用于廣義DEA有效性的度量方法

馬占新,趙春英

(1.內蒙古大學經濟管理學院,內蒙古 呼和浩特 010021;2.內蒙古大學數學科學學院,內蒙古 呼和浩特 010021)

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用于廣義DEA有效性的度量方法

馬占新1,趙春英2

(1.內蒙古大學經濟管理學院,內蒙古 呼和浩特 010021;2.內蒙古大學數學科學學院,內蒙古 呼和浩特 010021)

在廣義數據包絡分析方法(data envelopment analysis,DEA)有效性度量方面還存在以下兩個問題有待解決：第一,當廣義DEA模型無可行解時,盡管被評價單元本身是有效的,但卻無法用具體數值刻畫其有效程度；第二,當單元為廣義DEA有效時,某些單元的效率值存在被高估的情況。為解決這些問題,首先給出一個拓展的廣義DEA模型。然后,給出了一種判定廣義DEA模型存在無可行解情況的充要條件,以及單元效率被高估的判定條件。同時給出測定單元效率的3種方法,并討論這些方法與原有測定方法的關系。最后,通過實際例子進行了對比研究。

綜合評價; 多目標決策; 廣義數據包絡分析; 樣本單元; 數據包絡分析投影

0　引　言

數據包絡分析方法(data envelopment analysis,DEA)是由文獻[1]提出的,目前已在諸多領域得到成功應用和迅速發展。傳統DEA方法以所有決策單元(以下簡稱單元)的輸入輸出為參考點,采用變化權重方法對單元進行評價[2-5]。但現實中很多問題選擇的 “參照集”有時并不是待評價單元本身,而是選擇了另外指定的單元或標準。因此,1999年,文獻[6]從DEA新的理論基礎——偏序集理論[7]出發,提出了基于樣本單元(以下簡稱樣本)評價的廣義DEA方法,并在后續的研究中逐步完善了廣義DEA模型和方法體系,包括廣義C2R模型、廣義BC2模型[8]、廣義C2WH模型[9]、廣義C2W模型[10]、廣義C2WY模型[11]、基于面板數據的廣義DEA模型[12]、廣義模糊DEA模型[13-14]、評價多屬性單元的廣義DEA模型[15-16]、廣義鏈式DEA模型[17-18]。另外,文獻[19-22]對廣義DEA的其他模型和性質也進行了探討。但從以往的研究看,在廣義DEA有效性度量方面還存在以下兩個問題有待解決:①當廣義DEA模型無可行解時,盡管被評價單元本身是有效的,但卻無法用具體數值刻畫其有效程度。②當單元為廣義DEA有效時,某些單元的投影出現投入冗余或產出虧空的情形,此時效率值可能被高估。針對上述問題以下進行了系統分析和討論,首先給出一種判定廣義DEA模型存在無可行解情況的充要條件,給出了單元效率被高估的判定條件。然后,給出了測定單元效率的保守型、平均型和激進型3種方法,并討論這些方法與原有測定方法的關系。最后通過實際例子進行對比研究。

1　廣義DEA模型及有效性度量

(1)當δ1=0時,(IG)模型為廣義C2R模型。

(2)當δ1=1,δ2=0時,(IG)模型為廣義BC2模型。

(3)當δ1=1,δ2=1,δ3=1時,(IG)模型為廣義FG模型。

(4)當δ1=1,δ2=1,δ3=0時,(IG)模型為廣義ST模型。

上述模型對應的樣本單元可能集STE可以表示如下:

當樣本單元集和決策單元集相同時,(GD)就是相應的傳統DEA模型(C2R模型、BC2模型、FG模型、ST模型)[22]。進一步地有以下帶有非阿基米德無窮小的廣義DEA模型。

(1)當θ*<1或者θ*=1,(s-,s+)≠0時,單元p為廣義DEA無效;

