拋物勢量子點中強耦合雙極化子量子比特的性質

額爾敦朝魯,韓 超,張 穎

（河北科技師范學院物理系，河北秦皇島 066004）

拋物勢量子點中強耦合雙極化子量子比特的性質

額爾敦朝魯*,韓 超,張 穎

（河北科技師范學院物理系，河北秦皇島 066004）

基于LLP幺正變換，采用Pekar型變分法得到了二維量子點中強耦合雙極化子的基態和第一激發態的能量和波函數，進而構造了一個雙極化子的量子比特。數值結果表明:在量子比特內，兩電子的空間幾率密度的時間振蕩周期T0隨電聲子耦合強度α、量子點的受限強度ω0以及介質的介電常數比η的增加而減小;在量子比特內，兩電子的空間幾率密度Q隨時間t、角坐標φ2及介電常數比η的變化而作周期性振蕩;兩電子在量子點中心附近區域出現的幾率較大，而在遠離量子點中心區域出現的幾率很小。

量子點;雙極化子;量子比特;Lee-Low-Pines-Pekar變分法

1　引 言

量子計算機（Quantum comPuter，QC）是目前信息科學的研究熱點之一，它在很多方面都可以突破現有經典信息通信的極限，將給信息科學與通信技術帶來深刻的革命，為計算機科學與技術的可持續發展開辟了嶄新的空間。量子計算機是遵循量子力學規律進行高速數學和邏輯運算、存儲及處理量子信息的物理裝置，其基本信息單位是量子比特（Qubit）。量子比特是兩個任意正交量子態的疊加態許多兩態量子系統均可作為qubit的載體，如二能級原子、光子的兩個偏振態、電子的兩個自旋態等。近年來，人們提出了多種實現量子比特的方案，如離子阱[1]、核與電子自旋[2-3]、量子點[4]等。量子點具有能級結構可調、可以實現全光操作、便于實現量子比特的集成等優點，有可能作為量子光學技術的基本單元，因此，許多學者[5-8]對量子點量子比特進行了研究，獲得了一系列重要結果。最近，人們對量子點中電子與聲子相互作用對量子比特的影響進行了研究。Yu等[9]研究了單電子量子點量子比特的消相干，Xiao[10]研究了非對稱量子點量子比特的電場效應，Chen等[11]討論了電場中拋物量子點量子比特的溫度依賴性，Sun等[12]研究了磁場對拋物量子點量子比特的消相干時間的影響。然而，不難看出，這些研究僅限于討論由單極化子的基態和第一激發態構造的量子比特。據我們所知，關于量子點中雙極化子量子比特的研究工作至今尚無報道。事實上，由于大多數人工低維結構是離子晶體或極性半導體材料制備的，而且因維度的降低，使得量子點結構中電子-聲子相互作用變得更強（電聲子耦合強度α＞6.0），致使兩個相同的電子通過聲子場相互作用，將形成雙極化子的束縛態[13-15]。毫無疑問，對這類材料的量子點結構而言，抑制雙極化子的產生既無可能也無必要。隨著人工材料制備高新技術的發展，研究其中形成的雙極化子量子比特要比單研究極化子量子比特更有實際意義和潛在的應用價值。本文基于Lee-Low-Pines（LLP）幺正變換，采用Pekar型變分法，首次研究了二維量子點中強耦合雙極化子的基態和第一激發態構造的量子比特的性質。

2　理論模型與方法

考慮被約束在一個二維（x-y平面）拋物勢量子點中并與體縱光學（Longitudinal oPtical，LO）聲子相互作用的兩電子體系，體系的Fr?lich哈密頓量[15]為上式右邊求和號中的4項依次表示單電子的動能、量子點的限定勢、局域LO聲子場的能量及電子-LO聲子耦合項，最后一項表示兩電子間庫倫相互作用能。pj和ρj（j＝1，2）分別是兩電子在x-y平面上的動量和坐標，ω0為電子所受量子點的約束勢強度，和ɑkj分別是波矢為kj、頻率為ωLO的LO聲子的產生和湮滅算符，相互作用系數為

這里V是晶體的體積，α是無量綱的電子-聲子耦合強度:

