近三年數學高考理科卷向量命題結構和綜合難度分析

彭鋒　鄒超

【摘要】以2014—2016年具有代表性的數學高考新課標理科卷為例，從歷年高考向量內容命題數量和分值、考查形式和內容、綜合難度等方面進行對比分析，得出高考向量命題的特點，以期對教師教學產生一定的影響.

【關鍵詞】向量；命題結構；綜合難題

1前言

我們知道向量是既有大小又有方向的量，“大小”說明向量具備代數的特點可運算， “方向”說明向量除了大小以外，還具有幾何圖形的特點.因此，向量內容既可和代數知識聯系，還可和幾何知識結合，體現出數學學科知識網絡的特點.《普通高中數學課程標準》指出，向量是近代數學最重要和最基本的概念之一，是溝通幾何、代數、三角等內容的橋梁[1].因此，我們有必要探討向量在新課程標準下的高考如何體現.

從2016年起，全國大多數省份都使用全國卷，只有少部分省份自主命題.因此本文選取有代表性的新課標全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、北京卷、天津卷、江蘇卷和浙江卷，對2014—2016三年共18套理科試題進行比較研究，比較出新課改后向量內容在高考中的命題數量和分值、考查形式和內容、綜合難度等方面的變化，并得出高考向量命題的特點，以期對教師教學產生一定的影響.

2三年高考向量結構對比分析

2.12014年六套高考向量命題數量和分值上的比較表12014年六套高考向量命題數量和分值上的比較

卷別選擇題分值填空題分值解答題分值題號總分值比值全國Ⅰ卷551210、15、19221467%全國Ⅱ卷100123、11、18221467%北京卷55147、10、172416%天津卷50138、171812%江蘇卷051412、14191188%浙江卷50158、20201333%由表1知，天津卷、江蘇卷和浙江卷有兩道向量有關的題且所占比值較低，其他三套試題都出現了三道與向量有關的題，相對而言全國卷和北京卷更加注重對向量的考查.

2.11考查形式和內容的比較

對比六套高考試題發現，單純對向量命題的有全國Ⅰ卷第15題，全國Ⅱ卷第3題，北京卷第10題，天津卷第8題和江蘇卷第12題.全國Ⅰ卷主要考查平面向量的運算法則及幾何意義；全國Ⅱ卷主要考查向量的模長公式及數量積；北京卷主要考查向量的模長公式；天津卷和江蘇卷不謀而合，主要考查平面向量的基本定理，向量的線性運算，解題關鍵在于選取哪兩個向量為基底，計算量較大.其他題目的命題方式為與其他知識的聯合命制，其中每套題均有一道空間向量與立體幾何相結合的綜合性大題，著重考查向量的應用，向量數量積等內容，進而考查學生空間想象和運算求解能力.

2.12總結2014年六套試題命題情況

總體來看每套試題都有向量知識的體現，其中以北京卷分值最高，考查的題量都是二至三道.知識點上一類是單純的對向量知識命題，另一類除全國Ⅰ卷第10題與解析幾何聯合命題、浙江卷第8題與新定義聯合命題外，其他則是與立體幾何聯合命題，出題類型較單一.

2.21考查形式和內容的比較

考查形式上看，單獨對向量命題的題目為全國Ⅰ卷第7題，全國Ⅱ卷第13題，北京卷第13題，江蘇卷第6題.其中全國Ⅰ卷和北京卷主要考查平面向量的線性運算，全國Ⅱ卷主要考查向量共線定理，江蘇卷主要考查平面向量的坐標運算，這些命題主要以運算為主，思維要求不高.而其它題主要結合其他內容，除了常見的和空間立體幾何結合外，還包括與解析幾何結合如全國Ⅰ卷第5題，與基本不等式結合求最值如天津卷第14題，與三角函數性質結合如江蘇卷第14題，與函數最值結合的浙江卷第15題.

2.22總結2015年六套試題命題情況

2015年高考向量命題無論從分數和題數上看還是占很大比例的，讓我們從高考題目的命制中看到了向量在高中與其劇增的地位與作用.這些試卷中體現出來的與其他內容聯合命制的出題方式讓我們看到了高考向量命題的活力與創新思維品質.

2.32016年六套高考向量命題數量和分值上的比較

2.31考查形式和內容的比較

單獨對向量命題的有全國Ⅰ卷第13題，主要考查向量模的坐標運算；全國Ⅱ卷第3題不僅考查了向量的坐標運算，還考查了向量垂直的充要條件；天津卷第7題與前兩年一樣考查了平面向量的基本定理、線性運算及數量積；江蘇卷第13題考查了向量的線性運算及數量積.空間向量的內容主要與空間幾何聯系，通過立體幾何題型考查向量知識運用，充分體現向量知識的工具作用；除了和立體幾何知識聯系外，向量知識還和充要條件結合，如北京卷第4題；與平面解析幾何結合，如江蘇卷第18題；還與不等式相結合，如浙江卷第15題.

2.32總結2016年六套試題命題情況

從命題數量和分值上看，向量命題逐漸趨于穩定，體現了向量在高中數學內容中的重要性.從命題方式上看，能與其他知識聯合命題，提高了命題的質量，讓學生充分感受向量的工具作用，讓向量更好地為高考服務.

