反證法在中學數學中的應用

覃春玲

摘 要 本文主要剖析了中學數學里常用到的使用反證法來證明命題，從六個方面進行了深入的研究。探討反證法在使用中常見的問題，揭示了反證法在中學數學的應用中有重要的、特殊的地位。

關鍵詞 反證法 中學數學 教學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）21-0088-02

在數學證題當中常常會運用到反證法，牛頓說過：“反證法是數學家最精當的武器之一”。通常來說，反證法通常用以去證明的題型有：“至少”或“至多”、命題的結論以“否定形式”“無限”“唯一”等形式出現的命題；或是否定結論更簡單、具體、明顯的命題；或是直接去證明比較難解出的命題，變換其思維方式，從結論下手使用反面思考，可能問題會柳暗花明。

一、基本命題

例1.已知：如圖1所示，AB⊥EF 于M，CD⊥EF 于N。求證：AB∥CD。

證明：假設AB，CD不平行，即AB，CD交于點P，則過點P有AB⊥EF，且CD⊥EF，與“過直線外一點，有且只有一條直線垂直與已知直線”矛盾?！郃B∥CD。

二、結論本身是以否定形式出現的一類命題

例2.求證：在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角。

證明：已知∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個內角。

求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個鈍角。

假如∠A、∠B、∠C中有兩個鈍角，不妨設∠A>90埃搖螧>90埃頡螦+∠B+∠C>180啊U庥搿叭切文誚嗆臀80啊閉庖歡ɡ硐嗝埽省螦、∠B均大于90安懷閃ⅰK?；个惹形不抠犥有两庚f勱恰

三、關于唯一性、存在性的命題

例3.試證明：在平面上所有通過點（，0）的直線中，至少通過兩個有理點（有理點指坐標x、y均為有理數的點）的直線有一條且只有一條。

證明：先證存在性

因為直線y=0，顯然通過點（，0），且直線y=0至少通過兩個有理點，例如它通過（0，0）和（1，0）。這說明滿足條件的直線有一條。

再證唯一性

假設除了直線y=0外還存在一條直線y=kx+b（k≠0或b≠0）通過點，0），且該直線通過有理點A（x1，y1）與B（x2，y2），其中x1、y1、x2、y2均為有理數。

因為直線y=kx+b通過點（，0），所以b=-k，于是y=k（x-），且k≠0.又直線通過A（x1，y1）與B（x2，y2）兩點，

所以 y1=k（x1-） ①

y2=k（x2-） ②

①-②，得y1-y2=k（x1-x2） ③

因為A、B是兩個不同的點，且k≠0，所以x1≠x2，y1≠y2，

由③，得k=，且k是不等于零的有理數。

由①，得=x1-

此式的左邊是無理數，右邊是有理數，出現了矛盾。

所以，平面上通過點（，0）的直線中，至少通過兩個有理點的直線只有一條。

綜上所述，滿足上述條件的直線有一條且只有一條。

四、結論以“至多”“至少”等形式出現的命題

問題以“至少”“至多”“最多”或“不多于”等方式出現的命題，我們能找到直接論證的理論根據很少，所以用直接證法有一定的困難。不過如果運用反證法，添加了否定結論這個新的假設，就可以推出更多的結論，從而容易使命題獲證。

例4已知：如圖3，四邊形ABCD中，對角線AC=BD=1。

求證：四邊形中至少有一條邊不小于。

證明：假設四邊形的邊都小于，由于四邊形中至少有一個角不是鈍角（這一結論也可用反證法證明），不妨設∠A≤90埃縈嘞葉ɡ恚肂D2=AD2+AB2-2AD·AB·cosA

∴BD2≤AD2+AB2，

即BD≤<=1

這與已知四邊形BD=1矛盾。

所以，四邊形中至少有一條邊不小于。

五、結論的反面比原結論更具體、更容易研究的命題

例5.求證：是無理數。（古希臘人引自百科全書）

分析：由于題目給我們可供使用的條件實在太少，以至于正面向前進一小步都非常困難。而無理數又是無限不循環的，“無限”與“不循環”都很難表示出來。當反設是有理數時，就增加了一個具體而有效的“條件”，使得能方便地將表示為一個分數。

證明：假設是有理數，則存在a，b∈N，且a，b互質，使=→a2→2b2從而，a為偶數，記為a=2c，∴a2=4c2，∴2c2=b2，則b也是偶數。由a，b均為偶數與a，b互質矛盾，故是無理數。

六、“必然性”問題

例6.若x1，x2，…，xn，xn+1均為小于1的非負實數，試證：其中一定存在兩個數，其差的絕對值小于 。

證明：不妨設x1

故xi（i=1，2，…，n+1）中一定存在兩個數，其差的絕對值小于。