其中，ε∞（ε0）為電子所處介質的高頻（靜態）介電常數，rP為極化子的半徑。

為了求體系的能量，我們討論變分函數U-1HU 在態中的期待值的極值問題。按照變分原理

是LLP幺正變換[16]，其中，fkj和f*kj為變分參數。假設對于體系的基態和第一激發態，高斯函數近似成立，則依據Pekar類型的變分法[17]，體系的基態嘗試波函數和第一激發態嘗試波函數分別選為

其中，λ0和λ1為變分參數，Ψ0（ρj）和Ψ1（ρj）分別表示單電子基態和第一激發態試探波函數，是聲子的真空態。將式（1）～（3）和式（5）～（7）代入式（4）中，可確定變分參數fk、、λ1和λ2。再經過冗長的計算，得到雙極化子體系的基態能量和第一激發態能量分別為

式中η＝ε∞/ε0稱為介質的介電常數比。至此，可以構造一個二能級體系，當電子處于疊加態

時，即構成一個量子點雙極化子量子比特，量子比特內兩電子的幾率密度為

它隨時間t做振蕩的周期T0為

3　結果與討論

為了直觀地揭示準二維量子點中雙極化子的基態能量E0、第一激發態能量E1、量子比特內電子的幾率密度Q及其隨時間變化的周期T0隨量子點的受限強度ω0、介電常數比η、電子-聲子耦合強度α的變化規律，我們給出了數值計算結果，如圖1～7所示。圖中各量采用極化子單位（2mb＝?＝ωLO＝1）。

圖1　雙極化子的基態能量E0和第一激發態能量E1在不同電聲耦合強度α下隨受限強度ω0（a）及介電常數比η（b）的變化Fig.1　Variations of ground state energY E0and the first excited state energY E1of biPolaron with the confinement strength ω0（a）and the dielectric constant ratio η（b）at different electron-Phonon couPling strength α

圖1描寫了雙極化子基態能量E0和第一激發態能量E1在不同電聲子耦合強度α下隨量子點的受限強度ω0（a）和介質的介電常數比η（b）的變化。由圖1（a）、（b）可以看出，雙極化子的基態能級E0＜0，而且基態能級掉得很低。這表明基態雙極化子將處于較為穩定的束縛態，激發它需很大能量。因此，雙極化子的第一激發態應該是由一個電子留在單粒子基態，而另一個電子被激發至單粒子第一激發態所形成。這就是本文選取式（6）為雙極化子基態試探波函數及式（7）為第一激發態試探波函數的依據之一。由圖1（a）可以看出，基態能量的絕對值隨ω0的增加而減小，而第一激發態能量E1隨ω0增加而增大;在ω0給定時，和E1都隨α增加而增大。由圖1（b）可以看出，和E1均隨η的增加增大。物理原因分析如下:由于雙極化子的能量當中的電聲子相互作用能總是小于0[18]，所以由電子-聲子耦合引起的兩極化子間的相互作用是吸引力。在基態下，電聲子相互作用能的絕對值大于激發態下電聲子相互作用能的絕對值，這是因為體系處于基態時聲子被激發的幾率比激發態更大，致使基態雙極化子周圍聲子平均數多于激發態雙極化子周圍聲子平均數，導致基態雙極化子的電聲子相互作用要比激發態更強，以至于電聲子相互作用能在基態能量中占主導地位，而在激發態中卻不是。在激發態中，庫侖勢和量子點的約束勢的能量變得更加重要，且它們的取值都是正定的，這可以說明圖1中為什么雙極化子的基態能量總是負的，而激發態能量不是，且兩者隨α、η和ω0的變化規律也不盡相同的物理原因。

