與薛定諤算子相關的乘積Hp空間的原子刻畫與Littlewood-Paley刻畫等價性

饒麗，譚超強

（汕頭大學理學院，廣東汕頭515063）

與薛定諤算子相關的乘積Hp空間的原子刻畫與Littlewood-Paley刻畫等價性

饒麗，譚超強

（汕頭大學理學院，廣東汕頭515063）

給出與薛定諤算子相聯系的乘積Rn×Rn）（n/（n+1）＜p≤1）的原子刻畫、Littlewood-Paley的Poisson核面積函數刻畫和高斯核的面積函數刻畫.

薛定諤算子；帳篷空間；原子分解；高斯核；Poisson核；Hardy空間

0　引言

Hardy空間的實變理論是上世紀70年代以來調和分析中最富有成功的領域之一. Hardy空間的實變理論的開創性工作是D.L.Burkholder、R.F.Gundy和M.L.Silverstein在70年代初開始的.經過許多數學家的多年努力，Hardy空間理論得到長足的進展，已經得到了多種等價實變刻畫，特別是原子刻畫和Littlewood-paley刻畫等，為現代分析提供了重要的工具.在經典Hardy空間理論逐漸走向成熟的過程中，高維傅里葉分析和多復變函數理論的發展進一步推動著Hardy空間的研究，乘積Hardy空間理論被提出，在經過R.Gundy、E.M.Stein、R.Fefferman等人的努力，該空間也同樣得到了許多類似于經典Hardy空間的等價刻畫，特別是原子分解理論和Littlewood-Paley刻畫等.隨著偏微分方程、復分析、集合分析等領域的推動，特別在研究一些微分算子如Rn中非光滑區域上的橢圓算子或者流形上的橢圓算子相聯系的奇異積分算子的過程中，數學家們從中發現了很多與經典的Hardy空間和BMO空間相類似但不一樣的空間，譬如，D.C.Chang等人對非光滑區域的研究[1-3]；J.Dziubanski等人對于Schr?dinger算子的研究[4-5]；隨后，P.Auscher、X.Duong、A.McIntosh和L.X.Yan等人利用泛函演算的方法，也建立了與微分算子相聯系的Hardy空間[6]；文獻中[6]，D.G.Deng等人給出了一般算子的乘積Hardy空間的分子分解和Littlewood-Paley刻畫.為了得到原子分解，在文獻[7]中，L. Song等人考慮特殊的Schr?dinger算子，并給出了乘積H1L（Rn×Rn）的原子分解和多種等價刻畫.該文章是在文獻[7]的基礎上，考慮n/（n+1）＜p≤1的情形，研究與Schr?dinger算子相聯系的乘積空間，給出它的原子分解刻畫、Littlewood-Paley的Poisson核面積函數刻畫和高斯核的面積函數刻畫.

1　定理的提出

1.1基本記號

假設V是Rn上的非負函數.與位勢V對應的Schr?dinger算子定義為：

其中，Δ是拉普拉斯算子．

1.2三種乘積Hardy空間的定義

1.2.2高斯核對應的乘積Hardy空間定義

對任意給定的函數f（x）∈L2（Rn×Rn），與算子相關的高斯核面積函數定義為：

而與高斯核對應的乘積Hardy空間如下：

定義1假設n/（n+1）＜p≤1，由函數SL（f）刻畫的乘積Hardy空間HPL,SL（Rn×Rn）為下面集合的完備化：

它的模定義為

1.2.3Poisson核對應的乘積Hardy空間定義

對任意給定的函數f（x）∈L2（Rn×Rn），與算子相關的Poisson核面積函數定義為：

而與Poisson核對應的乘積Hardy空間如下：

定義2假設n/（n+1）＜p≤1，由函數SP（f）刻畫的乘積Hardy空間HPL,SP（Rn×Rn）為下面集合的完備化：

它的模定義為

1.2.4原子乘積Hardy空間定義

對于n/（n+1）＜p≤1，L原子如下：

函數a（x，t）稱為L原子，如果存在有限測度開集Ω?Rn×Rn滿足下面的性質：

有了L原子，我們便可以定義原子Hardy空間HPL,at（Rn×Rn）如下：

定義3假設n/（n+1）＜p≤1，由L原子刻畫的乘積Hardy空間HPL,at（Rn×Rn）為下面集合的完備化：

它的模定義為

1.3主要結論

有了上面乘積Hardy空間的三種不同定義，下面我們將證明這些空間的等價性，這就是本文的主要結論，具體如下：

定理1設L是Schr?dinger算子，則對任意n/（n+1）＜p≤1，（Rn×Rn）等價，并且模

定理2設L是Schr?dinger算子，則對任意n/（n+1）＜p≤1，（Rn×Rn）等價，并且模

2　預備知識

2.1帳篷空間

其中Γ（x）=Γ（x1）×Γ（x2）.如果（x，t），那么我們用Rx，t記為以x∈Rn×Rn為中心，以t1，t2位邊長的矩形.對任意有限測度開集Ω?Rn×Rn，我們定義它的帳篷為：

那么帳篷空間TP2定義為滿足條件A（f）∈LP（R2n）（0＜p＜∞）的所有函數f∈L2（R2n）構成的集合，它的模定義為

[7]的原子定義，我們引入原子，n/（n+1）＜p≤1，它的定義如下：

定義了TP2原子，下面我們就給出帳篷空間中的一個重要命題.

