淺析函數與方程思想及其實際運用

王文文

[摘 要] 函數是高中數學的基本脈絡，函數與方程思想是函數與方程知識與方法的升華，可以與高中數學中的多個知識章節結合，作為其解題的指導思想. 在目前的高考和調研考試中同函數與方程思想相結合比較熱點的問題有不等式問題、數列問題和解析幾何中直線與曲線位置關系的問題等.

[關鍵詞] 函數；方程思想；運用

數學思想與數學方法相伴而生，具有伴生性；它藏匿于各個數學問題中，具有內隱性；相對于顯性的數學知識點，數學思想具有一定深度和難度. 數學思想的伴生性和內隱性決定了數學思想不能以直接的方式而只能以滲透的方式來傳遞給學生. 數學思想的深度和難度以及學生現階段具有的知識水平，決定了中學階段并不能窮盡數學思想，而只能接觸一些與現階段知識相契合的數學思想. 通常在高中階段遇到的數學思想有：函數與方程思想、轉化與化歸思想、數形結合和分類討論思想.這其中又以函數與方程思想運用得最多，因為高中數學是以函數為基本脈絡的. 文章嘗試從函數與方程思想在不同知識層面的運用來淺析函數與方程思想.

函數與方程思想的理論分析

所謂函數與方程思想其實包含著兩類思想，即函數思想和方程思想，這兩類思想之間存在著一定的相關性，它們之間可以相互轉化，例如對于函數y=f（x），通過移項可將其轉化成一個二元方程y-f（x）=0，若令y=0，則函數轉化成一個一元方程f（x）=0. 因此，在教學過程中通常將函數思想與方程思想并列說明.

具體說來，函數思想是指解題過程中，以函數為橋梁運用它的概念與性質來解讀、轉化和解決問題，其本質是運用和變化的觀點來看待問題，以變量（未知）和變量（未知）的關系為基礎，構建相關函數的模型，來分析和研究數學問題中的各個變量之間的關系，從而達到解決問題的功能. 方程思想是指解決問題中分析問題的各個數量之間的等量關系，以等量關系為前提，建立方程或方程組、不等式或不等式組，并利用方程（不等式）的性質和方程（不等式）的求解達到解決問題目的，其本質是運用和變化的觀點來看待問題，以定量（已知）和變量（未知）的關系為基礎，構建相關方程或不等式的模型，來分析和研究問題定量與變量之間的關系，以達到解決問題的目的.

作為高中知識脈絡的主線，函數幾乎可以出現在任意知識章節中，結合常見考題可以發現同函數與方程思想結合的問題類型通常有如下幾類：首先，不等式與函數的相互轉化，例如不等式ax2+bx+c>0中的多項式可看成函數y=ax2+bx+c，而函數y=f（x）可令y>0，則函數又可轉化成為不等式，函數與不等式之間可轉化的特性，決定了解決不等式問題時常可借助函數的手段來處理. 其次，數列的函數特性，數列的本質是一個離散型函數，其通項公式與前n項求和公式均可看成是以正整數為自變量的函數，因此用函數的觀點來處理數列問題是一種常見的手段. 第三，有關解三角形和三角函數求值的問題，解三角形中的正余弦定理帶有明顯的方程思想，而三角函數本身作為一種特殊的函數本身就具有函數的特點. 第四，解析幾何中也是方程思想運用得比較多的地方，比如在處理直線與曲線位置關系時，常將兩者的方程聯立轉化成一元二次方程來處理，再比如在解析幾何中求解幾何最值時，通常的處理方式是將待求的幾何量表示成某個變量的函數表達式，利用函數性質求解最值.

當然上述的理論分析僅僅是從知識的邏輯體系上來分析函數與方程思想，這只能是對函數與方程思想的抽象認識，要深刻理解函數與方程思想，需要更為具象的實例作為支撐.

函數與方程思想的實例運用

掃描近年來的高考題和各市調研試題可以大致將函數與方程思想運用的熱點問題歸結為如下幾類：其一，函數與方程思想在不等式中的運用；其二，函數與方程思想在數列中的運用；其三，函數與方程思想在解析幾何中的運用.

1. 函數與方程思想在不等式中的運用

（2015年新課標Ⅱ全國卷） 設f ′（x）是奇函數f（x）（x∈R）的導函數，f（-1）=0，當x>0時，xf ′（x）-f（x）<0，使得f（x）>0成立的x的取值范圍是多少？

解析：根據題設xf ′（x）-f（x）<0，可以構造函數h（x）=，所以當x>0時，h（x）=<0，可得h（x）=在（0，+∞）上單調遞減；h（-x）=，函數f（x）為奇函數，所以h（-x）==h（x），函數h（x）為偶函數，所以h（x）在（-∞，0）上單調遞增，f（-1）=0？圯h（-1）=h（1）=0. 由構造函數h（x）=可知，f（x）=x·h（x），所以f（x）>0？圳x·h（x）>0，也即h（x）與x同號. 所以當x>0時，h（x）>0，即0

反思：利用題設所給條件構造一個與已知函數相關的新函數，利用新函數的圖象和性質解決不等式問題，這是典型的函數思想. 在解決不等式問題時，有時直接令題設中的多項式為某一變量的函數，有時根據要求構造與已知表達式相關的函數，利用函數的性質和圖象解決問題，是一種常見的思路.

2. 函數與方程思想在數列中的運用

（2015年保定一模）設等差數列{an}滿足a1=1，an>0，其前n項和為Sn，若數列{}也為等差數列，則的最大值為多少？

解析：數列{an}為等差數列，所以Sn=n=n·，=.

又數列{}也為等差數列，因此，2=+？圯2=1+，所以d=2，可得an=2n-1，Sn=n2，因此==+，不妨令f（n）=+，將待求表達式看成關于自變量n的函數，函數f（n）在（0，+∞）上單調遞減，所以f（n）≤f（1）=11，因此的最大值為121.

反思：將待求數列的表達式看成是關于正整數n的函數，利用函數的單調性求解待求表達式的最值，是典型函數與方程思想. 數列在本質上可以看作定義域為正整數集或其子集的離散型函數，與數列基本量相關的表達式實質就是相應函數的解析式，因此，解決數列問題應當注意利用函數思想解決問題.

3. 函數與方程思想在解析幾何中的運用

（2014年福建） 設P，Q分別為圓x2+（y-6）2=2和橢圓+y2=1上的點，則P，Q兩點間的最大距離是多少？

解析：根據圓方程和橢圓方程可知圓與橢圓沒有公共點，所以可將橢圓上的點視為圓外的點，根據幾何意義可知圓外任意一點到圓的最大距離是此點與圓心的距離與半徑之和. 所以不妨設Q點坐標為（x，y），所以點Q與圓心的距離d1=. 又因為點Q在橢圓上，所以坐標滿足方程+y2=1，即x2=10-10y2，即d1=，化簡后可得d=，不妨令h（y）= -9y2-12y+46，y∈[-1，1]，所以當y=-時，h（y）取最大值50，即d1最大值為5，所以PQmax=6.

反思：將兩點之間的距離表示成一個關于y的多項式，利用y的取值范圍確定多項式的取值范圍，顯然這是典型的函數求值域的思想. 在解析幾何中，求解幾何最值是高考的高頻熱點，而處理這類問題的指導思想就是函數思想：將待求量表示成一個或幾個變量的表達式，利用函數求最值的方式來處理幾何最值.