由浙江高考引發的對絕對值問題教學的探討

盧成嫻

當2016年的高考落下帷幕，浙江學子，將要迎來新一輪政策改革下的高考.今年，作為2009年新課改以來的最后一次出卷，其命題重點與方向對接下來的新高考還是有一定的導向作用的.總體上來說，今年高考依舊保持原先“起點低、坡度緩、層次多、區分好”的鮮明特色，在考查學生高中數學的基本技能上更加兼顧能力的區分，這也是順應今后的高考命題趨勢.這次高考之所以學生普遍反映難度加大，主要是因為題目越來越新穎，對于習慣題海戰術的學生感覺一下子難以入手.今年的數學高考，似乎與“絕對值”結下了“不解之緣”，特別是在區分學生能力的最后幾道題中，都能看到它的影子.像選擇最后一題，填空最后一題，大題中函數部分，數列部分都與絕對值相關，而且對絕對值的要求遠遠高于平時課程中的要求，所以學生在高考時難免會有種措手不及，出現無從下手的情況.以下是筆者整理的2016年浙江高考試題，希望與大家一同探討.

1試題分析與解答

例1（2016年浙江高考理科第8題）：已知實數a，b，c

A. 若a2+b+c+a+b2+c≤1，則a2+b2+c2<100.

B. 若a2+b+c+a2+b-c≤1，則a2+b2+c2<100.

C. 若a+b+c2+a+b-c2≤1，則a2+b2+c2<100.

D. 若a2+b+c+a+b2-c≤1，則a2+b2+c2<100.

分析此題考查的是學生對變量的分析能力與估算能力.很多考生初讀題目后認為此題與絕對值有關，絞盡腦汁想往絕對值計算方面靠，結果鉆進了死胡同.其實仔細分析后不難發現，此題與絕對值沒有太大的關系.從題干中可以看出，a，b，c的取值及關系沒有任何明顯的限制條件，所以想要通過正面推導將兩個看似不相關的不等式結合在一起，其實是不可能的，這也違背了出題者的本意.既然是選擇題，那就應該換種思路，可以利用排除法進行篩選，根據每個選項中a，b，c的地位關系，給a，b，c賦予合適的值.此題作為選擇題的最后一題，有一定的迷惑性與靈活性，對考生的思維能力提出了較高的要求，有一定的區分度，實為一道好題！

解

A.取a=b=10，c=-110，則a2+b2+c2>100，排除此選項；

B.取a=10，b=-100，c=0，則a2+b2+c2>100，排除此選項；

C.取a=100，b=-100，c=0，則a2+b2+c2>100，排除此選項；

故本題答案選D.

例2（2016年浙江高考理科第15題）： 已知向量a，b，a=1，b=2，若對任意單位向量e，均有a·e+b·e≤6，則a·b的最大值是.

分析本題主要考查向量的計算與絕對值不等式的結合.考生首先要明確題中的絕對值并非真正意義上的絕對值，而是代表向量的模長；其次，如何運用題干中的不等式是本題的關鍵，從解題思路角度，其難點在于能否想到運用絕對值不等式a+b≤a+b.值得注意的是，本題其實一題多解.此題的設置，不僅全方位考查了考生向量、不等式等內容的掌握程度，從深層次上來說，還鍛煉了考生思維的廣闊性與獨創性.考生亦可采用坐標法，建立直角坐標系，對a，b設置合適的坐標，將向量模長轉化為到原點的距離，進行純代數計算解答，不過運算量與幾何法相比較大.筆者下面介紹兩種幾何法的解題思路.

解由絕對值不等式可知（a+b）·e=a·e+b·e≤a·e+b·e≤6，

所以a+b≤6.

法一： 兩邊平方：a2+b2+2a·b≤6.

即 a·b≤12.

所以本題答案為12.

法二：因為a+b2+a-b2=2（a2+b2）=10.

所以a·b=14（a+b2-a-b2）=14（2a+b2-10）≤12.

例3（2016年浙江高考理科第18題第1小題）：

已知a≥3，函數F（x）=min{2|x-1|，x2-2ax+4a-2}，其中min{p，q}=p， p≤q，

qp≥q.

求使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍.

分析此題是一道常規的含參二次函數的討論問題，此題型學生在平時訓練中較常遇到.考查的是學生對絕對值含義的理解，即去絕對值符號時需討論絕對值內部符號情況，此為解決絕對值問題的常見方法.由于本題難度不是很大，思路也較簡單，筆者就選擇第一小題進行分析.第一小題是含有絕對值的函數自變量的取值問題，因此考生要討論區間端點的取值情況.對于這種分類討論的題目，關鍵是不要遺漏討論的情況，另外考生最后總結答案的時候要注意集合的交與并運算，只要細心解答，一般都能得出正確結果.從這道題可以看出，高考并非所有都是難題，平時應打好基礎，掌握通法通解，這才是根本.

解要使F（x）=x2-2ax+4a-2，則x2-2ax+4a-2≤2|x-1|.

①當x≥1時，此時不等式可化為x2-（2a+2）x+4a≤0，

即（x-2a）（x-2）≤0，又因為a≥3，

所以2≤x≤2a.