(2)當θ*=1時,單元p為廣義DEA弱有效。

例1下面是一個包含2個樣本單元和4個決策單元的例子,相應的指標數據見表1。

應用 (DIG)可得到表2中的結果。相應的生產可能集和決策單元的分布可由圖1表示出來。

表1　決策單元和樣本單元數據

表2　取不同樣本單元集時應用模型(DIG)獲得的決策單元效率值

圖1　生產可能集與決策單元的分布Fig.1　Possibility set and distribution of decision making units

從上面的例子可以看出廣義DEA模型在效率度量上還有以下兩個問題需要進一步探討:

(1)從表2可看出,當樣本單元集和決策單元集相同時,廣義DEA模型均存在可行解,但當樣本單元集和決策單元集不同時,廣義BC2模型、廣義FG模型均可能出現無可行解的情況,這時(DIG)無法給出單元的效率值大小,需要進一步研究新度量方法。

(2)從表2可看出,當樣本單元集滿足規模收益可變時,單元e和f的投入相同,都是10,而產出分別是4.1和3.9,相差不大,但單元e有效,單元f的效率值只有0.39。因此,單元e的效率值可能被高估了,需要進一步分析。

(3)從表3可看出,對于超效率DEA模型,生產可能集是隨著被評價單元的不同而變化的,并且它的可能集一定包含在生產可能集中。而廣義DEA模型中不同決策單元對應的樣本可能集不變,并且樣本可能集不一定包含在生產可能集中。所以廣義DEA模型有別于超效率DEA模型,超效率DEA模型效率度量方法不能簡單移植到廣義DEA模型中。

表3　超效率DEA模型與廣義DEA模型的生產可能集比較

下面進一步探討相關問題。

定理3廣義C2R模型 、廣義ST模型總存在可行解。

證畢

定理3表明,廣義C2R模型 、廣義ST模型總有可行解,因此(DIG)總能給出單元效率值大小。

令

則有

證畢

定理4表明,只要被評價單元的輸出指標值包含在樣本單元的凸組合內,廣義BCC模型、廣義FG模型就存在可行解。

令

稱為單元p的改進值。它的含義如下:

通過以下的例子可以發現:(DIG)對有效單元可以進一步度量,并通過投影給出單元的各指標上存在的優勢和不足;該模型的缺點是對某些單元的效率無法度量,對某些單元的效率值還存在高估的情況。

例2下面是一個包含2個樣本單元和4個決策單元的例子。相應的指標數據見表4。

表4　決策單元和樣本單元數據

應用(DIG)可以得到表5中的結果。

聯網收費是高速公路運營中的一項基本業務，征收的費用主要用來償還修路貸款和改善公路路網條件，是高速公路賴以生存和發展的基礎。隨著高速公路收費業務的信息化程度不斷提高，特別是路網的規模越來越大，車輛的單次通行費用越來越高。部分車輛受利益驅使，往往會采用多種方式偷逃通行費并從中獲益，如利用加裝的假軸來減少通行費，而采用傳統的稽查方法已較難發現這種隱性逃費行為,不能滿足高速公路收費工作的管理要求。因此,利用高速公路收費數據甄別疑似假軸車輛成為一項重要且具有實際意義的課題。

表5　單元滿足規模收益可變時應用(DIG)獲得的效率值

從上面的例子可以看出:

(1)單元c的第一個投入指標值與單元d相比冗余懸殊,而其他指標值相同。但它們的效率值卻相同,因此廣義DEA方法對單元c的效率值存在高估的情況。同時,從投影值也可以看出單元c的有效程度很高,但它的第一個投入指標的冗余量卻非常大,為單元d的投入的9 999倍。顯然這些問題有必要進一步理清和梳理,給出效率值被高估情況存在的條件和形成的原因。

(2)單元f無可行解,因此廣義DEA方法無法提供該單元的效率度量值和投影。需進一步給出該類單元的效率度量方法。

(3)單元e的效率值為3,投影值為負數,說明單元e在投入產出的每個指標上都存在優勢。這是廣義DEA方法在效率度量和投影分析方面和傳統DEA方法相比存在的優勢,在下面新給出的模型中需要傳承這一優點。