證明對任意正整數k，我們設

以及

對每一個二進長方體R=I×J，存在唯一地k，滿足R∈Bk.我們記

其中Ms是強極大算子.

其中c0是待定常數，且于是，函數f就有下面的分解

并且

下面我們就根據定義來證明Ak是原子.因為對每一個二進長方體R∈Bk，都有一個極大二進長方體，滿足則對每一個，我們設

于是就有

經驗證，就可以證明Ak是原子.

2.2薛定諤算子的一些性質

引理1[7]假設L是薛定諤算子，是算子半群的核，那么對任意k∈N，存在常數Ck，ck，使得對所有的x，y∈Rn以及t≥0，ht（x，y）的各階偏導數滿足下面估計

引理2[8]假設φ∈C∞0（R）為偶函數，并且滿足我們令φ（x）=2φ（2x）-φ（x），φt（x）=（1/t）φ（x/t），其中t＞0.令Φ和Φt分別是φ和φt的傅里葉變換.那么對任意的k=0，1，2，…，以及任意的t＞0，算子（的核滿足

引理3[7]設Ψ（x）=x2Φ（x）如上所述，則算子

2.3乘積空間上的相關結論

定義強極大函數如下：

眾所周知，強極大算子Ms是Lp（R2n）有界的，1＜p＜∞.

對任意的有限測度開集Ω?Rn×Rn，我們令

引理4假設Ω?Rn×Rn為有限測度開集，那么對任意的R=I×J∈m2（Ω），我們令類似地可以定義γ2.于是對任意的δ＞0，都存在僅僅與δ有關的常數cδ，滿足

.引理5假設算子T是L2（R2n）上的有界線性算子，并且對任意的L原子a（x），都有，那么算子T可以延拓為從上的有界線性算子.

3　定理1的證明

設Φ如引理2所述，Ψ（x）=x2Φ（x），c是一個常數且滿足.根據文獻[11]中的L2泛函演算的結論，我們有

由引理3知，積分在LP（R2n）中收斂.根據命題1，函數F有原子分解：并且其中Ak是與有限測度開集Ω有關的原子.顯然，級數在和中收斂，于是我們就有

因為

由引理2可得，對i，j=0，1，我們有

以及

同時，我們應用對偶推理就可以得到

選取常數c0足夠大即可.應用類似的方法，我們同樣可得到

根據H?lder's不等式以及算子SL的有界性LP（R2n），我們有

由于

我們先估計第一項D.由于

對于D1.根據H?lder's不等式，我們有

其中，

為了估計D11，D12，對于k=0，1，2，…，我們考慮下面算子

于是，我們有

設xI為方體I的中心.由于x1?100l我們用H?lder's不等式，可以得到

對于D12，我們應用L原子的定義可以得到

對x1?100l，t1＞l（I），設I=I1∩I2，其中.對任意z1∈I1與我們有

結合D11，D12的估計以及引理4，應用H?lder's不等式，我們就可以證明D1≤C.

接下來我們證明D2≤C，要驗證它成立，我們只需要驗證下面斷言成立：

由于

用估計D11的方法，我們先來估計D21.

同樣地，用估計D12的方法，我們可以得到D22，D23的估計，在這就不再詳細敘述了.下面我們來估計D24.

結合D21，D22，D22，D24的估計，我們就驗證了上面斷言成立.于是應用H?lder's不等式以及Journe's引理4，我們就可以證明D2≤C.

類似地，我們可以得到

利用Journe's引理4，我們就可以證明E≤C.

4　定理2的證明

注意到，在定理1的HPL,at（Rn×Rn）?HPL,SL（Rn×Rn）的證明過程中，我們應用了平方函數SL的L2（R2n）有界性和對任意k=0，1，2，…，算子Ψkt（L）的核ψkt（L）所滿足的不等式：

引理6對任意的k＝0，1，2，…，存在常數Ck使得對任意x，y∈Rn，t＞0，算子的核ht，k（x，y）滿足下面不等式：

這就證明了引理6.根據引理6以及定理1中HPL,at（Rn×R2）?HPL,SL（Rn×R2）類似的證明方法，就可以得到定理2，在這里我們就不再詳細寫出了.

參考文獻

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Equivalence of the Atomic Characterization and the Littlewood-Paley Characterization of Hardy Spaces HPAssociated to Schr?dinger Operators on Product Spaces

RAO Li,TAN Chaoqiang

（College of Science,Shantou University,Shantou 515063,Guangdong,China）

The atomic decomposition and the area function characterization of the Poisson kernel and the Gaussian kernel ofthe（n/（n+1）＜p≤1）associated to Schr?dinger operator were shown.

Schr?dinger；tent space；atomdecomposition；Gaussian kernel；Poisson kernel；Hardy space

文獻標志碼A

1001-4217（2016）01-0013-11

2015-5-17

饒麗（1989—），女（漢），河南省正陽縣人，在讀碩士研究生.研究方向：調和分析. E-mail:13lrao@stu.edu.cn