關注解題反思，助推學生思維能力的提升

繆海峰

[摘 要] 解題教學是高中數學課程教學的重要組成部分，學生解題能力的提升是教師和學生都十分關注的焦點，本文從高中數學解題的反思角度進行思考與分析，重點探討反思的途徑與策略，以期提升學生創新思維能力，進而提升高中數學課堂教學效率.

[關鍵詞] 解題反思；思維能力；提升

在高中數學解題教學中，教師需要注重解題反思教學，不僅讓學生對解題過程進行簡單回顧，而且要引導學生對解題過程的重新認識與深層次思考，梳理解題過程中應用的數學知識、解題方法和解題思路等，從而加深學生對教學知識點的理解與掌握，促進學生數學思維的發展，提升學生的思維能力，讓學生在解題中做到游刃有余.

反思解題知識，構建完整的知識網絡

數學知識是解題的基礎，而發現知識點之間的聯系是找到解題思路，正確解題的關鍵. 因此，高中數學教師需要引導學生反思數學知識的“交匯點”，依據概括知識點、發現知識“交匯點”和知識“交匯點”應用的順序，幫助學生構建完整的知識網絡.

例1 已知二次函數f（x）=ax2+bx+c圖象和直線y=25有交點，并且不等式f（x）>0的解為-

解析：由不等式f（x）>0的解為-

反思：從題目中可知，一元二次函數、一元二次方程與一元二次不等式構成“知識鏈”，二次函數和直線y=25交點即為方程解的橫坐標，而不等式用來確定函數在定義域內正負區間. 如果從函數思想出發分析方程和不等式，則解方程f（x）=0即為求函數f（x）零點，解不等式f（x）>0或者f（x）<0即為求函數f（x）在定義域內的正負區間. 學生只有掌握每一個數學知識點，尋找不同知識點之間的聯系，并對解題所用知識點進行反思，才能加深對知識點理解與掌握的深度和廣度，幫助學生構建完整的知識結構，提升學生的思維能力.

反思題意理解，增強學生思維的縝密性

很多學生在解題時沒有準確理解題意，在對題目信息進行解構時不自覺地加上自己的主觀臆斷，從而使解題過程出現偏差. 因此，在解題教學中，教師需要引導學生反思題意理解，注重思維的全面性與縝密性，從題目獲取信息時做到不增不減.

例2 設集合A={xx2+（b+2）x+b+1=0，b∈R}，試求A中所有元素的和.

錯解：已知x2+（b+2）x+b+1=0，由韋達定理，可得x1+x2=-b-2，則A中所有元素和為-b-2.

題目錯解主要體現在：①直接認為方程有兩根；②將集合A中所有元素的和等同于一元二次方程根的和；③沒有討論參數b的取值情況. 學生出現錯解的原因是在理解題意時出現偏差，不但片面地認為一元二次方程有根，而且將兩根之和認為是“兩不相等根”，從而在解題中出現錯誤.

正解：由x2+（b+2）x+b+1=0可得Δ=（b+2）2-4（b+1）=b2≥0，則方程有兩根；當b=0時，A={-1}，集合A中所有元素的和為-1，當b≠0時，A={-1，-b-1}，集合A中所有元素的和為-b-2.

反思：①已知條件中，集合A表示方程x2+（b+2）x+b+1=0的根，并且方程中含有參數b；在實數范圍內，一元二次方程根的情況需要通過判別式進行判斷：Δ>0方程有兩不等根；Δ=0方程有兩等根；Δ<0方程無根.錯解中由韋達定理得出x1+x2=-b-2，實際上是片面認為一元二次方程的Δ>0，出現了理解偏差. ②題目求集合A中所有元素的和，其與求一元二次方程兩根之和并不能完全等同，如果一元二次方程有兩等根，則依據集合元素的互異性，集合A中所有元素的和只等于方程一根數值.如題目中，當b=0時，一元二次方程有兩等根x1=x2=-1，集合A={-1}，集合A中所有元素的和為-1；而不是集合A={-1，-1}，集合A中所有元素的和為-2.

反思解題策略，拓寬學生的解題思路

在解題過程中，當學生審題結束后，需要依據對題目已知條件的理解，選擇合適的解題策略. 如果解題策略出現錯誤，解題過程也會隨著出錯，自然無法得到正確答案. 因此，教師需要引導學生反思解題策略，拓寬學生的解題思路.

例3 已知x≥0，y≥0，且x+y=1，求x2+y2的取值范圍.

解法一：由x+y=1，可得y=1-x，則x2+y2=x2+（1-x）2=2x-+. 又因為x∈[0，1]，依據二次函數圖象及性質可知：當x=時，x2+y2取最小值；當x=0或1時，x2+y2取最大值1，則取值范圍為，1.

解法二：根據題意可設：x=sin2θ，y=cos2θ，θ∈[0，2π]，

則x2+y2=sin4θ+cos4θ=（sin2θ+cos2θ）2-2sin2θcos2θ=1-sin22θ，當sin2θ=1或-1時，取最小值；當sin2θ=0時，取最大值1. 取值范圍為，1.

解法三：設d=x2+y2，則d為動點C（x，y）到原點（0，0）距離平方，C為線段AB上的一點；根據題意可知A（0，1），B（1，0），只須求出線段AB上的點到原點的最大與最小距離.當點C與A或B重合時，dmax=1，則x2+y2取最大值1；當OC⊥AB時，dmin=，則x2+y2取最小值.取值范圍為，1.

反思：在解法一中，學生運用常規解題策略，通過二次函數求解最值，其解題過程較為復雜煩瑣；在解法二中，學生利用三角函數，通過公式變換求解最值，已經將解題過程加以簡化；在解法三中，學生利用數形結合思想，將函數問題轉化為幾何問題，解題過程更加簡單，但是思維跳躍性較大. 教師在解題教學中，需要幫助學生樹立正確的解題觀念，不能只注重解題過程和答案的正確性，而是需要對解題策略進行反思，尋找更簡單快捷的解題策略，這樣可以有效拓寬解題思路，使學生在解題時做到舉一反三，提高解題的準確率.

總而言之，在高中數學教學中，教師需要引導學生關注解題反思，在解題結束后，重新梳理解題所用知識點，以及題意理解的過程和解題策略，幫助學生構建完整的知識體系，在提升學生思維能力的基礎上，提高高中數學教學的質量與效率，實現教學相長的目的.