由經(jīng)典模型出發(fā)，聚焦數(shù)列裂項求和的解法探究

于濤

[摘 要] 裂項求和是數(shù)列求和的重要方法之一，教學以兩種經(jīng)典模型為主.在具體應用中，不能解決經(jīng)典模型以外的裂項求和問題. 從一道裂項求和問題的解決方式出發(fā)，對裂項求和的結(jié)構(gòu)特征進行了分析，應用特殊與一般、轉(zhuǎn)化及類比等數(shù)學思想方法提出了兩個裂項求和的一般模型，使裂項求和的應用不局限于與等差數(shù)列有關的裂項求和. 在應用一般模型的過程中，旨在提升學生對問題的轉(zhuǎn)化能力，并掌握分析裂項求和的一般思路與策略.

[關鍵詞] 裂項求和；分子；分母；經(jīng)典模型；數(shù)列

在數(shù)列的綜合性問題中，符合裂項求和的通項公式具有特殊的結(jié)構(gòu)特征，這種特殊結(jié)構(gòu)在兩個經(jīng)典模型中，局限于與等差數(shù)列有關的通項公式，從而也體現(xiàn)了兩個經(jīng)典模型是裂項求和的兩個特殊模型，并不是一般模型. 文中結(jié)合一道裂項求和題目的求解過程，引發(fā)對裂項求和結(jié)構(gòu)特征的思考，將原有特殊模型轉(zhuǎn)化提升為一般模型.

這個題目是裂項求和問題，在學生思考求和時，根據(jù)通項公式的形式，容易排除公式求和、錯位相減求和、倒序求和，但是也很難與裂項求和聯(lián)系起來，這就不得不對裂項求和進行新的思考.學生不能很好地將問題轉(zhuǎn)化為裂項求和，主要原因在于，教學中有關裂項求和主要是下列兩個經(jīng)典模型.

上述兩個經(jīng)典模型不能應用于引例所處理的題目，它們的特殊性在于：均與等差數(shù)列有關. 引例中的通項公式相較而言就顯得更一般，這就引起了對引例與經(jīng)典模型在應用裂項求和中轉(zhuǎn)化的共同性的思考.

[?] 裂項求和的一般模型

1. 模型1的推廣

裂項求和的關鍵是如何將一項裂為兩項的差.觀察引例的解題過程，核心步驟為，問題在轉(zhuǎn)化過程中應用了分子與分母之間的內(nèi)在聯(lián)系，若記an=n2，則bn==-，不難發(fā)現(xiàn)分子為分母兩項的差.

2. 模型2的推廣

針對模型1的特征，將其推廣為模型3，由裂項核心思路的一致性，類比模型1推廣為模型3的方式，可將模型2推廣為模型4，模型4如下：

模型4：數(shù)列{an}，其中?n∈N*，an>0，=m（-）（其中k∈N*，m≠0）.

模型4的特征：

（1）分母為同一數(shù)列中兩項（一般為相鄰兩項）平方根的和；

（2）分子為分母中兩項的差或差的倍數(shù).

注意：{an}的數(shù)列類型不局限于等差數(shù)列，可以推廣至各種形式的數(shù)列，只需要求{an}中的所有項均為正項.

模型4可以裂項的結(jié)構(gòu)與模型3略有區(qū)別，它可以裂項的結(jié)構(gòu)特征為=k（-），能否求和依然需要A，B間存在聯(lián)系，因此A，B仍然要是同一數(shù)列中的某兩項（一般為相鄰兩項），這就使得原來的模型2成為模型4的一個特例，將{an}局限于等差數(shù)列的特殊情形推廣到符合要求的一般數(shù)列.

通過上述兩部分的分析，不難發(fā)現(xiàn)裂項求和轉(zhuǎn)化的關鍵為數(shù)列的通項公式能否轉(zhuǎn)化、如何轉(zhuǎn)化為符合裂項的結(jié)構(gòu)特征，即：或.

