數(shù)形結(jié)合“妙”解數(shù)學(xué)問(wèn)題

劉天有

數(shù)形結(jié)合是在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的一種重要解題思想，它是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)和形的相互轉(zhuǎn)化解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的.數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)是將較抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀的圖象結(jié)合起來(lái)，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化，其應(yīng)用包括兩個(gè)方面：（1）把某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、形象化，揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；（2）把直觀圖形數(shù)量化，使其更加精確.現(xiàn)整理如下題型供大家體會(huì)：

題型一：數(shù)形結(jié)合解決方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題

例1.對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：a*b=a2-ab，a≤bb2-ab，a>b設(shè)f（x）=（2x-1）*（x-1），且關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1，x2，x3的取值范圍是________.

題型分析：本題屬于新定義題型，需先寫出f（x）的解析式，然后將方程f（x）=m的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f（x）圖象與直線y=m交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解析：由定義知f（x）=2x2-x，x≤0-x2+x，x>0

解：因?yàn)閍>0，所以二次函數(shù)f（x）的圖象開(kāi)口向上.

又f（0）=-1，所以要使函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則有a>bf（1）<0f（2）>0，即如圖2所示的陰影部分是上述不等式組所確定的平面區(qū)域，式子表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)Q（-1，0）連線的斜率.

而直線QA的斜率k=1，直線4a+2b-1=0的斜率為-2，顯然不等式組所表示的平面區(qū)域不包括邊界，所以P，Q連線的斜率的取值范圍為（-2，1），故選D.

反思：如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含明顯的幾何特征，就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題，即所謂的幾何法求解.

題型三 數(shù)形結(jié)合解幾何問(wèn)題

例3.如圖3，已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，-1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）

題型分析：本題可以結(jié)合圖形將拋物線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再探求最值.

解析：定點(diǎn)Q（2，-1）在拋物線內(nèi)部，由拋物線的定義可知，動(dòng)點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離和點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，顯然點(diǎn)P是直線y=-1和拋物線y2=4x的交點(diǎn)時(shí)，兩距離之和取最小值，解得這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是（，-1），答案為A.

反思：在幾何中的一些最值問(wèn)題中，可以根據(jù)圖形的性質(zhì)結(jié)合圖形上點(diǎn)的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換，快速求得最值.

縱觀多年來(lái)的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法處理一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以起到事半功倍的作用，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，把代數(shù)問(wèn)題與圖形緊密結(jié)合起來(lái)，可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化.

參考文獻(xiàn)：

熊云豐.巧用數(shù)形結(jié)合的思想解題[J].才智，2008（24）.

編輯 楊國(guó)蓉