適應性預期條件下的雙邊平臺動態最優價格研究

鄒 佳，　郭立宏，　張 偉

(西安理工大學 經濟管理學院，陜西 西安 710048)

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適應性預期條件下的雙邊平臺動態最優價格研究

鄒 佳，郭立宏，張 偉

(西安理工大學 經濟管理學院，陜西 西安 710048)

本文研究了當市場兩邊的用戶序貫加入時，在先加入一邊的用戶對后加入一邊的用戶的數量形成適應性預期的條件下，雙邊平臺的動態最優價格。本文建立了適應性預期的雙邊市場最優控制模型，在壟斷和雙寡頭兩種市場結構中分別使用歐拉方程和拉格朗日乘子法求解出了兩種不同表現形式的最優價格序列，前者表現為任意一期最優價格與以往最優價格之間的關系，后者表現為從初始期到終止期的最優價格的完整序列，分別適用于解決平臺在以往最優價格已知或以往最優價格未知但終止時間既定這兩種情況下的定價問題。最終根據后一種價格序列進行了數值仿真。

序貫加入；適應性預期；最優控制模型；最優價格序列

1　引言

在雙邊市場中，市場一邊的用戶使用平臺所獲得的價值取決于市場另一邊的用戶數量，正是因為這種組間外部性的存在，使雙邊市場任意一邊的需求都取決于另一邊的需求[1,2]。但是當市場的兩邊并不是同一時間加入平臺時，先加入一方的用戶就無法觀察到后加入一方的實際需求。例如零售平臺和B2C電子商務平臺通常會先引入賣家，然后才會有買家加入，在決定是否加入平臺時，買家可以通過直接觀察賣家的實際數量進行決策，但是賣家卻無法觀察到買家的實際數量，同樣的情況也會出現在電腦操作系統、電子游戲以及廣告等不同類別的雙邊市場中。在這種情況下，先加入一方用戶只能依據對另一方用戶數量的預期進行決策。但是當先加入一方的用戶所獲得的信息并不充分時，例如無法觀察到平臺在市場另一邊的價格或者無法準確判斷市場另一邊的價格對該邊需求的影響時，就不能使自己的需求預期對價格的反應與實際的需求反應保持一致[3]。

對于缺乏信息的用戶來說，適應性預期(adaptive expectation)是一種合理的假設，因為采用適應性預期的用戶只需要通過觀察市場另一邊以往的實際需求和預期需求就可以形成新預期并不斷自我修正，相比較使預期需求與實際需求總是保持一致所需的信息，適應性預期所需的信息通常更容易獲得。適應性預期的概念最早由Cagan[4]提出，用于解釋人們對通貨膨脹的預期，隨后Phelps[5]和Friedman[6]使用適應性預期描述了Phillips曲線。在通貨膨脹、同業拆借市場、股票價格和農產品市場等多個方面，都有研究證實了適應性預期的存在[7～15]。

本文將離散時間形式的適應性預期模型[4,5]引入到雙邊市場的研究中，用于研究當市場兩邊序貫加入時，雙邊平臺在先加入一方用戶缺乏信息和非理性條件下的動態最優價格。本文假定平臺能夠對價格進行動態調整，先加入一方的用戶會根據以往的實際需求和預期需求而形成新的預期，預期和價格會相互影響而不斷發生變化，在此條件下對平臺的最優價格進行了研究。

與現有的雙邊市場研究相比，本文的創新點如下：(1)將適應性預期用于雙邊市場的研究中?，F有研究對預期的假設分為三種：第一種假定用戶擁有充足的信息，預期能夠積極地響應平臺價格的變動，也就是預期需求與實際需求總是能夠保持一致，這種預期被稱為響應性預期(responsive expectation)[3]，大多數研究都采用這種假設[6～22]。

其余兩種是消極性預期(passive expectation)[23]和謹慎性預期(wary expectation)，它們都假定用戶缺乏信息，前者指用戶對市場另一邊的需求形成一個固定的預期而不隨價格發生變化，后者指用戶通過觀察本方價格而預測平臺在另一方的最優價格及最優需求，并將這種最優需求作為預期[3]。Gabszewicz和Wauthy[23]首次將消極性預期用于雙邊市場，研究了消極性預期條件下壟斷市場和具有縱向差異的雙寡頭市場的產出，并與響應性預期的情況進行了比較；Hagiu和Halaburda[3]將Gabszewicz和Wauthy[23]的研究推進了一步，系統地研究了用戶在不同信息水平下所形成的預期對壟斷市場和具有橫向差異的雙寡頭市場的均衡價格和利潤的影響，作者除了對純粹的響應性預期和消極性預期進行了比較之外，還比較了二者的混合模式并新引入了謹慎性預期。

