時域有限差分法常用吸收邊界的性能分析

于　濤，戚宗鋒，李志鵬

（電子信息系統復雜電磁環境效應國家重點實驗室，河南洛陽471003）

時域有限差分法常用吸收邊界的性能分析

于濤，戚宗鋒，李志鵬

（電子信息系統復雜電磁環境效應國家重點實驗室，河南洛陽471003）

文章對時域有限差分法常用吸收邊界的性能進行了分析，包括Mur吸收邊界、PML（Perfectly Matched Layer）、UPML（Uniaxial PML）以及CPML（Convolution PML）。首先，簡要介紹了幾種吸收邊界的理論基礎；然后，根據前面理論進行Matlab仿真，通過采樣二維情況下的高斯源和正弦源激勵的電場值，分析比較4種吸收邊界的性能；最后，總結了各種吸收邊界的優劣和特點。

Mur吸收邊界；PML；UPML；CPML；時域有限差分法

在電磁場計算中，時域有限差分法（FDTD）是一種常用的數值計算方法［1-3］，它由K.S.Yee于1966年首次提出，是求解麥克斯韋方程組的直接時域方法。隨著計算機技術的不斷發展，FDTD已被廣泛應用于電磁輻射、散射、微波器件研究以及電磁兼容等方面［4-6］。

在FDTD分析中，吸收邊界的設置是一項很重要的工作，因為計算機容量的限制，FDTD計算只能在有限區域內進行，在計算區域截斷處設置吸收邊界，就是為了模擬自由空間或有耗無限大區域。1981年，Mur［7］提出了在邊界處的一階和二階吸收邊界及其離散形式，Mur吸收邊界是一種有效的吸收邊界條件，并在后續發展中獲得廣泛應用。1994年，Berenger等［8］將麥克斯韋方程擴展成場分裂形式，構成了完全匹配層PML，它是一種性能優異的吸收邊界。1995年，Sacks等［9］提出了各向異性介質的完全匹配層UPML，與Berenger提出的不同，它并不是將場分量進行分裂，在吸收介質中，波方程仍為完整的麥克斯韋方程。1994年，Chew等［10］引入了坐標伸縮中PML方程；文獻［11］給出了一種具有嚴格因果關系的復頻移PML（Complex Frequency-Shift，CFS）。2000年，Roden等［12］采用卷積形式有效執行CFS的方法，稱為CPML方法。吸收邊界問題一直是時域有限差分法研究的一個熱點［13-15］。

采用FDTD分析電磁輻射、散射問題時，計算區域大多為自由空間的情況，在此基礎上，本文就常用的FDTD吸收邊界，包括Mur、PML、UPML、CPML吸收邊界展開性能分析，經過原理分析，Matlab編程，分別以高斯源、正弦源在自由空間內激勵起的二維波為例，通過與在自由空間的波比較，考察各種邊界的吸收效果，為選用各種吸收邊界時提供參考。

1　吸收邊界理論基礎

FDTD吸收邊界是為了截取有限計算空間模擬無限大區域而人為限定的計算邊界。在二維情況下，計算區域一般為矩形區域；三維情況下，一般為立方體區域。為了簡單起見，本文以二維情況為例進行說明。下面，簡單介紹一下幾種吸收邊界的原理，具體推導可以參見文獻［16］。

1.1Mur吸收邊界

Mur吸收邊界是一種較為簡單的吸收邊界，參見圖1。

圖1　Mur吸收邊界Fig.1 Mur absorbing boundary

Mur吸收邊界是對Engquist-Majda吸收邊界條件進行泰勒級數展開，形成一階、二階Mur吸收邊界，在矩形4個邊界上的二階Mur吸收邊界為（以TM波為例）：

式（1）分別對應著左、右、上、下4個邊界條件，c為電波傳播速度，上面吸收邊界條件的FDTD更新方程為（以左邊界為例）：

對于四個角點處，需要單獨處理，以左下角點為例，它的FDTD更新方程為：

同樣，其他邊和角點的更新方程也可以得到。

1.2PML吸收邊界

PML吸收邊界是在FDTD計算區域截斷邊界處設置幾層特殊介質層，通過阻抗匹配條件，使得入射波無反射地進入介質層，介質層為有耗媒質，使得透射波將迅速衰減，達到介質的吸波功能。