以下通過定理5來進一步探討廣義DEA模型(DIG)對單元效率高估的原因和尺度。

證畢

定理5表明：

(1)當單元為DEA無效時(見圖2中的d點),單元的投影值(見圖2中的a點)在投入指標上優于該單元至少θ倍,而產出一定不劣于該單元的產出。

(2)當單元為DEA有效并且(s-*,s+*)=0時(見圖2中的c點),單元的投影值(見圖2中的g點)一定等于投入值的θ倍,而產出一定等于該單元的產出。

(3)當單元為DEA有效并且(s-*,s+*)≠0(見圖2中的e點)時,單元的某個投入值的θ倍不一定會優于投影值或者某個產出劣于投影值(見圖2中的b點),這時單元的效率值有可能會被高估。

圖2　決策單元及其投影Fig.2　Decision making units and their projections

2　廣義DEA有效性度量方法設計

以下研究兩個問題:①如何給出一個更有效的模型,它不僅可以對模型(DIG)無可行解的情況進行測算,而且還要保持模型(DIG)有可行解時給出的單元效率值和投影值不變。即該模型不僅有傳承性,還要能解決無可行解情況下的效率值度量問題。②探討有效單元被高估的原因,給出改進的效率度量方法。

2.1一個改進的DEA模型

首先給出以下模型：

定理6模型(GD)總存在可行解。

證畢

證畢

證畢

證明由定理1、定理2和定理8結論顯然成立。

證畢

定理6～定理9表明,(GD)解決了兩個問題:①當(DIG)無可行解時,如何度量單元的效率值。②當(DIG)有可行解時,如何保持原有的效率值不變。因此,(GD)總存在最優解,并且可以對全部單元的有效性進行度量。

對于(GD)的最優解也可以應用以下兩個模型進行計算。

以下分兩種情況分別討論:

證畢

2.1單元有效性與投影的改進

當單元為廣義DEA無效時,模型(GD)對效率測算很好地傳承了傳統DEA方法的優點,而需要進一步分析的是單元廣義DEA有效情況下模型無解和效率被高估的問題。以下針對不同情形通過定理分析給出新的測算方法。

證明由定理8結論顯然。

于是

矛盾。

證畢

證畢

矛盾。

證畢

證畢

(1)單元p為廣義DEA無效

圖3　單元效率度量與投影Fig.3　Efficiency measurement and projections of decision making units

① 激進型效率測算方法與投影

② 平均型效率測算方法與投影

則平均效率值為

③ 保守型效率測算方法與投影

① 激進型效率測算方法與投影

合并上述兩種情況可以給出如下測算方法:

② 平均型效率測算方法與投影

類似于情況(3)可以給出如下測算方法:

③ 保守型效率測算方法與投影

類似于情況(3)可以給出如下測算方法:

上述效率值和投影值可在表6統一給出。

表6　不同情況下(GD)模型給出的單元效率值和投影值的匯總表

3　算例分析

假設一個地區有10個同類型的加工企業,它們的投入指標為員工總數和生產成本,產出指標為利潤,在經濟發展和轉型過程中,為了進一步提高生產率,這10個企業均引進了先進的生產工藝和設備,從而使得生產得到了有效的提高,因此當地主管部門想通過效率測算來分析新設備引進的效果和水平。表7和表8是企業引進新設備前后的相關數據。

表7　某地區10個企業在引進新設備前的投入產出指標數據

表8　某地區10個企業在引進新設備后的投入產出指標數據

以下應用(DIG)和(GD)分別進行計算,通過計算結果來說明本文測算效率方法的特點。

3.1該地區10個企業的綜合效率分析

取δ1=0,以10個企業在引進新設備前的投入產出數據作為參照的樣本,應用(DIG)和(GD)分別對設備引進前后的10個企業的數據進行計算,相應的結果如表9和表10所示。