適應性預期的特點是用戶能夠通過觀察過去的經驗而形成當下的預期，因此在動態過程中當用戶既缺乏信息又不會保持預期固定不變，而且還非理性時，適應性預期是更加符合現實的假設。

(2)使用動態模型刻畫了價格和預期的變化過程。雙邊市場的靜態均衡研究只能對達到穩定狀態的價格進行研究，而且通過假定預期一定會實現而完全省略了在形成均衡的過程中預期和價格的變化過程[1～3,16～23]。本文所建立的動態模型以參與者每個時期的行為作為基礎，考慮到了各個參與者決策的變動過程，因此對解決短期的或非均衡狀態的平臺定價問題會更加有效。

現有的雙邊市場動態研究并沒有重點對用戶預期問題進行過分析，也沒有對預期類型提出過明確的假設，例如：Damiano和Lam[24]對存在使動態配對市場趨向穩定的配對策略的一般性條件的探討，Satterthwaite和Shneyerov[25]，Shneyerov和Wong[26]對商品保留價格和成本方面信息不對稱的配對交易市場的研究，Kim和Tse[27]，Kang和Downing[28]對在位者和進入者之間競爭的研究，Koh和Fichman[29]在買方用戶多歸屬條件下對買方用戶對相互競爭的兩個平臺中某個特定平臺的偏好與該平臺的買賣交易量之間的關系的研究等。這部分研究都沒有考慮當一邊用戶無法積極響應另一邊用戶的行為時的情況，因此本文與這部分研究的主要區別在于：在一邊用戶無法積極響應另一邊用戶行為的假定下對平臺的動態價格進行研究，著重考慮預期對平臺價格的影響，并且能夠以解析的形式求解出價格、預期需求、實際需求和利潤的動態變化過程。

(3)考慮了市場兩邊的用戶序貫決策的情況。當市場兩邊的用戶并不是同一時間加入平臺，且平臺按照兩邊加入的順序序貫定價時，兩邊用戶的決策就是序貫的。因為在行動時先加入一方用戶無法觀察到后加入一方的價格及需求反應，而后加入一方用戶則可以觀察到先加入一方的價格和需求。在動態過程中這是一種合理的假設，因為平臺的價格和需求有可能隨時間發生變化，先加入一方無法根據以往的經驗來消除決策時所面臨的不確定性，而無論對方的需求如何變化，后加入一方在決策時都可以觀察到一個確定的結果。但現有的動態和靜態研究都沒有考慮過這種情況[1～3,16～29]。

2　基本假設

π(τ)是平臺在第τ期的利潤。為了簡化模型假定平臺沒有成本，利潤函數為

(1)

3　壟斷市場

3.1最優控制模型

在每一個時期內平臺都會和用戶進行一輪博弈，博弈順序為：(1)平臺決定賣方價格；(2)賣方用戶觀察到平臺賣方價格后決定是否使用平臺；(3)平臺觀察到賣方用戶數量后決定買方價格；(4)買方用戶觀察到賣方用戶數量以及買方價格后決定是否使用平臺。通過倒序求解后三階段博弈可以將買方最優價格、平臺最優需求和最優利潤變為賣方最優價格的函數，由于賣方價格取決于用戶的預期需求，而預期需求會與實際需求相互影響而不斷發生變化，因此賣方最優價格要通過建立以預期需求作為狀態變量的最優控制模型來求解。本小節將在求解后三階段博弈的基礎上建立最優控制模型，而隨后的兩個小節則對最優控制模型進行求解。

(2)

π(τ)為凹函數的二階條件為αB<2。

(3)

(4)

3.2歐拉方程解

歐拉方程可以表示出動態最優條件下不同時期的控制變量之間的關系，因此通過求解歐拉方程可以獲得平臺當期最優價格與以往最優價格之間的關系，當平臺能夠獲得有關以往最優價格的信息時，就可以按照這種方法制定價格。

將(2)式代入該式進行計算并結合上一小節的內容，可得出平臺任意一個時期的最優價格應滿足的條件為

(5)

由(5)式可以看出，壟斷平臺任意一期的買方和賣方的最優價格都取決于上一期的買方或賣方的最優價格和買方需求的預期，而任意一期買方需求的預期則取決于買方或賣方以往所有時期的最優價格，因此在初始預期已知的條件下，當平臺能夠獲得買賣兩方中任何一方以往最優價格的所有信息時，便可以按照這種方法制定當期和隨后無限時期的價格。