圖2　PML邊界參數設置Fig.2 Parameter setting of PML boundary

在實際編程中，通常取得 σ1x=σ2x=σ1y=σ2y，

σ1mx=σ2mx=σ1my=σ2my，注意只是數值上相等。各取值可以參考相關文獻。PML層為有限厚度，最外層為理想導體。TM波在PML中的FDTD更新方程為：

1.3UPML吸收邊界

UPML吸收邊界由Sack等人提出，它與PML類似，需要設置幾層介質，這些介質選擇適當的單軸各向異性介質的本構參數，二維情況如圖3所示。

圖3　UPML邊界參數設置Fig.3 Parameter setting of UPML boundary

若UPML表面垂直于x軸，相對本構參數為：

同樣，若UPML表面垂直于y軸，參數為：

對于sx，y的取值，一般取作

κx，y、σx，y取值可參考文獻［16］，對于UPML內的更新方程，需要引入中間變量D、B，對于二維TM波來說，其更新方程為：

可以看出，電場更新方程的推進步驟為Hx，Hy→Dz，Dz→Ez。同樣，

磁場分量按照Ez→Bx，ByBx，By→Hx，Hy的步驟推進，注意在更新過程中，κx、κy、σx、σy在UPML不同的位置上取值不同，并不是保持不變的。

1.4CPML吸收邊界

CPML吸收邊界是基于坐標伸縮麥克斯韋方程導出平面波在分界面的無反射條件，坐標伸縮麥克斯韋方程是將原算子?定義成?s，即：

經過復雜推導可知，以二維情況為例，如果分界面一側為常規介質，參數為ε1、μ1，另一側為坐標伸縮介質，參數為ε2、μ2、s2x、s2y。當分界面垂直于x軸時，只需ε2=ε1、μ2=μ1、s2y=1，同樣，當分界面垂直于y軸時，只需ε2=ε1、μ2=μ1、s2x=1，波在分界面不會發生反射。對于沒有限制的參數，一般取作：

可以看出，sw的選擇與UPML參數相似，只是分母多了個aw，主要是為了改善對倏逝波和低頻波的吸收。對于κw、σw、aw的數值選擇，可以參考文獻［16］。

由于sw選用了式（19）結構，伸縮坐標麥克斯韋旋度方程的時域形式會出現卷積運算，以二維TM波為例，波分量分別為：

將式（20）第1式卷積項記為：

通過遞歸卷積技術對式（21）卷積進行處理，使之具有迭代特性，為：

因此，TM波在伸縮坐標介質中的FDTD更新方程為：

式（23）中：

可見，與自由空間相鄰的CPML中的步進步驟為E→ψHwv，E、ψHwv→H，H→ψEwv，H、ψEwv→E。

至此，已經簡單介紹了4種吸收邊界的原理，并給出了二維情況下TM波的FDTD更新方程。對于TE波，可以通過對偶原理得到，不再詳述。

2　編程分析

本文采用Matlab平臺，對這4種吸收邊界進行了編程分析，分別就高斯源和正弦源2種情況，討論4種吸收邊界的性能。

本文的算例為一自由空間，由80×80個網格構成，單元網格為邊長為1mm的正方向網格。在自由空間的中心放置z方向的外加電流源，定義取樣z向電場，位于源中心右上角20個網格處，示意圖如圖4所示。運行時間為1 800時間步。

圖4　算例示意圖Fig.4 Schematic diagram of calculation example

對于Mur吸收邊界，不需要在自由空間外圍添加介質層，對其他3種邊界需要添加介質層，本文添加了10個網格作為介質層，因而總的網格數為100×100。

為了確定各邊界的吸收性能，本文給出了一個參考例子，該參考例子與算例相同，只是自由空間由1 200×1 200網格構成，并且四周為PEC邊界，由于自由空間較大，反射波在1 800個時間步后不能達到取樣點，故取樣點的電場可作為自由空間內的參考場。

1）高斯源激勵。首先，采用高斯電流源激勵，由于電流為z向，因而激勵起TM波向外傳播，通過構造高斯源，使之頻帶范圍為20 MHz～20 GHz。在參考例子中，得到取樣點的電場隨時間的變化，如圖5所示。

圖5　參考例子取樣點電場Fig.5 Field of sample point in reference example

分別采用4種吸收邊界，在取樣點得到的電場如圖6所示。從圖6中可以看出，PML、UPML以及CPML的電場線條幾乎重合在一起，通過放大圖可以看到Mur吸收邊界與其他3種邊界稍有不同，為了明顯表示出4種邊界與參考例子的結果的差異，引入誤差函數：

Error的時間函數如圖7所示。

圖6　4種吸收邊界下取樣點電場Fig.6 Field of sample point of four absorbing boundaries

圖7　誤差函數隨時間的變化Fig.7 Change of Error function versus time

從圖7中可以看出，在波形變化最劇烈的時間段里，吸收性能強弱依次為CPML、UPML、PML、Mur。在本例中，取樣點離邊界比較遠，CPML、UPML、PML這3種吸收邊界性能相差不是很大，但依然要比Mur吸收邊界要好的多。這里繼續考察誤差函數在頻域中的變化，即