圖2表示了振蕩周期T0在不同電聲耦合強度α下隨受限強度ω0（a）和介電常數比η（b）的變化。由圖2（a）可以看出，T0隨ω0的增加而減小。這是由E0、E1的正負號及其隨ω0的變化規律不同導致的。由圖1（a）可以看出，隨著ω0的增加，E1隨ω0的增大而增加，而基態能量是負的，其絕對值隨受限強度ω0的增大而減小，且減小的幅度比E1隨ω0的增大的幅度小，這使得能級差ΔE＝E1-E0隨ω0的增加而增大，導致T0隨ω0的增加而減小。當ω0給定時，T0隨α的增加而減小。由圖1（a）、（b）可以看出，隨著α的增大，不僅隨之增加，而且E1也隨之增加。這是因為對雙極化子的激發態而言，盡管電聲子相互作用不再占主導，但它也通過影響庫侖能（2α/（1-η））來抬高激發態的能量，使得能級差ΔE＝E1-E0隨α的增加而增大，導致T0隨α的增加而減小。由圖1（b）可以看出，T0隨η的增加而減小。這是因為隨著η的增加，不僅E1增大，基態能量的絕對值也增大。當介電常數比η增大時，盡管兩電子間庫倫排斥力增加，但同時因兩電子間空間電場強度的增大，勢必引起兩電子間介質的極化加強，以此進一步推高占據主導地位的電聲子相互作用能，使得能級差ΔE＝E1-E0隨η的增加而增大，導致T0隨η的增加而減小。

圖2　振蕩周期T0在不同電聲耦合強度α下隨受限強度ω0（a）及介電常數比η（b）的變化Fig.2　Variations of oscillation Period T0with the confinement strength ω0（a）and the dielectric constant ratio η（b）at different electron-Phonon couPling strength α

圖3（ɑ）描寫了幾率密度Q在介電常數比η＝0.2、電聲子耦合強度α＝7.0、電子坐標ρ1＝ρ2＝2.0和φ2＝π、時間t＝0.5 Ps時隨量子點受限強度ω0的變化;圖3（b）描寫了幾率密度Q在受限強度ω0、耦合強度α＝7.0、電子坐標ρ1＝ρ2＝2.0和φ2＝π、時間t＝0.5 Ps時隨介電常數比η的變化。由圖3（a）可見，Q隨ω0的增加而先減小至一最小值，然后迅速增大。由圖3（b）可見，Q隨η的增大而振蕩上升。

圖3　幾率密度Q隨受限強度ω0（a）和介電常數比η（b）的變化Fig.3　Variations of the ProbabilitY densitY Q with the confinement strength ω0（a）and the dielectric constant ratio η（b）

圖4描寫了幾率密度Q在給定參數η＝0.2、α＝7.0、ω0＝5.0、ρ1＝ρ2＝2.0、t＝0.5T0時隨極角φ2的變化。由圖4可以看出，Q隨φ2的增加而以2π的6.28倍為周期作等幅振蕩變化。

圖4　幾率密度Q隨極角φ2的變化Fig.4　Variations of the ProbabilitY densitY Q with Polar angle φ2

圖5描寫了幾率密度Q在給定參數η＝0.2、α＝7.0、ω0＝5.0、ρ1＝ρ2＝2.0、φ2＝π時隨時間t的變化。由圖5可以看出，Q隨t的增加而以T0為周期作調幅振蕩變化。

圖5　幾率密度Q隨時間t的變化Fig.5　Variations of the ProbabilitY densitY Q with time t

綜上所述，量子比特內兩電子的空間幾率密度Q隨時間t、角坐標φ及介質的介電常數比η作周期性振蕩變化，從物理上講這是雙極化子疊加態的波動性的表現。具體來說，雙極化子的幾率波的相位變化取決于時間t、角坐標φ及介質的介電常數比η。

圖6（a）描寫了幾率密度Q在給定參數η＝0.2、α＝7.0、ρ1＝2.0、φ2＝π、t＝0.5T0及不同受限強度ω0下隨電子坐標ρ2的變化;圖6（b）描寫了幾率密度Q在給定參數η＝0.2、ω0＝5.0、ρ1＝2.0、φ2＝π、t＝0.5T0和不同電聲耦合強度α下隨電子坐標ρ2的變化。由圖6（a）可以看出，當ρ2較小（一般ρ2＜3.0）時，Q隨ρ2的增大而先顯著減小至一最小值，然后以小幅緩慢增大至一極大值，最后以小幅緩慢減小至0;同時，ω0對Q隨ρ2的變化有一定影響，即不同ω0對應的各Q-ρ2曲線隨ω0的增加而整體向左上移。由圖6（b）可以看出，Q在不同α下隨ρ2的變化規律與圖6（a）描寫的在不同ω0下Q隨ρ2的變化規律相似。綜合圖6（a）和（b）可以得出這樣的結論:電子2在靠近量子點的中心（ρ2＜3.0）區域出現的幾率較大，而在遠離量子點中心區域出現的幾率很小。