3.3拉格朗日乘子法解

當平臺無法獲得有關以往價格的信息時就無法使用(5)式所示的方法定價，例如一個提供新型服務的初創平臺既沒有自己的歷史信息也無法參考其他平臺的價格。因此本小節使用拉格朗日乘子法求解模型，獲得在終止時間既定條件下的完整的最優價格序列，作為平臺在該情況下的定價方法。

(6)

4　雙寡頭市場

4.1最優控制模型

在最優狀態下平臺在買方的最優價格和市場份額為

(7)

平臺1在第τ期的利潤為

(8)

(9)

(10)

4.2歐拉方程解

(11)

與壟斷的情況不同，雙寡頭平臺在買方的最優價格僅與差異化水平相關，而任意一個時期的賣方最優價格僅取決于上一個時期的賣方最優價格。在初始預期已知的條件下，通過(7)式和(11)式，平臺可以根據以往任意一期的賣方最優價格制定當期及隨后無限時期的價格。

4.3拉格朗日乘子法解

(12)

5　數值仿真

6　結論

本文在用戶采用適應性預期的條件下建立了雙邊市場的最優控制模型，在壟斷和雙寡頭兩種市場結構中，分別通過歐拉方程和拉格朗日乘子法求解出兩種不同表現形式的最優價格序列，對平臺的動態最優價格進行了研究，最終得出以下結論：

(1)在壟斷市場中，在初始預期已知的條件下，平臺任意一期的買方和賣方的最優價格都可以表示為買賣兩方中任何一方以往所有時期的最優價格的函數或者時間的函數，二者分別由文中的(5)式和(6)式給出。當任何一方以往所有時期的最優價格都已知時，平臺可以按照(5)式制定當期和隨后無限時期的買方和賣方價格；當以往價格未知但終止時間既定時，平臺可以按照(6)式制定自初始期到終止期的買方和賣方價格。

(2)在對稱的雙寡頭市場中，平臺的買方最優價格等于平臺之間的差異化程度而與時間無關；在初始預期已知的條件下，任意一期的賣方最優價格可以表示為上一期賣方最優價格的函數或者時間的函數，二者分別由文中的(11)式和(12)式給出。當以往任意一期的賣方最優價格已知時，平臺可以按照(11)式制定當期和隨后無限時期的賣方價格；與壟斷的情況相同，當以往價格未知但終止時間既定時，平臺可以按照(12)式制定自初始期到終止期的賣方價格。

本文的研究還可以在預期類型和市場結構兩方面進行拓展。通過對模型中的狀態方程進行調整，可以將研究拓展到其他類型預期的市場；對雙寡頭市場的研究可以通過Salop環[32,33]的方法拓展到一般性的差異化多寡頭市場，同時也可以稍加改變就拓展到兩邊都具有差異化且單歸屬的寡頭市場。

本文的主要不足在于沒有考慮用戶采用不同預期時的情況。在今后的研究中，作者將對適應性預期條件下雙邊市場趨于穩態的一般性條件進行探討，并且還要以某個具體的雙邊市場為例對用戶預期的類型進行實證檢驗。

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The Dynamic Optimal Prices of Two-sided Platform with Adaptive Expectations

ZOU Jia, GUO Li-hong, ZHANG Wei

(SchoolofEconomicsandManagement,Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an710048,China)

We study the dynamic optimal prices of two-sided platforms which the two sides of users sequentially join and the users of firstly joining side form adaptive expectations to the quantity of the users of secondly joining side. We build up the optimum control model of two-sided market based on adaptive expectation and respectively solve the model through Euler equation and Lagrangian multiplier method in order to obtain two optimal prices sequences which differ in the types of expression in each of the monopoly and duopoly market. The two sequences, which the former one is shown as the relation between the optimal prices of the current period and the optimal prices of past periods and the later one is shown as the complete optimal prices sequence from initial period to terminal period, would respectively apply to the pricing problem of platforms under different conditions that the optimal prices of past periods are given or the time of termination is given rather than that of the past optimal prices. Finally, we simulate the numerical values of optimal prices based on the later sequence.

sequential joining; adaptive expectation; optimum control model; optimal prices sequences

2015- 05-18

國家自然科學基金資助項目(71172201)；陜西省社會科學基金資助項目(107-221450)

F224.32

A

1003-5192(2016)04- 0069- 06

10.11847/fj.35.4.69