幾何試題以知識為載體，以能力立意為目標(biāo)在《全國考試大綱》中列舉的幾種能力，如抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用與創(chuàng)新意識等在立體幾何中都得到了很好的體現(xiàn)，其中側(cè)重考查了空間想象能力、推理論證能力與運(yùn)算求解能力［2］。

4.關(guān)注數(shù)學(xué)文化，適度創(chuàng)新。全國新課標(biāo)卷立體幾何試題體現(xiàn)了“大穩(wěn)定、小創(chuàng)新”的設(shè)計(jì)理念，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，關(guān)注對考生文化素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)數(shù)學(xué)史在教材中的重要作用。

例3（2015全國新課標(biāo)Ⅰ卷理6）《九章算術(shù)》是中國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

本題通過《九章算術(shù)》中的經(jīng)典問題，考查考生對圓錐的體積計(jì)算，考查考生的閱讀能力。在考查基礎(chǔ)的同時(shí)，適度創(chuàng)新，題目新穎難度不大，給考生發(fā)揮自己的真實(shí)數(shù)學(xué)水平提供了很好的平臺，可引導(dǎo)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。

三、基于全國卷的立體幾何復(fù)習(xí)策略探究

立體幾何是考查空間想象能力的重要載體，涉及的問題包括識圖與畫圖、證明與計(jì)算等正所謂茅檐長掃凈無苔，花木成畦手自栽，一水護(hù)田將綠繞，兩山排闥送青來因此，在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師必須先找準(zhǔn)“出發(fā)點(diǎn)”——立足考綱，了解命題特點(diǎn)，再努力嘗試占領(lǐng)“制高點(diǎn)”——決勝高考。

（一）把握考試要求，了解命題特點(diǎn)，提高備考實(shí)效性

吃透考綱，明確復(fù)習(xí)方向《全國考試大綱》《全國考試說明》是指導(dǎo)高考命題與復(fù)習(xí)教學(xué)的權(quán)威性文件，要認(rèn)真研讀、仔細(xì)推敲，準(zhǔn)確把握定位和要求，做到四點(diǎn)：掌握各部分考查的知識點(diǎn)；清晰各知識點(diǎn)的要求層次；明了哪些知識是重點(diǎn)要求的；提升其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)能力及其考查要求。

了解命題特點(diǎn)，找準(zhǔn)復(fù)習(xí)“效”度有效的復(fù)習(xí)教學(xué)不僅要弄清高考考什么，還要明確怎么考，因此必須對近年來的全國新課標(biāo)卷進(jìn)行研究。通過研究，幫助教師了解立體幾何的命題特點(diǎn)，有效指導(dǎo)立體幾何教學(xué)中“度”的把握，提高復(fù)習(xí)教學(xué)的針對性和實(shí)效性

文理科通用的考點(diǎn)中，要重點(diǎn)復(fù)習(xí)的內(nèi)容有：簡單幾何體的三視圖與直觀圖；簡單幾何體的表面積與體積的計(jì)算；線線、線面、面面平行和垂直的判定與性質(zhì)。

理科選修內(nèi)容要重點(diǎn)復(fù)習(xí)用空間向量證明平行與垂直關(guān)系、計(jì)算各類角等問題，還應(yīng)兼顧“一題兩法”，形成基本技能。

（二）立足基礎(chǔ)，熟練掌握基本解法

“授人以魚，不如授之以漁。”傳授學(xué)生如何尋找解決問題的方法是復(fù)習(xí)過程中的重中之重，通性通法的意義在于對于某些具有規(guī)律性和普遍性的常規(guī)解題模式以及常見的數(shù)學(xué)思想方法的進(jìn)行總結(jié)，是解決問題的基本方法，是學(xué)生著重掌握的方法［3］。

教師要按 《全國考試大綱》《全國高考考試說明》對立體幾何內(nèi)容的要求，從知識的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生將立體幾何知識點(diǎn)串聯(lián)起來，促進(jìn)知識的系統(tǒng)化、條理化、綜合化，提高學(xué)生靈活運(yùn)用有關(guān)知識分析問題、解決問題的能力。