從表9可以看出,由于決策單元和樣本單元集相同,此時(DIG)退化為傳統意義下的C2R模型,這時應用(DIG)和(GD)能算出所有單元的效率值,并且兩個模型測算出的效率值相同。由于(DIG)可以測算C2R模型下的單元效率值,因而(GD)也可以替代(DIG)測算傳統意義下的單元綜合效率。即(GD)具有較好的傳承性。

表9　規模收益不變條件下10個企業在引進新設備前的計算結果

表10　規模收益不變條件下10個企業在引進設備后的計算結果

從表10可以看出:①當決策單元集和樣本單元集不同時,應用(DIG)和(GD)算出的單元綜合效率相同。這表明,在規模收益不變的情況下(GD)完全可以替代(DIG)測算單元廣義DEA效率值。②從表10中的E2和E5兩個單元看,它們的產出相同,投入的勞動人數相同,而E2的生產成本是E5的1.61倍,超出20萬,但兩者的效率值卻相同。可見E2的生產效率明顯被高估了。

為了解決有效單元效率被高估問題,應用本文給出的新的效率測算方法可以得到表11中的結果。

表11　規模收益不變條件下4個有效企業的3種效率值

從表11可以看出:(DIG)和(GD)都可以算出單元廣義綜合效率值。但它們給出的都是激進型效率值。比如單元E2和E5的投入產出值分別是(14,53,42)、(14,33,42),而它們對應的投影點(即優秀的樣本單元)均為(15.75,36.75,42)。

從投入上看,投影點的人力投入均是E2和E5投入的1.125倍,而生產成本方面投影點僅為E2的0.693倍、是E5的1.114倍。其中投影點的生產成本并未超過決策單元的1.125倍,特別是對于E2而言,它的生產成本遠遠大于投影點。

保守型效率值則是取的兩種投入中單元和投影點相比優勢最小的指標值。比如投影點的人力投入均是E2和E5投入的1.125倍,而生產成本方面投影點僅為E2的0.693倍、是E5的1.114,E2的保守型效率值為0.693,E5為1.114。

平均型效率值則是同時考慮各投入指標的綜合情況,給出的結果具有平均性,比如E2和E5的平均型效率值分別是0.909和1.119,接近于保守型效率值和激進型的效率值的平均值。相對而言平均型效率值更能反映單元效率的實際情況。

3.2該地區10個企業的技術效率

取δ1=1,δ2=0,以10個企業在引進新設備前的投入產出數據為參照的樣本,應用(DIG)和(GD)分別對新設備引進前后的10個企業的數據進行計算,相應的結果如表12和表13所示。

從表12可以看出,由于決策單元集和樣本單元集相同,因此,(DIG)退化為傳統意義下的BC2模型,這時應用(DIG)和(GD)測算出效率值相同。由于(DIG)可以測算BC2模型下的單元效率值,因而,(GD)也可以替代(DIG)測算傳統意義下的單元技術效率。即(GD)具有傳承性。

表12　規模收益可變條件下10個企業在引進新設備前的計算結果

表13　規模收益可變條件下10個企業在引進新設備后的計算結果

從表13可以看出:

(1)當決策單元集和樣本單元集不同時,在應用(DIG)測算單元技術效率時,共有E4、E7、E9、E10四個單元存在無可行解的情況,這時應用 (DIG)已經無法獲得這些單元效率值,它們的效率值狀況和存在的優勢或需要改進的信息都已經無從獲得。然而,應用(GD)就可以給出更多信息。E4、E7、E9、E10的效率值分別是0.75、1.087、2.368、1.923。從E3和E4兩個單元看,它們的投入人數和生產成本相同,產出僅相差2.3%,應用(GD)測算的效率值均為0.75,說明模型(GD)在測算(DIG)模型無可行解情況下的單元效率上具有一定的合理性。當(DIG)有可行解時,從表13可看出,(DIG)和(GD)計算出的效率值相同。

