陀螺尋北儀限幅系統魯棒近時間最優控制器

陳志翔,譚立龍,陳勵華

(1.火箭軍工程大學兵器發射理論與技術國家重點學科實驗室,陜西 西安 710025;2.火箭軍工程大學自動控制工程系,陜西 西安 710025)

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陀螺尋北儀限幅系統魯棒近時間最優控制器

陳志翔1,譚立龍1,陳勵華2

(1.火箭軍工程大學兵器發射理論與技術國家重點學科實驗室,陜西 西安 710025;2.火箭軍工程大學自動控制工程系,陜西 西安 710025)

針對陀螺尋北儀的限幅系統設計了一種魯棒近時間最優控制器。首先將陀螺尋北儀的快速限幅問題轉化為時間最優控制問題,然后提出設計一種魯棒近時間最優控制器來克服理論時間最優控制器的缺陷。該控制器結合了傳統的bang-bang控制,滑模控制以及一種備份控制。滑模控制器的設計運用時間最優控制的思想并通過Lyapunov穩定性理論推導出控制器參數的選擇標準。為了解決控制器在原點處不穩定問題,提出了另一類具有線性滑模面的滑模控制器作為備份控制。數值仿真結果證明了提出的控制器的可行性,在明顯降低抖振的同時在時間指標上與理論控制器相近。這種控制器的設計方法同樣適用于小阻尼項的二階系統。

陀螺尋北儀; 限幅系統; 時間最優控制; 滑模控制

0　引　言

陀螺尋北儀廣泛應用于工業的各個領域,同時陀螺尋北儀的尋北時間又是儀器的一個重要的指標。陀螺尋北儀定向主要可分為3步:粗尋北、限幅、精尋北。根據工程經驗,在整個尋北過程中,限幅時間占到整個尋北時間的三分之一左右[1]。因此,提高限幅效率是縮短尋北時間的有效途徑。

陀螺尋北儀的快速限幅問題可轉化為時間最優控制問題。控制的目標是將陀螺主軸在受限的控制律作用下,用最短的時間從初始狀態轉移到目標狀態。時間最優控制常稱作bang-bang控制。理論上的時間最優控制系統是不可行的,因為控制器對外界的干擾、模型的誤差以及參數的變化非常的敏感[2]。大量的文獻都研究了在保持控制器的近時間性質的同時提高控制器魯棒性的方法,這些方法已成功應用在硬盤驅動磁頭的定位[3-10](disk-drive head positioning)和取放機器人[11-16](pick-and-place robotics)上。

然而,在上述的應用中,系統的模型常被簡化為二階雙積分系統。1987年,文獻[17-18]針對二階雙積分系統建立了近時間最優伺服系統,(proximate time-optimal servomechanism,PTOS)。該系統只能用于與雙積分系統運動特性類似的系統。與此同時,文獻[11-13]針對二階雙積分系統也提出了一個非線性的控制策略來實現魯棒近時間控制。文獻[17-18]設計的PTOS和文獻[11-13]設計的控制器都得到了廣泛的應用,文獻[10]中詳細地闡述了兩類控制器之間的差別。近些年,近時間最優控制器又通過與其他控制理論的結合,得到了進一步的發展[19-21]。文獻[22-23]針對二階時不變系統提出了一種構造切換時間曲線的新方法,該方法通過簡單的算法來計算切換的次數以及切換的時間。文獻[24]將這種控制器應用到AFM的快速掃描上。但是該控制器并沒有克服bang-bang控制的抖振問題。類似地,文獻[25]針對一類具有虛特征值,控制律受限的二階系統,提出了理論上的時間最優控制器。實驗結果存在明顯的控制律抖振問題。傳統的魯棒近時間最優控制器已經不再適用于文獻[22-25]描述的系統。同時,陀螺尋北儀限幅系統的數學模型也是一個具有純虛特征值以及控制律受限的二階系統。系統模型與文獻[25]的系統相同,與文獻[22-24]描述的系統類似并忽略了阻尼項的影響。因此，需要針對這一類二階系統建立魯棒近時間最優控制器。