式（31）中，F（·）表示傅里葉變化。

Errorf圖如圖8所示。

圖8　誤差函數隨頻率的變化Fig.8 Change of Error function versus frequency

從圖8可以看出，CPML在整個頻域內都表現出很好的吸收性能，UPML在整個頻域內表現出了吸收的穩定性，而PML同樣具有較好的吸收效果，但是在低頻時性能要差于CPML和UPML。對于Mur吸收邊界，依舊是這4種吸收邊界最差的1種吸收邊界。但從消耗內存和時間方面來講，Mur吸收邊界由于不需要額外介質層，建模時網格數要少，并且邊界處理簡單，因而是消耗內存和時間最少的1種吸收邊界。表1展示了4種邊界計算時耗費的時間。從中可以看出，PML、UPML、CPML消耗時間相差無幾。

表1　4種邊界計算時間Tab.1 Computation time of four boundaries

2）正弦源激勵。將上個算例中的高斯源換成正弦源，頻率為15 GHz，同樣，在取樣點采樣電場分量，在自由空間內波形如圖9所示。

圖9　參考例子取樣點電場Fig.9 Field of sample point in reference example

4種吸收邊界取樣點誤差函數如圖10所示。從圖10可以看出，當激勵源為正弦波形時，誤差函數呈現出周期變化的形式，而且每一種吸收邊界相對于高斯波形，吸收性能都有所下降，例如CPML在高斯波形時誤差函數在-100dB之下，在正弦波形中，誤差函數在-60dB左右，其他3種也出現相同的特點，Mur吸收邊界從-50dB下降到-20dB左右。究其原因，本文認為相比高斯信號，周期信號變化劇烈，誤差累積較大引起的。而且PML、UPML、CPML這3種吸收邊界對正弦波信號的吸收沒有太大差別。

圖10　誤差函數隨時間的變化Fig.10 Change of error function versus time

對于正弦波激勵，還可以考察在整個網格內的等相位線。相比其他3種邊界，以吸收性能較差的Mur吸收邊界為例，如圖11所示，可以看到邊界處吸收性能良好，等相位線呈同心圓分布，而且其誤差函數呈現穩定性能，可以迭代足夠長的時間而不產生數值發散。由此可以看出，雖然各吸收邊界的性能相比有強有弱，但都是性能比較好的吸收邊界。

圖11　Mur吸收邊界正弦波等相位線Fig.11 Sine wave equal phase line of Mur absorbing boundary

3　總結

本文對FDTD常用的吸收邊界進行了性能分析，首先簡要介紹了幾種常用吸收邊界（Mur、PML、UPML、CPML）的基本原理，從中可以發現Mur吸收邊界原理最為簡單，其他3種邊界理論較為復雜。采用Matlab編程，考察各吸收邊界的性能，通過對高斯型和正弦型信號傳播進行分析，總體來說，Mur吸收邊界不如其他3種邊界吸收效果，PML吸收邊界在低頻段吸收性能變弱，UPML對各頻段電磁波的吸收具有比較好的穩定性。CPML的吸收性能在各個頻段內都具有比較好的吸收性能。對于正弦波信號，4種吸收邊界的性能都有所下降，但還是具有比較好的吸收效果，即便對于性能最差的Mur吸收邊界。采用FDTD分析電磁輻射或散射時，這4種邊界選擇可以是任意的，也可以根據實際情況加以選擇。如果對精度要求不高，要求又快又省內存，可以考慮采用Mur吸收邊界。如果對精度要求較高，且波源是寬帶源時，可以考慮采用CPML吸收邊界。隨著算法深入研究，不同場合下的吸收邊界問題也被逐步研究，例如并行算法、非均勻網格下的吸收邊界問題［17-18］。

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Performances Analysis of Absorbing Boundaries Used Commonly in Finite Difference Time Domain

YU Tao，QI Zongfeng，LI Zhipeng
（State Key Laboratory of Complex Electromagnetic Environment Effects on Electronics and Information System，Luoyang Henan 471003，China）

The performances of absorbing boundaries used commonly in FDTD，including Mur absorbing boundary，PML，UPML，CPML，were analyzed in this paper.Firstly，the theoretic foundations of this several absorbing boundaries were introduced briefly.Then，the performances were simulated using Matlab based on the first part by capturing the electric fields of Gauss source and sine source，respectively.Finally，the characteristics of the four kinds of absorbing boundaries were summarized.

Mur absorbing boundary；PML；UPML；CPML；FDTD

TN011；O441.4

A

1673-1522（2016）05-0506-07

10.7682/j.issn.1673-1522.2016.05.002

2016-04-25；

2016-07-12

省部級預研基金資助項目（51333020201）

于濤（1986-），男，工程師，博士。