(2)從另一方面看,在規模收益可變條件下單元的效率有時會被高估。比如表13中的E2和E5兩個單元,它們的產出相同,投入人數相同,而E2的生產成本是E5的1.61倍,超出20萬,但兩者的效率值卻相同。可見E2的生產效率明顯被高估了。

為解決有效單元效率被高估問題,應用本文給出的新的效率測算方法可以得到表14中的結果。

表14　規模收益可變條件下8個有效企業的四種效率測算值

從表14可以看出:(GD)可以算出單元的廣義技術效率值。但它給出的效率值是激進型的效率值。比如單元E2和E5的投入產出值分別是(14,53,42)、(14,33,42),而它們對應的投影點(即優秀的樣本單元)均為(30,30,42)。從投入上看,投影點的人力投入均是E2和E5投入的2.143倍,而生產成本方面投影點僅為E2的0.566倍、是E5的0.909倍。其中投影點的生產成本并未超過單元的2.143倍,特別是對于E2而言,它的生產成本遠遠大于投影點。

保守型效率值則是取兩種投入中單元和投影點相比優勢最小的指標值。比如投影點的人力投入均是E2和E5投入的2.143倍,而生產成本方面投影點僅為E2的0.566倍、是E5的0.909,E2的保守型效率值為0.566,E5為0.909。

平均型效率值則是同時考慮各投入指標的綜合情況,給出的結果具有平均性,比如E2和E5的平均型效率值分別是1.355和1.526,接近于保守型效率值和激進型效率值的平均值。

4　結束語

從上述討論看,原有的廣義DEA模型盡管很好地解決了DEA評價中參考對象的多元化問題,但對有效單元的度量還存在盲區(即模型存在無可行解的情況),同時,它對有效單元的度量還屬于激進型的度量方法。本文提出的方法不僅修補原有模型無可行解的缺陷,同時,也給決策者提供了多種觀察單元效率的視角。當然相應的工作可能存在這樣或那樣的不足,有待于進一步研究和發展。

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Measure method for efficiency of generalized DEA

MA Zhan-xin1,ZHAO Chun-ying2

(1.School of Economics and Management,Inner Mongolia University,Hohhot 010021,China; 2.School of Mathematical Sciences,Inner Mongolia University,Hohhot 010021,China)

There exist two problems that need to be solved on the efficient measure of generalized data eve-lopment analysis (DEA).Firstly,when the generalized DEA model is infeasible,the efficiency of the decision making unit cannot be expressed by detailed figures although it is efficient.Then,when decision making units are generalized DEA efficient,the efficiency of some decision making units may be over estimated.For these problems,first of all,a new generalized DEA model is given.Then,a necessary and sufficient condition for judging the infeasibility of the generalized DEA model is given as well as the condition that the efficiency of decision making unit is overvalued.At the same time,three methods to measure the efficiency of decision making unit are provided,and the relationship between these methods and the original method is discussed.Finally,a comparison study is done by an example.

comprehensive evaluation; multi-objective decision-making; data envelopment analysis (DEA); sample unit; data envelopment analysis projection

2015-09-14；

2016-05-21；網絡優先出版日期：2016-07-06。

國家自然科學基金(71261017，71661025)；內蒙古自然科學基金(2016MS0705)；內蒙古草原英才項目(12000-12102012)；天津市教委社會科學重大項目(2012ZD35)資助課題

N 94

ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.11.19

馬占新(1970-),男,教授,博士研究生導師,博士,主要研究方向為系統優化理論與方法、數據包絡分析。

E-mail:em_mazhanxin@imu.edu.cn

趙春英(1978-),女,講師,博士研究生,主要研究方向為最優化方法及應用、數據包絡分析。

E-mail:chunyingzhao2004@sina.com

網絡優先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160706.1959.010.html