偏微分方程的積分變換法及其MATLAB解算

趙迎春，布仁滿都拉

（內(nèi)蒙古赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，赤峰　024000）

偏微分方程的積分變換法及其MATLAB解算

趙迎春，布仁滿都拉

（內(nèi)蒙古赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，赤峰024000）

積分變換是求微分方程解析解的一種重要的方法，其中傅里葉變換法和拉普拉斯變換法是最常用的方法。介紹傅里葉變換法和拉普拉斯變換法在波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程中的應(yīng)用，并用MATLAB軟件對(duì)方程作傅里葉變換法和拉普拉斯變換法，求解波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程的解。

傅里葉變換；拉普拉斯變換；積分變換；MATLAB

0　引言

在物理、化學(xué)、醫(yī)學(xué)和工程中，很多問(wèn)題是用數(shù)學(xué)微分方程來(lái)表示的，例如，稀薄氣體中的Boltzmann方程、電磁場(chǎng)滿足的Maxwell方程、流體滿足的質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒方程。從而，求解各類微分方程的解顯得尤為重要。求解微分方程方法有多種，如分離變量法、常數(shù)変易法、攝動(dòng)展開(kāi)法、數(shù)值方法和積分變換法等等，其中傅里葉變換和拉普拉斯變換是最常用的變換法。本文只討論這兩個(gè)方法，它適用于求解無(wú)界區(qū)域和半無(wú)界區(qū)域的問(wèn)題.對(duì)微分方程作傅里葉變換或拉普拉斯變換后，能減少自變量的個(gè)數(shù)，例如，對(duì)二階偏微分方程（自變量的個(gè)數(shù)為2）作積分變換后，偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠蹋瑢?duì)常微分方程作積分變換后方程變?yōu)榇鷶?shù)方程。然后，通過(guò)逆變換可求出原問(wèn)題的解。

1　傅里葉變換

定義［1，2］若函數(shù) f（t）在（-∞，∞）上絕對(duì)可積，在任一有限區(qū)間上滿足Dirichlet條件，則稱函數(shù)：

為f（t）的傅里葉變換。稱函數(shù)：

為C（k）的傅里葉逆變換。

微分定理［1，2］若lim|x|→∞f（n）（x）=0，則：

推廣到高階導(dǎo)數(shù)上，有：

例 求解無(wú)界桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題

這是一個(gè)非齊次常微分方程.用常數(shù)變易法可得：

作象函數(shù)的傅里葉逆變換，得：

MATLAB解算［3］：在MATLAB算法中，我們考慮具體的函數(shù)，在方程令f（x，t）=x+1，a=1，φ（x）=cos（x）。設(shè)函數(shù)矩陣 ［x+1，cos（x）］=h（x），令H（k）=F［h（x）］。在MATLAB中輸入：

>>u=ifourier（U，k，x）%回車，得：

于是原問(wèn)題的解為：

2　拉普拉斯變換

定義［1］設(shè)函數(shù)f（t）在區(qū)間 ［0，∞）上有定義，如果含復(fù)參數(shù)p的無(wú)窮積分對(duì) p的某一取值范圍內(nèi)是收斂的，則稱：

為函數(shù) f（t）的拉普拉斯變換，f（t）稱為原函數(shù)，F(xiàn)（p）稱為象函數(shù)。稱由象函數(shù)求原函數(shù)的積分。

為拉普拉斯逆變換，即有L-1［F（p）］=f（t）。

微分定理［1，3］設(shè) f（n）（t）（n=1，2，…）分段連續(xù)函數(shù)，則：

例 非齊次波動(dòng)方程

解：對(duì)方程和邊界條件作關(guān)于t拉普拉斯變換：

方程（16）的通解為：

由（16）知，A=B=0，所以：

對(duì)（18）作逆拉普拉斯變換，得：

>>syms t a x positive，syms k p

>>F=laplace（k*sin（pi*x/a），t，p）%回車，得：

F=k*sin（pi*x/a）/p

利用拉普拉斯變換的性質(zhì)和上面的MATLAB結(jié)果，對(duì)原方程和邊界條件作Laplace變換后，可得（15）-（16）。用MATLAB求解問(wèn)題 （15）-（16）：

>>syms x p c p a k

>>U=dsolve（'D2U-p2*U/c2=-k*sin（pi*x/a）/p'，'U（0）=0，U（a）=0'，'x'）；

>>disp（'U（x，p）='），pretty（U）%回車，得：

U（x，p）=

>>syms t positive

>>u=ilaplace（U，p，t）

u=k*c2*a2*sin（pi*x/a）*（1/pi2/c2-1/pi2/c2*cosh（pi*（-a2*c2）（1/2）/a2*t））

>>pretty（u）

于是原問(wèn)題的解為：

［1］張?jiān)?積分變換［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［2］谷超豪，李大潛，陳恕行，等.數(shù)學(xué)物理方程［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［3］石辛民，翁智.數(shù)學(xué)物理方程及其MATLAB結(jié)算［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2003.

Fourier Transform；Laplace Transform；Integral Transform；MATLAB

Integral Tansform Method for Partial Differential Equations and Its MATLAB Procedure

ZHAO Ying-chun，Burenmandula
（School of Mathematics and Statistics，Chifeng University，Chifeng 024000）

Integral transform method is an important method of solving partial differential equation.Among the Integral transform methods，the Fourier transform method and Laplace transform method are widely used.Introduces the applications of the Fourier transform method and Laplace transform method to the wave equation and the heat equation，uses MATLAB software to calculate the exact solutions of the wave equation and the heat equation.

1007-1423（2016）29-0053-03

10.3969/j.issn.1007-1423.2016.29.012

趙迎春（1983-），女，內(nèi)蒙古赤峰市人，碩士研究生，研究方向?yàn)槲⒎炙阕幼V理論

2016-07-26

2016-10-07