圖6　幾率密度Q在不同受限強度ω0（a）和不同電聲耦合強度α（b）下隨坐標ρ2的變化Fig.6　Variations of the ProbabilitY densitY Q with coordinate ρ2at the confinement strength ω0（a）and different electron-Phonon couPling strength α（b）

圖7（a）描寫了幾率密度Q在給定參數η＝0.2、α＝7.0、ρ1＝2.0、φ2＝π、t＝0.5T0及不同受限強度ω0下隨坐標ρ1的變化;圖7（b）描寫了幾率密度Q在給定參數η＝0.2、ω0＝5.0、ρ2＝2.0、

φ2＝π、t＝0.5T0和不同電聲耦合強度α下隨坐標ρ1的變化。由圖7（a）可以看出，Q隨ρ1的增加而顯著減小并趨向0;ω0對Q隨ρ1的變化有一定影響，即不同ω0對應的各Q-ρ1曲線隨ω0的增加而上移。由圖7（b）可以看出，α對Q隨ρ1的變化也有一定影響，即不同α對應的各Q-ρ1曲線隨α的增加而整體上移。綜合圖7（a）和（b）可以看出，電子1在量子點中心附近區域出現的幾率較大，但范圍比電子2要大一些（ρ1＜5.0），而在遠離量子點中心區域出現的幾率很小。可以這樣理解上述圖6和圖7表示的電子在量子點中心附近區域出現的幾率較大的現象，是由于量子點的簡諧限定勢在中心小、電子在中心時系統能量低所致。

圖7　幾率密度Q在不同受限強度ω0（a）和不同電聲耦合強度α（b）下隨坐標ρ1的變化Fig.7　Variations of the ProbabilitY densitY Q with coordinate ρ1at the confinement strength ω0（a）and different electron-Phonon couPling strength α（b）

4　結 論

討論了被約束在二維拋物勢量子點中并與LO聲子強耦合（電聲子耦合強度α＞6.0）的兩電子體系。基于LLP幺正變換，采用Pekar型變分法得到了強耦合雙極化子的基態、第一激發態能量及波函數，進而構造了一個量子點雙極化子的量子比特。數值結果表明:在量子比特內，兩電子的幾率密度的時間振蕩周期T0隨電聲子耦合強度α、量子點受限強度ω0以及介質的介電常數比η的增加而減小;在量子比特內，兩電子的空間幾率密度Q隨時間t、角坐標φ2及介質的介電常數比η的變化作周期性振蕩;電子在量子點中心附近區域出現的幾率較大，而在遠離量子點中心區域出現的幾率極小。

下一步的工作將在本文研究基礎上，進一步探究調控量子點中雙極化子二能級體系的物理方法，以該量子比特為載體，構造物理上可操控的量子信息處理和量子計算方案。

[1]CIRAC J I，ZOLLER P.Quantum comPutations with cold traPPed ions[J].Phys.Reυ.Lett.，1995，74（20）：4091-4094.

[2]GERSHENFELD N A，CHUANG I L.Bulk sPin-resonance quantum comPutation[J].Science，1997，275（5298）：350-356.

[3]KANE B E.A silicon-based nuclear sPin quantum comPuter[J].Nɑture，1998，393（6681）：133-137.

[4]LOSS D，DIVINCENZO D P.Quantum comPutation with quantum dots[J].Phys.Reυ.A，1998，57（1）：120-126.

[5]KYRIAKIDIS J，PENNEY S J.Coherent rotations of a single sPin-based qubit in a single quantum dot at fixed Zeeman energY[J].Phys.Reυ.B，2005，71（12）：125332-1-5.

[6]FURUTA S，BARNES C H W，DORAN C J L.Single-qubit gates and measurements in the surface acoustic wave quantum comPuter[J].Phys.Reυ.B，2004，70（20）：205320-1-12.

[7]LI S S，LONG G L，BAI F S，et ɑl..Quantum comPuting[J].Proc.Nɑt.Acɑd.Sci.USA，2001，98（21）：11847-11848.