[?] 一般模型的應用

由于模型4應用于較復雜的通項公式與應用模型3的一般思路和策略相同，并且沒有發(fā)現(xiàn)有相關題目的考查，所以一般模型的應用主要以模型3為主.應用過程中的一般的解題策略為：若求和可能是裂項求和，在應用模型3時，從模型的兩個特征出發(fā)，先考慮分母是否是同一個數(shù)列中某兩項的積，再考慮分子是否與這兩項的差有倍數(shù)關系. 從解決裂項求和的一般策略里，能夠使得學生轉(zhuǎn)化問題、分析問題的能力提高到一個新的層次，不僅僅是記住模型，更重要的是提升學生分析問題、解決問題的能力.

下面通過3個題目的應用簡要分析應用模型3解題的一般思路.在選擇求和方法時，例1、例2、例3均可排除公式求和、錯位相減求和及倒序求和.

例1 （2010年湖南）給出下面的數(shù)表序列：其中表n（n=1，2，3，…）有n行，第1行的n個數(shù)是1，3，5，…，2n-1，從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和. （1）寫出表4，驗證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n（n≥3）（不要求證明）；（2）每個數(shù)列中最后一行都只有一個數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列1，4，12，…，記此數(shù)列為{bn}，求和：++…+（n∈N*）.

從而轉(zhuǎn)化為裂項求和問題.

例2在裂項求和的過程中，通項公式需要通過轉(zhuǎn)化才能應用模型3，解題的一般策略指導學生有了一般的思路，轉(zhuǎn)化分母與分子間的關系.

例3 （2006年山東）已知a1=2，點（an，an+1）在函數(shù)f（x）=x2+2x的圖象上.

（1）證明：數(shù)列{lg（1+an）}是等比數(shù)列；

（2）設Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及數(shù)列{an}的通項；

（3）記bn=+，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn，并證明Sn+=1.

分析：題目的難點在于第3問數(shù)列{bn}的前n項和Sn的求解，由前2問及題意得an+1=a+2an，an=32n-1-1，則bn=+==或bn=+=·

在上面的步驟中，無論{bn}的通項用an表示，還是用具體的關于n的式子表示，分母都只有數(shù)列{an}中的1項即第n+1項，在選擇求和方法時，較為貼近裂項求和，在轉(zhuǎn)化的過程中先考慮分母，兩項的積中的另一項選擇誰？根據(jù)經(jīng)驗及檢驗，選擇第n項.

例3應用裂項求和的難度更大，主要原因在于通項公式的形式與模型3的形式相比較，差距較大，需要通過較高的配湊技巧達到模型3的形式，從而應用裂項. 這一問還有另一個解法，以消元為主要思想，在這里不做介紹.從學生學習接受的角度，更多的學生覺得用裂項求和的配湊更易理解，同時也使得裂項求和的模型3的一般思路有了更廣泛的應用.

[?] 模型的再思考

一般模型在處理裂項求和問題時，能夠體現(xiàn)對模型的深入理解應從模型結(jié)構(gòu)入手，如文中所提到的兩個典型結(jié)構(gòu)或可以裂項，能否求和還決定于A，B的關系.再具體問題應用中，需要將實際問題聯(lián)系裂項的結(jié)構(gòu)進行轉(zhuǎn)化，進而實施裂項求和. 這也打破了原有模型的局限性，使得裂項求和能夠應用于更廣闊的范圍. 當然，是否還有其他結(jié)構(gòu)能應用裂項求和，文章沒有進行進一步的思考，只是針對原有兩個模型進行特殊到一般的提升. 在教學過程中，模型的深刻理解也讓學生對裂項求和等有關問題的轉(zhuǎn)化，有了思考方向，提高了化歸與轉(zhuǎn)化能力.

另外，新模型除了能夠幫助學生對裂項理解更深刻，對提高轉(zhuǎn)化能力有更大的幫助以外，也可以給出題者一個出題的思路，應用裂項的結(jié)構(gòu)，設置一個數(shù)列中的某兩項分別放入A，B，構(gòu)造出一個可以裂項求和的數(shù)列通項，對學生進行考查，打開了裂項求和更廣闊的天地.

以上是在日常教學中，總結(jié)歸納出的一點感悟，在解決裂項求和的問題中，能夠有助于學生找到難度較大的問題的思考方向，從而提升轉(zhuǎn)化能力. 文章對裂項求和的深入分析旨在希望學生能夠理解得更深刻，并培養(yǎng)學生對數(shù)學問題的抽象、分析、轉(zhuǎn)化能力.