（三）激活課本，用足教材

“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”，教材是思想之基，方法之源，問題之本，思維之花。

立體幾何復(fù)習(xí)要實(shí)現(xiàn)學(xué)生知識的系統(tǒng)化，思想和方法的強(qiáng)化，能力的提高，光靠利用教輔資料進(jìn)行題海強(qiáng)化是不夠的，必須緊扣教材這一“基和源”。

首先，要準(zhǔn)確理解教材，要上升到思想和方法的角度審視教材，對教材中所講的基本知識、基本方法、例題和習(xí)題，要認(rèn)真研究，準(zhǔn)確把握。

其次，應(yīng)通過對課本例習(xí)題的變式、拓展，挖掘教材例（習(xí)）題的潛在功能，從中提煉相應(yīng)的思想方法，準(zhǔn)確把握立體幾何的本源和本質(zhì)，提高復(fù)習(xí)效益。

在復(fù)習(xí)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生著眼于最近發(fā)展區(qū)，對例題進(jìn)行深入挖掘，加工改造，為學(xué)生創(chuàng)造帶有難度的內(nèi)容，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，發(fā)揮學(xué)生潛能，超越最近發(fā)展區(qū)達(dá)到更高發(fā)展區(qū)。

挖掘教材例（習(xí)）題的潛在功能通常包括：

1.一題多變、一題多解或多題歸一，進(jìn)行哲理的升華；

2.反思命題的逆命題是否成立；

3.改變命題的條件與結(jié)論，增加或減少條件，觀察結(jié)論變化情況等。

總之，基于教材、研究教材、提煉教材，從學(xué)生的角度看教材，從高考的高度解析教材，提高對教材的認(rèn)知水平，進(jìn)而大幅提高復(fù)習(xí)有效性。

（四）突出轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用

轉(zhuǎn)化與化歸思想就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題是采用某種方式，借助某種函數(shù)、公式等將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知問題；將抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀問題；將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)或幾個(gè)簡單問題，從而讓問題化繁為簡、化生為熟、化難為易。

化歸與轉(zhuǎn)化思想是立體幾何中處于中樞地位的數(shù)學(xué)思想包含了位置關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化，例如面與面平行、線與面平行、線與線平行的相互轉(zhuǎn)化，面與面垂直、線與面垂直、線與線垂直的相互轉(zhuǎn)化等等；以及三維向二維的轉(zhuǎn)化，例如空間角化為平面角，空間距離化為平面距離，空間度量化為平面度量等等［4］。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微簡言之孤數(shù)則不長，獨(dú)形則不生。”因此在解決立體幾何問題時(shí)，解題時(shí)都應(yīng)該根據(jù)已知條件，通過想象對文字語言、符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，從而得到圖形中相關(guān)幾何元素的位置以及數(shù)量關(guān)系，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q。

這一過程充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)與形、形與形的相互轉(zhuǎn)化、相互滲透、交相輝映、相映成趣。

總之，在接下去的立體幾何復(fù)習(xí)中，只要教師堅(jiān)持對“雙基”采取拉網(wǎng)式的復(fù)習(xí)與重點(diǎn)、難點(diǎn)突破相結(jié)合的方法，采取有目標(biāo)、有層次、分梯度、巧思維的訓(xùn)練，注重知識與方法的整合，注重提升能力的培養(yǎng)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想，拓寬技巧與思維的道路，就能以不變應(yīng)萬變，任憑風(fēng)浪起，穩(wěn)坐釣魚臺，從容應(yīng)對高考。

［1］朱天斌.知識交匯處命題思維探究［J］.高中生學(xué)習(xí)：高三文科，2015（Z1）.

［2］袁春仙.透析大綱探究能力——立體幾何命題對高考能力要求的體現(xiàn)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)：高中版，2014（12）.

［3］陳元章，林新建.新課程數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)的辯證之道［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（7）.

［4］楊恩彬，柯躍海，陳清華.化歸與轉(zhuǎn)化思想的數(shù)學(xué)能力統(tǒng)領(lǐng)功能探析［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（10）.

G420

A

1673-9884（2016）05-0058-04

2016-03-10

福建省教育科學(xué)規(guī)劃一般課題（FJCGJJ12-179），福建省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度一般課題（FJJK15-461）

馮艷玲（1985-），女，福建永安人，三明市第九中學(xué)二級教師。