正方體中的三個圓柱兩兩垂直

筆者探究了“斜切圓柱側(cè)面所得橢圓在圓柱側(cè)面展開后所得曲線的類型”，進而探究了“‘直角型、‘T型、‘十字型圓柱、牟合方蓋的展開圖、面積、體積問題” [1] .本文欲在此基礎(chǔ)上做更深入的研究.

中國數(shù)學家劉徽注《九章算術(shù)》時，發(fā)現(xiàn)其“開立圓術(shù)”中所給的球體積是錯誤的. 他創(chuàng)造了一個稱之為“牟合方蓋”的立體圖形，即在一個立方體內(nèi)作兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所得相交的部分.祖沖之和他的兒子祖暅繼承了劉徽的思路，即從計算“牟合方蓋”體積入手得到球的體積[2].本文在前人研究兩個圓柱垂直的相交部分是“牟合方蓋”的基礎(chǔ)上，進一步研究立方體的三個內(nèi)切圓柱兩兩垂直且相交時公共部分的形狀. 在CNKI的中國期刊全文數(shù)據(jù)庫及其學位論文數(shù)據(jù)庫中檢索，還沒有發(fā)現(xiàn)關(guān)于這方面的研究.

已知E，F(xiàn)，G，H，I，J分別是棱長為2r的正方體ABCD-A′B′C′D′的上、下、左、右、前、后面的中心，O是正方體的中心，M，K，N，L分別是棱AA′，BB′，CC′，DD′的中點.

1兩個圓柱互相垂直與牟合方蓋

如圖1，在正方體ABCD—A′B′C′D′中，作底面半徑為r的圓柱IJ和圓柱GH，則這兩個圓柱互相垂直且分別與正方體內(nèi)切. 這個兩個圓柱的相交部分是一個“牟合方蓋”（如圖2所示的立方體內(nèi)的空間圖形）.

其曲面EMFK和曲面ELFN都是圓柱GH側(cè)面上的部分，曲面EKFN和曲面ELFM都是圓柱IJ側(cè)面上的部分.

現(xiàn)將圖2中的“牟合方蓋”的表面展開在平面ABCD上，所得圖形如圖3所示，恰好是四條各自在一個周期上的正弦曲線所圍成的“四瓣花”.

2三個圓柱兩兩垂直的公共部分

如圖4所示，圓柱GH，IJ，EF兩兩垂直，且都與立方體相切，研究這三個圓柱體的公共部分形狀.

先研究圓柱IJ的側(cè)面被正方體對角面ACC′A′斜切后所得橢圓與正方體的體對角線A′C的交點P，Q所在的位置.

如圖5所示，在矩形ACC′A′所在的平面中，以O(shè)為原點，MN所在直線為x軸建立平面直角坐標系.

易知橢圓的長半軸長a=OM=2r，短半軸長b=OE=r，則橢圓的方程為x22r2+y2r2=1.①

設(shè)直線A′C的方程為y=kx，將點A′（-2r，r）的坐標代入該直線方程，可得k=-22，

則直線A′C的方程為y=-22x.②

將①②聯(lián)立可得P（-r，22r），Q（r，-22r），

這也說明點P，Q到圓柱EF的軸的距離都是r，則點P，Q恰在圓柱EF的側(cè)面上.

可求得A′P=CQ=3（1-22）r.

從而進一步可知，立方體內(nèi)的三個圓柱被立方體內(nèi)的各對角面斜切后得到的橢圓與正方體的體對角線的交點到相應(yīng)頂點的距離都是3（1-22）r.為此在AC′上取點R，S，在BD′上取點T，U，在DB′上取點V，W，使它們到相應(yīng)正方體頂點的距離都等于A′P=3（1-22）r，

易證這些點連接后可得到棱長為2的正方體PUSW-RVQT（如圖6所示）.

正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線對應(yīng)的平面將正方體分割成以O(shè)點為頂點，各面為底面的6個相同的正四棱錐.

易知，圖2中的“牟合方蓋”在正四棱錐O-A′B′C′D′中的面PWSU以上部分如圖7所示，設(shè)為空間幾何體X，它是由曲面EPW、曲面EWS、曲面EUS、曲面EUP以及正方形面PWSU所圍成的幾何體.

其中點E到面PWSU的距離為r-22r=（1-22）r.

將正方體PUSW-RVQT的其余5個面也蓋上相同的5個幾何體X，便得到三個圓柱兩兩垂直相交的公共部分（如圖8所示），在將圖8所示的幾何體放入到圖4所示的幾何體中可得到圖9.

我們來進一步認識圖8所示的幾何體（如圖10所示）：

1.它是棱長為2r的正方體扣上6個幾何體“小蓋”X，這些“小蓋的高”都是（1-22）r；

.“小蓋的頂點”E，I，F(xiàn)，J在同一個圓上，G，I，H，J在同一個圓上，E，G，F(xiàn)，H在同一個圓上，這些圓的半徑都是r. 點E，I，F(xiàn)，J，G，H都在半徑為r的同一個球面上.

3.曲面EPW和曲面IPW實際上是圖9的圓柱GH側(cè)面上的相鄰兩部分，可以合并成一個曲面EPIW.

其他各面情況同理.

4.該幾何體由12個曲面所圍成：

第一類：圖9的圓柱GH側(cè)面上的部分有曲面EPIW、曲面IRTF、曲面FVJQ、曲面EUSJ.

第二類：圖9的圓柱IJ側(cè)面上的部分有曲面EWHS、曲面HTFQ、曲面FRGV、曲面EPGU.

第三類：圖9的圓柱EF側(cè)面上的部分有曲面ITHW、曲面HSQJ、曲面JUVG、曲面GPRI.

.將圖9的圓柱GH側(cè)面上的部分、圓柱IJ側(cè)面上的部分以F為中心展開到ABCD所在的平面上（如圖11實線所圍成的部分），該圖由8個形如EUJS的曲邊四邊形構(gòu)成，其中曲線段EU，ES，JU，JS相同，都是正弦曲線水平點后18個周期的部分. 可將該圖與圖3對比可知，少了8個形如SJQNS的曲邊的面.

將圖9的圓柱EF側(cè)面上的部分以I為中心展開到ABB′A′所在的平面上（如圖12實線所圍成的部分），該圖由4個與圖11中的EUJS相同曲邊四邊形構(gòu)成.

可見，三個圓柱兩兩垂直的公共部分的幾何體的表面積是平面曲邊四邊形EUJS面積的12倍，可用積分法求出平面曲邊四邊形EUJS的面積，此處從略. 后續(xù)還可以研究此幾何體的體積.

參考文獻

[1]李春雷.從斜切圓柱到牟合方蓋的探究[J].數(shù)學通報，2016（4）：20-25.

[2]李文林.學一點數(shù)學史（續(xù)）——談?wù)勚袑W數(shù)學教師的數(shù)學史素養(yǎng)[J].數(shù)學通報，2011（5）：2-3.