②當x<1時，此時可化為x2+（2-2a）x+4a-4≤0.

函數y=x2+（2-2a）x+4a-4的對稱軸為x=a-1>1，開口向上，y在x=1處取得最小值2a-1>0，所以方程無解.

綜上，x的取值范圍為[2，2a].

例4（2016年浙江高考理科第20題）：設數列{an}滿足an-an+12≤1，n∈N*.

（1）求證：|an|≥2n-1（a1-2），n∈N*；

（2）若|an|≤（32）n，n∈N*，證明：|an|≤2，n∈N*.

分析此題為絕對值與數列的結合，已知條件為一個不等式，要證明的兩個問題也是不等式，整個問題也沒有出現任何具體數值，因此考生在理解時會覺得比較抽象，一時無從下手也是正常的.對于這種抽象的數列難題，考生不妨先按照題意列舉前面幾項，試著去尋找各項之間的關系；也可觀察條件與需要證明的結論之間的關系，尋找條件與結論之間的橋梁，嘗試推導.像本題，如果單獨羅列數列的前幾項，很難找到他們之間的關系.觀察結論中出現的2n-1，可以先對已知條件做個簡單的變形，再利用上面的思路將前幾項展開，累加后運用絕對值不等式進行放縮即可.本題難度較大，主要是為了拉開考生之間的差距，因此對考生的綜合運用能力提出了較高的要求.

證明（1）由題目，可得

an+12n+1-an2n≤12n，n=1，2，3，…

累加后利用絕對值不等式an2n-a12≤1-12n-1，n=1，2，3，…

再利用絕對值不等式可得a12-|an|2n≤1-12n-1，

即|an|≥2n-1（a1-2），n∈N*.

（2）由（1）可得m>n，均有an2n-am2m≤12n-1，

故an≤（12n-1+am2m）·2n≤12n-1+12m（32）m·2n=2+（34）m·2n

由m的任意性可知|an|≤2，n∈N*.

2解后總結及反思

浙江數學高考始終是“在平凡中見真奇，在樸實中考素養”，知識覆蓋廣，解題靈活，難度梯度遞進，既考慮到大多數普通學生的知識水平，又能達到選拔人才的目的.

僅以本文中分析的“絕對值”這一知識點為例，像第18題就是考查絕對值的基本概念，考生根據平時解題經驗，去絕對值符號時分類討論符號情況即可，屬于常規題；第20題則主要考查絕對值不等式的放縮方法，如何對已知不等式進行放縮，一般不易構造，因此難度大大增加.此外，同樣都涉及到絕對值不等式，但側重點不同，難度也不同.像填空第15題側重點是向量計算，加上題目有比較明顯的暗示，所以數學基礎較好的學生一般能解答出來；但第20題則側重抽象數列的證明，涉及到對本質問題的理解，所以此題讓多數考生手足無措.另外，為了考查學生思維的靈活性，很多題目都是“徒有虛表”，以選擇題第8題為例，就是披著絕對值“外衣”，實則求解過程中與絕對值無關，這就需要考生懂得靈活變通了.

結合上述分析及今年高考的命題情況，筆者認為在今后的絕對值教學方面應該注意以下幾個方面.

2.1重視基礎，注重新舊知識的銜接

雖說高考是選拔性考試，但大部分題目還是比較基礎的，所以，對于絕對值內容部分，教師應將絕對值的概念、幾何含義、絕對值不等式等基本知識作為教學重點，絕對值的應用作為教學難點.在新課備課時，教師可以從以下兩方面入手：一方面，從學生的認知學習規律來講，可以從學生初中所學的絕對值內容逐步過渡到高中的新內容；另一方面，在講解時可以運用函數、向量等其他方面的知識點，幫助學生構建完整連貫的知識體系.例如在介紹絕對值不等式時，教師可以從向量的模長與構成三角形條件的角度幫助學生理解.此外，絕對值新課內容結束后，教師可以選擇一些模擬考經典題型作為例題進行講解，特別是絕對值與初等函數所構成的綜合題，由于此類題綜合性較高且在學生的能力范圍之內，又涉及到數形結合、分類討論這些基本數學思想，因此教師應將此類常規綜合題的訓練作為重點.對于練習中出現的錯題，應督促學生及時整理，可以在解題過程中注明解答思路與方法便于復習，確保大部分學生能夠掌握解題的通法通解.

2.2提升能力，激發學生的數學思維

由于“絕對值問題”的綜合題在題型上越來越新穎，而且方法靈活多變，不易掌握，像絕對值不等式放縮等數學思想在理解上有一定的難度，筆者認為教師應當將放縮法這些數學思想作為教學重點，讓學生了解這些數學方法即可，至于課后訓練，教師可以針對自己班級學生情況，適當安排題目練習，活躍學生的思維.高考數學難題，歸根結底是對學生數學思維的考查，除了絕對值這塊內容，教師更應在平時教學中訓練學生的思維，課后可以偶爾安排一些一題多解的題目，啟發學生思維，也可尋找一些靈活精妙的解題方法供學生“欣賞”，激發學生的數學興趣.