本文為陀螺尋北儀的限幅系統設計了一種魯棒近時間最優控制器。控制策略由bang-bang控制,滑模控制以及備份控制組成。滑模控制器的滑模面設計運用了時間最優的控制思想。備份控制是為了解決一類特殊的情況:系統在目標點附近無法滿足Lyapunov穩定性要求。文中利用一種具有線性滑模面的滑模控制器作為備份控制器來解決終端不穩定性問題,而非常規的PD控制[10-13]。魯棒近時間最優控制的基本思想為:設計出的滑模面將整個相平面分為兩個區域,根據系統狀態點位于的不同區域,控制器執行不同的控制方法,包括bang-bang控制、滑模控制以及備份控制。

1　問題敘述

陀螺尋北儀限幅系統的數學模型[26]為

(1)

式中,J表示陀螺靈敏部等效的轉動慣量;DK表示陀螺靈敏部指北力矩系數;DB表示懸帶的扭力矩系數;x是陀螺主軸與真北向的夾角,代表陀螺主軸的方位角;u代表控制輸入,限定在一個區間[-umax,umax],umax是由陀螺尋北儀的機械結構決定的。

系統的狀態變量定義為

(2)

式中,x1代表方位角;x2代表方位角速度。

時間最優控制問題可表述為

(3)

s.t.

(4)

(5)

控制律受到約束:u∈[-umax,umax]。

結合工程實際,根據陀螺尋北儀粗尋北精度和下放穩定性,假設在控制律的變化中,只有一次切換,如圖1所示。

圖1　時間最優軌跡Fig.1　Time-optimal trajectories

理論上的目標狀態為

終端條件可簡化為

(6)

式中,D=DK+DB；δ是一個小正數,代表限幅后的擺動幅度。

根據文獻[27-29],理論上的解析解可表述為

(7)

(8)

式中,s稱作切換線；λ=DB/DK。

bang-bang控制具有時間最優的特性,但是由于控制器對干擾誤差較為敏感限制了其應用。下面將提出一種魯棒近時間最優控制器來克服這一缺點。

2　魯棒近時間最優控制

(9)

2.1滑模最優控制

利用滑模控制的魯棒性來實現魯棒近時間最優控制,s=0為滑模面。為了執行滑模控制,等效控制律必須小于控制律的上界umax,預留部分控制律。當系統受到外界干擾、模型誤差的影響,狀態軌跡偏離滑模面s=0時,控制器可以利用預留的控制律來修正狀態軌跡,使其跟蹤滑模面s=0。因此,滑模面可表述為

(10)

圖2　相平面區域的定義Fig.2　Definition of state-space regions

在區域Ⅱ,當x2< 0時,反饋控制律可表達為

(11)

(12)

(13)

(14)

系統狀態可以在區域Ⅱ中的任意位置,因此x2可表達為

(15)

(16)

(17)

因此,ε必須滿足

(18)

(19)

通過將ε取足夠大以滿足上述的不等式:

(20)

同時式(11)描述的控制律必須是可以實現的,必須滿足如下條件:

(21)

(22)

(23)

為了消除式(23)滑模控制的抖振問題,引入飽和函數sat(s)代替理想滑動模態的符號函數sgn(s),即

(24)

式(24)說明:在邊界層外,采用切換控制,在邊界層內,采用線性化反饋控制。

修正的控制律可表述如下:

(25)

2.2一類特殊的情況

(26)

因此,隨著系統的狀態軌跡逐漸向目標點移動,不等式(18)將不成立。

(27)

(28)

2.3備份控制

這里,提出一種具有線性滑模面的滑模控制作為備份控制。

將偏離邊界層的狀態點記為:[x1_esc,x2_esc]T,并稱之為逃逸點(escaping points)。圖3線性滑模面可表達為

(29)

式中,c=| x2_esc/x1_esc |。

圖3　由逃逸點構造的線性滑模面Fig.3　Linear sliding surfaces constructed from escaping points

定義:

(30)

提出的控制律可表達為

(31)

式中,γ定義為

(32)

η是一個嚴格正的常數。μ可以表達為

(33)

可以證明在控制律式(31)的作用下,可以保證系統在式(29)描述的線性滑模面上運動的穩定性。穩定性證明如下。

考慮乘積:

(34)

將式(4),式(29)～式(33)代入式(34),可得

(35)

式(35)證明了滑模運動的穩定性。

綜上,提出的控制器的結構原理圖如圖4所示。

圖4　魯棒近時間控制器的原理圖Fig.4　Block diagram of the proposed controller

控制器的控制律可表述為

(36)

3　數值仿真

仿真結果如下:圖5為系統的狀態軌跡圖,圖6為圖5的終端區域局部放大圖,圖7為控制律的變化圖。

表1　仿真參數

圖5　系統的狀態軌跡Fig.5　The state trajectories

圖6　在終端附近狀態軌跡的放大圖Fig.6　State trajectories near the origin

圖7　3種情況控制律變化曲線Fig.7　Time-suboptimal control law with close-ups

根據圖6(a)、圖6(b)可以觀察到,由于參數的變化,特別是當辨識的參數與真值有較大的誤差時,在終端區域附近,系統的狀態軌跡可能會偏離邊界層并進入區域I,此時控制器將會執行具有線性滑模面的滑模控制,系統的狀態軌跡被調節在線性滑模面上移動。在圖6(c)中,系統的狀態軌跡一直位于邊界層內部,因此備份控制并未執行。

通過對上述仿真結果的分析可知,在參數變化的干擾下,設計的魯棒近時間最優控制器不僅可以消除理論的時間最優控制器的抖振現象,而且相對于理論的時間最優控制器,在時間指標上,可以實現近時間最優控制。

4　結　論

本文將陀螺尋北儀的快速限幅問題轉化為時間最優控制問題,并設計了一種魯棒近時間最優控制器。控制器由傳統的bang-bang控制,滑模控制以及備份控制組成,本文采用具有線性滑模面的滑模控制作為備份控制。該控制器的設計方法具有一定的普適性,可以應用到類似的小阻尼項的二階系統中。

下一步的工作是將設計的魯棒近時間最優控制器的初始條件拓展到整個相平面。

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Robust,time-suboptimal controller for damping systems of gyroscopes

CHEN Zhi-xiang1,TAN Li-long1,CHEN Li-hua2

(1.Armament Launch Theory and Technology Key Discipline Laboratory of China,Rocket Force University of Engineering,Xi’an 710025; 2.Department of Automatic Control, Rocket Force University of Engineering,Xi’an 710025)

A robust,time-suboptimal controller is proposed for damping systems of gyroscopes.The technique involves the combination of traditional “bang-bang” control with sliding-mode control and an alternating control.It incorporates the time optimal control idea into the sliding mode control design and the sliding mode control is established by Lyapunov function approach.A special situation about the instability problem near the origin is analyzed.To solve this problem,another sliding mode control with linear sliding surface,is proposed as an alternating control.Numerical simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed controller,reducing chattering significantly while performing nearly as well as the theoretical controller.This technique can be also applied to other similar second-order systems,which can neglect the damping term practically.

gyroscopes; limiting systems; time-optimal control; sliding mode control

2015-08-06；

2016-05-31；網絡優先出版日期：2016-06-22。

國家自然科學基金(41174162)資助課題

TN 384

ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.11.25

陳志翔(1991-),男,博士研究生,主要研究方向為導彈發射理論與技術、電磁彈射(EMLS)、最優控制、滑模控制、陀螺尋北。

E-mail:czx91154@163.com

譚立龍(1973-),男,副教授,博士,主要研究方向為導彈發射理論、慣性導航、自動控制技術。

E-mail:15349227983@189.cn

陳勵華(1976-),女,副教授,博士,主要研究方向為先進控制理論與應用、地磁導航。

E-mail:clhhxl@163.com

網絡優先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160622.1136.008.html