[8]LI S S，XIA J B，LIU J L，et ɑl..InAs/GaAs single-electron quantum dot qubit[J].J.Appl.Phys.，2001，90（12）：6151-6155.

[9]YU Y F，LI W P，YIN J W，et ɑl..The decoherence of single electron quantum dot qubit[J].Int.J.Theor.Phys.，2011，50（11）：3322-3328.

[10]XIAO J L.The effect of electric field on an asYmmetric quantum dot qubit[J].Quɑnt.Inf.Proc.，2013，12（12）：3707-3716.

[11]CHEN Y J，XIAO J L.The temperature effects on the Parabolic quantum dot qubit in the electric field[J].J.Low Temp. Phys.，2013，170（1-2）：60-67.

[12]SUN Y，DING Z H，XIAO J L.Effects of magnetic field on the coherence time of a Parabolic quantum dot qubit[J].J. Low Temp.Phys.，2014，177（3-4）：151-156.

[13]EERDUNCHAOLU，XIN W.temperature dePendence of the ProPerties of strong-couPling biPolaron in a quantum dot [J].Phys.B，2011，406（3）：358-362.

[14]XIAO J L.ProPerties of a strong couPling biPolaron in an asYmmetric quantum dot[J].J.Low Temp.Phys.，2014，174（5-6）：284-291.

[15]ZHAO Y W，HAN C，XIN W，et ɑl..SPin Polarization ground state of quasi-2D magneto-biPolarons in the strong-cou-Pling limit[J].Superlɑttices Microstruct.，2014，74：198-205.

[16]LEE T D，LOW F E，PINES D.The motion of slow electrons in a Polar crYstal[J].Phys.Reυ.，1953，90（2）：297-302.

[17]YILDIRIM T，ERCELEBI A.The grounds-state descriPtion of the oPtical Polaron υersus the effective dimensionalitY in quantum-well-tYPe sYstems[J].J.Phys.Condens.Mɑtter，1991，3（10）：1271-1277.

[18]額爾敦朝魯，白旭芳，韓超.拋物量子點中強耦合磁雙極化子內部激發態性質[J].物理學報，2014，63（2）: 027501-1-8.

EERDUNCHAOLU，BAI X F，HAN C.ProPerties of the internal excited state of the strong-couPling magneto-biPolaron in a Parabolic quantum dot[J].Actɑ Phys.Sinicɑ，2014，63（2）:027501-1-8.（in Chinese）

額爾敦朝魯（1960-），男，內蒙古奈曼旗人，教授，碩士生導師，1982年于內蒙古民族大學獲得學士學位，主要從事凝聚態光學性質方面的研究。

E-mail:eerdunchaolu@163.com

Properties of Strong-coupling Bipolaron Qubit in Parabolic Potential Quantum Dot

Eerdunchaolu*，HAN Chao，ZHANG Ying
（Depɑrtment of Physics，Hebei Normɑl Uniυersity of Science＆Technology，Qinhuɑngdɑo 066004，Chinɑ）*Corresponding Author，E-mɑil:eerdunchɑolu@163.com

On the basis of Lee-Low-Pines（LLP）unitarY transformation，the eigenenergY and eigenfunction of the ground-state and the first excited state of the strong-couPling biPolaron in two-dimensional quantum dot（QD）were obtained by using the variational method of Pekar tYPe.A qubit was formed by overlaYing both the ground state and the first excited state of the biPolaron sYstem.Numerical calculations indicate that the oscillating Period T0of qubits decreases with the increasing the electron-Phonon couPling strength α，the confinement strength ω0of the quantum dot，and the dielectric constant ratio η;the distribution of the ProbabilitY densitY Q of the electrons in quantum dot oscillates PeriodicallY with time t，angle coordinate φ2，and the dielectric constant ratio η，and there is a maximum at near the center and zero awaY from the center of quantum dot.

quantum dot;biPolaron;qubit;Lee-Low-Pines-Pekar variational method

O469

A DOI:10.3788/fgxb20163702.0144

1000-7032（2016）02-0144-07

2015-10-19;

2015-11-09

河北省自然科學基金（E2013407119）;河北省高等學校科學技術研究項目（ZD20131008，Z2015248，Z2015219）資助