函數(shù)f（x）=|ax—b|±|ax—c|的性質(zhì)及其應(yīng)用

武增明

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同學(xué)們對函數(shù)f（x）=|ax-b|±|ax-c|的最值及圖象的對稱軸、對稱點(diǎn)有些生疏，因此，筆者介紹此函數(shù)的最值和圖象的對稱軸、對稱點(diǎn)及其應(yīng)用，旨在能對同學(xué)們有所啟示和幫助，同時希望師生關(guān)注該函數(shù).

1 函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-b|（a≠b）的圖象與性質(zhì)

這類函數(shù)，只需討論a

f（x）=-2x+a+b，x

b-a，a≤x≤b，

2x-a-b，x>b.

圖1函數(shù)圖象如圖1所示.

f（x）min=b-a，f（x）max不存在， 函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a+b2軸對稱.因此，函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-b|（a≠b）有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-b|（a≠b）的最小值為|b-a|，沒有最大值，圖象關(guān)于直線x=a+b2對稱.

2 函數(shù)f（x）=|x-a|-|x-b|（a≠b）的圖象與性質(zhì)

當(dāng)a

f（x）=a-b，x≤a，

2x-a-b，a

b-a，x≥b.

函數(shù)圖象如圖2所示.

當(dāng)a>b時，可用分段函數(shù)表示為

f（x）=a-b，x≤b，

-2x+a+b，a

b-a，x≥a.

函數(shù)圖象如圖3所示.

f（x）min=-|a-b|，f（x）max=|a-b|，

函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（a+b2，0）中心對稱.

因此，函數(shù)f（x）=|x-a|-|x-b|（a≠b）

圖2圖3有如下性質(zhì)：

性質(zhì)2函數(shù)f（x）=|x-a|-|x-b|（a≠b）的最小值為-|a-b|，最大值為|a-b|，圖象關(guān)于點(diǎn)（a+b2，0）對稱.

3函數(shù)f（x）=|ax-b|+|ax-c|（a≠0，b≠c）的性質(zhì)

令ax=t，則f（x）=g（t）=|t-b|+|t-c|（b≠c）.

由性質(zhì)1，知函數(shù)g（t），即f（x）的最小值為|b-c|，沒有最大值.

函數(shù)g（t）的圖象關(guān)于直線t=b+c2對稱，所以ax=b+c2x=b+c2a，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=b+c2a對稱.

因此，函數(shù)f（x）=|ax-b|+|ax-c|（a≠0，b≠c）有如下性質(zhì).

性質(zhì)3函數(shù)f（x）=|ax-b|+|ax-c|（a≠0，b≠c）的最小值為|b-c|，沒有最大值，圖象關(guān)于直線x=b+c2a對稱.

4函數(shù)f（x）=|ax-b|-|ax-c|（a≠0，b≠c）的性質(zhì)

令ax=t，則f（x）=g（t）=|t-b|-|t-c|（b≠c）.

由性質(zhì)2，知函數(shù)g（t），即f（x）的最小值為-|b-c|，最大值為|b-c|.因為函數(shù)g（t）的圖象的對稱中心的橫坐標(biāo)為t=b+c2，所以ax=b+c2x=b+c2a，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（b+c2a，0）對稱.

因此，函數(shù)f（x）=|ax-b|-|ax-c|（a≠0，b≠c）有如下性質(zhì).

性質(zhì)4函數(shù)f（x）=|ax-b|-|ax-c|（a≠0，b≠c）的最小值為-|b-c|，最大值為|b-c|，圖象關(guān)于點(diǎn)（b+c2a，0）對稱.

5函數(shù)f（x）=|ax-b|±|ax-c|的性質(zhì)的應(yīng)用

例1（2009年高考山東卷·理4）設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-a|的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則a的值為（）

A. 3B. 2C. 1D. 0

解由性質(zhì)1，知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-1+a2對稱，又已知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，所以-1+a2=1a=3，故選A.

例2 （2015年高考重慶卷·理16）若函數(shù)f（x）=|x+1|+2|x-a|的最小值為5，則實數(shù)a=.

解f（x）=|x+1|+|x-a|+|x-a|，令g（x）=|x+1|+|x-a|，則由性質(zhì)1，知g（x）的最小值為|-1-a|，又|x-a|的最小值為0，所以f（x）的最小值為|-1-a|.已知f（x）的最小值為5，故|-1-a|=5 a=4或a=-6.

例3設(shè)函數(shù)f（x）=13|x+a|+|13x-14|的圖象關(guān)于直線x=12對稱，則實數(shù)a=.

解f（x）=|13x+13a|+|13x-14|，由性質(zhì)3，知f（x）的圖象關(guān)于直線x=-13a+142×13對稱，又已知f（x）的圖象關(guān)于直線x=12對稱，故-13a+142×13=12a=-14 .

例4已知函數(shù)f（x）=|2x-a|-|2x-b|（a，b∈R+）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）成中心對稱.

（Ⅰ）求（1a+1b）（a+b）的最小值；

（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=-1+|x|x與y=f（x）的圖象沒有公共點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍.

解（Ⅰ）由性質(zhì)4，知f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a+b4，0）對稱，又已知f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，所以a+b4=1a+b=4.

記u=（1a+1b）（a+b）=1a+1b+ba+ab≥21ab+21ab=41ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時等號成立）.

又4=a+b≥2ab1ab≥12（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時等號成立）.

故u≥41ab≥412=22.

從而當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時，

（1a+1b）（a+b）取得最小值22.

（Ⅱ）g（x）=-1-1x，x>0，

1-1x，x<0.

g（x）的值域為（-∞，-1）∪（1，+∞）.

y=f（x）的值域為[-|a-b|，|a-b|].

圖4結(jié)合圖象（如圖4）可知，兩函數(shù)圖象沒有公共點(diǎn)|a-b|≤1，

-|a-b|≥-1|a-b|≤1.

又b=4-a，所以|a-4+a|≤132≤a≤52 .故實數(shù)a的取值范圍是[32，52].