例說“裂項相消法”求和

林嘉慧

（龍巖市高級中學，福建龍巖364000）

例說“裂項相消法”求和

林嘉慧

（龍巖市高級中學，福建龍巖364000）

通過實例對數列中常用的“裂項相消法”進行如下分類解說：利用分式的基本性質裂項；利用分母有理化的方法裂項；利用排列數與組合數的性質裂項；利用指數冪與對數的運算法則裂項；利用三角公式進行裂項；利用抽象函數的定義裂項。

數列；裂項；相消

有些數列的前n項和，可以從通項出發，把數列的各項分裂為兩項的差的形式，使得相加后抵消絕對值相等而符號相反的項，從而達到求和的目的，這種方法叫裂項相消法。

裂項相消法是數列求和的通法，是一種重要而靈活的思維方式，不過對于一些數列而言，“裂項”是個難點，它沒有固定的模式，不易直接看出裂項的手段，這時就需要有敏銳的觀察、豐富的聯想、靈活的構思和創造性的思維等能力，找出通項的特點，研究其結構規律，找出裂項的途徑，達到求和的目的。

本文就裂項相消法的常見手段和求解方法例說如下：

一、利用分式的基本性質裂項

評析：從上例可以看出，分子是常數，分母是等差數列連續兩項或幾項連乘之積的通項，可利用分式的基本性質裂項，其解題技巧是先減后除公差。常見的裂項方法有：

二、利用分母有理化的方法裂項

評析：①本題的關鍵是通過分母有理化把通項的分母都變成常數2，從而達到裂項求和的目的.

②消去若干項后，前后剩的項要一樣多，剩的正項和負項也一樣多。要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源與目的。常見的裂項方法有：

三、利用排列數與組合數的性質裂項

例4.求數列1！·1，2！·2，3！·3，……，n！· n，……的前n項和.

解：∵n！·n=（n+1-1）！·n=（n+1）！-n！，

∴Sn=2！-1！+3！-2！+4！-3！+…+（n+1）！-n！=（n+1）！-1.

評析：利用階乘的運算法則與組合數的性質實施裂項，可以把復雜問題簡單化，達到求和的目的。

四、利用指數冪與對數的運算法則裂項

評析：本題是一差比數列，通?？捎缅e位相減法求和，但也可以用指數冪的運算法則，達到裂項求和的目的。

例9.已知數列｛an｝中，a1=3，a2=5，其前n項和Sn滿足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3）.令bn

（Ⅰ）求數列｛an｝的通項公式；

評析：本題（2）利用指數冪的運算法則把問題轉化成可以裂項的形式，這是證明數列不等式的一種途徑。

五、利用三角公式進行裂項

裂項法求和是近幾年高考的熱點，試題設計年年有變、有創新，但變的僅僅是試題的外殼，有效地實現化歸是解題的關鍵。

評析：本題利用兩角差正弦公式的逆用，創設了裂項求和的情景，快速求和。有效地訓練了學生綜合應用知識解決問題的能力。

六、利用抽象函數的定義裂項

例11.若函數f（x）滿足：f（1）=2，f（n+1）=f2

例12.定義在（-1，1）上的函數f（x）滿足①對任意x，y∈（-1，1）都有）.②x∈（=1，0）時，有f（x）＞0，

（1）判定f（x）在（-1，1）上的奇偶性；

（2）判定f（x）在（-1，1）上的單調性；

評析：以上兩例的解題關鍵在于挖掘抽象函數的特征，利用抽象函數的定義進行裂項，解法綜合性較強，要解決這類復雜問題的關鍵是要善于聯想善于分析問題和轉化問題，做到化繁為簡、化難為易。

一個龐大繁雜的求和式子，經過裂項相消后可化為簡單的結果，數學教育家張奠宙說過：“中學數學教學不能只滿足于對數學美的論述，更重要的是如何在數學教學中展現數學美，使學生能夠感受和欣賞數學美，把數學的美育功能真正落實在數學課堂上?！苯處熢谡n堂上有意識地讓學生體會欣賞裂項相消法中蘊涵的數學美，讓學生積極主動地參與，抓住通項的結構特征，尋求突破，學會裂項相消這種題型的解決策略，對提高學生的數學解題能力與審美情趣都是很有益的。

［1］朱月祥.裂項相消法的妙用與本質［J］.教育研究與評論，2014（11）.

［2］彭家麒.高考數列中裂項求和的模型［J］.上海中學數學，2014（10）.

［3］王晶晶.裂項相消魅力無窮［J］.高中數學教與學，2014（19）.

（責任編輯：王欽敏）