3近三年高考向量試題綜合難度的對比分析

本節將采用由張欣[2]修改的鮑建生[3]建立的五個維度來評價高考向量考查的綜合難度，即知識水平，背景水平，運算水平，推理水平及知識含量.以此評價模式說明近三年向量命題的綜合難度，進而發現每年高考向量難度的變化趨勢.

3.1知識水平

根據18套試題近三年知識水平的變化情況，特制如下統計圖：

從圖看出18套試題近三年對向量的命題主要集中在理解和應用水平上，2015年對識記水平的考查最高，但還是以應用水平為主，理解水平維持較平穩的比重.從圖可以明確看出高考向量考查沒有達到探究的高度，只是從低層次水平命題，這主要因為向量總是作為工具手段出現，單獨命題較少.結合圖看出知識水平的考查綜合難度以2016年稍高，但是與前兩年相比沒有多大的變化.從不同試卷看，浙江、江蘇卷對向量的命題難度稍高.3.2背景水平

根據18套試題近三年背景水平的變化情況，特制如下統計圖：

從圖可以清楚看到，對于向量命題幾乎沒有任何公共生活背景和科學情境，這是因為在高中的向量學習中，它始終作為工具來體現，也就是為了解決其他數學問題才引入的，因此學科內的數學問題理所當然應作為向量考查的背景.

3.3運算水平

根據18套試題近三年運算水平的變化情況，特制如下統計圖：

運算水平的考查始終是理科科目考查的重點，從圖可清晰的看到對于運算水平的考查從2014年到2016年整體有所下降，這正體現了歷年高考命題的思想“多考點想，少考點算”，如2015年浙江卷第15題，若能把模型轉化為空間向量差的模的幾何意義，那么就比純粹的用代數方法簡便多了.但對計算能力的考查整體都處于較高的水平，其中復雜的運算總是能占到80%左右，其中2014年和2015年都達到了93%.從試卷看江蘇卷的填空題一般是壓軸題且大題也較多，故運算水平相對要求較高，而全國兩套試卷的運算水平較低于其他試卷.

3.4推理水平

根據18套試題近三年推理水平的變化情況，特制如下統計圖：

從圖看出，近三年無推理的題目都維持在較低的水平，而在簡單推理層面的命題有下降的趨勢，在復雜推理上以2014年比重最低，但依然是高考對推理能力考查的重要部分.對復雜推理能力的訓練，有助于學生更好的鍛煉思維.

35知識含量

根據18套試題近三年知識含量的變化情況，特制如下統計圖：

從圖看出，近三年向量內容的命題對一個知識點和兩個知識點的考查有所下降，逐漸轉向多個知識點的綜合命題，尋求知識間的交叉，這樣做提高了試題知識點的涵蓋，并且相應地考查了學生的綜合能力.三個及三個以上知識點的考查在逐年攀升，并以2016年所占比例最高.結合表4，可以發現近三年對向量考查的知識含量平均水平超過三個，這也符合新課改后對學生考查的新要求.

3.6綜合難度

根據表4各難度因素的加權平均值，特制如下統計圖：

由圖知，近三年高考向量試題更加偏向考查基本知識與基本技能，即知識含量和推理運算水平，而忽視對背景水平的重視.但高考試題向量內容的綜合難度穩定，其中對知識水平，知識含量的考查略有上升，而對推理水平的要求也在穩步提升，只有這樣才能培養出創新型人才.

4主要結論

4.1關于向量命題結構

（1）從命題數量上看，近三年向量命題數量趨于穩定，分值也趨于穩定，預計未來向量知識的命題數穩定在兩或三道，分值在20分上下浮動；

（2）從命題形式上看，主要為一道選擇或填空，配上一道向量內容大題（主要為立體幾何）； （3） 從命題的落腳點看，要注重對向量知識的單純考查，還需注重對多重知識的綜合考查.

今后向量知識可結合的內容也會拓寬，題目會出的更加豐富，更加科學，更加貼近生活.

4.2關于向量命題綜合難度的分析

（1）近三年高考向量命題綜合難度大體一致，對五種層次能力的考查也大體不變.在對試題的內容進行對比時，發現向量的考查主要集中在以下幾個部分：平面向量的相關概念、平面向量基本定理與向量的線性運算；向量的數量積運算和性質；向量與不等式、解析幾何、空間立體幾何、三角函數等進行交叉考查.只要考查的知識點不變，對五種能力的考查大體也不會變，所以在復習中要加強基本知識的復習，做到概念清楚、運算準確.

（2）近三年對運算水平的考查整體略有下降，但還以復雜運算為主.而對知識含量、推理水平的要求也在穩步提升，但命題缺乏背景.具體體現在知識水平以應用水平為主，背景水平以學科內背景為主，運算水平以復雜運算為主，推理水平以復雜推理為主，試題知識含量逐年穩定在三個以上知識點.在復習時，要幫助學生樹立向量的工具意識，訓練學生在知識交匯處領悟向量，這樣才能更好地培養學生的運算能力、邏輯推理能力和知識遷移能力.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]張欣.高考數學卷特點的對比分析[D].東北師范大學，2011（5）：10.

[3]鮑建生.中英兩國初中數學課程綜合難度的比較研究[J].全球教育展望，2002（9）：48-52.