助推-滑翔導彈跳躍彈道優化技術

助推-滑翔導彈跳躍彈道優化技術

戴邵武1，于麗1，2，單崇喆3
（1.海軍航空工程學院控制工程系，山東煙臺264001；2.煙臺工貿技師學院，山東煙臺264003；3.91515部隊，海南三亞572016）

滿足約束條件下的彈道優化技術能有效提高助推-滑翔導彈的生存能力和毀傷能力。在充分消化吸收現有彈道優化方法的基礎上，提出了一種直接打靶法與序列二次規劃相結合的彈道優化思路，具體設計了按時間進行離散化、按距離進行離散化和函數逼近3種方案，并通過全彈道仿真對所設計方案進行了對比研究，驗證了設計方法的有效性。

助推-滑翔導彈；彈道優化；直接打靶法；序列二次規劃

隨著軍事科技的發展，彈道導彈的攔截技術日益成熟，而傳統彈道導彈的彈道相對容易被跟蹤和攔截，使得各國迫切地需要一種射程遠、打擊精度高、突防能力強的新型導彈來承擔戰略威懾任務［1-3］。在此背景下，研究人員提出了一種將彈道導彈與巡航導彈相結合的方案，把傳統彈頭換成新型的滑翔彈頭，從而組合成助推-滑翔導彈，能夠滿足國防戰略的需要，同時有效利用了現有的軍事資源，但是這種組合導彈的應用還面臨著諸多的挑戰［4-7］。其中，最主要的挑戰是各國導彈防御系統的發展使得攻擊導彈的生存空間受到了極大的壓縮，為了增加助推-滑翔導彈的生存能力，并實現對目標的有效打擊，對跳躍彈道進行優化成為當前最緊迫的任務［8-10］。

彈道優化很早就引起了國內外學者的重視，J.P. Marec在其《最優航天軌跡》中對飛行器在真空中飛行時的彈道優化問題進行了詳細論述。當導彈在大氣中飛行時，需要研究大氣對飛行器飛行最優彈道的影響。原蘇聯早在50年代就開始對這一課題進行了研究，第一本關于大氣中最優彈道的著作是克羅托夫、布克列耶夫和吉爾曼的《飛行動力學的新變分法》。此外，什卡多夫、布哈諾娃、伊拉里奧諾夫和洛希赫著的《大氣中飛行器最優三維運動力學》，N.H.薩道夫斯基的《火箭最佳運動狀態研究》都是同時期的研究成果。隨著計算機技術和現代控制理論的迅速發展，為飛行器彈道優化問題的研究提供了新的理論基礎和應用計算工具。在軍事和航天科學的推動下，自動控制、數學、飛行力學三門學科相互滲透、互相交叉，促進了飛行力學的發展，特別是飛行器的彈道優化問題，在此期間大量的飛行器彈道優化的著作先后相繼發表［11-16］，對這些成果進行歸納總結，按照不同的分類標準，將彈道優化方法分為了5類：直接法和間接法、積分法和微分法、單目標優化和多目標優化、確定性優化和魯棒性優化、純數學方法和非純數學方法。

本文從工程實現的角度出發，在對現有方法進行消化、吸收和比對的前提下，將直接打靶法和序列二次規劃法相結合。首先，利用直接打靶法對彈道參數進行離散化處理，將彈道優化問題轉化為約束條件下的非線性規劃問題；然后，利用序列二次規劃法進行尋優，并以新型助推-跳躍導彈為研究對象設計了三種優化方案；最后，通過全彈道仿真驗證了設計方法的有效性。

1　初始條件及彈道約束

1）初始條件。本文所要研究的助推-滑翔導彈的是一個無動力的滑翔體，其質量為m，參考面積為Sref，參考長度為Lref，發射點的地理坐標為（λs0，φs0），目標點的地理坐標為（λsT，φsT），射向為AT。軸向力系數CA（Ma，α）和法向力系數CN（Ma，α）都是馬赫數Ma與攻角α的函數，其定量關系已知。

2）終端約束。彈道-滑翔導彈的滑翔彈頭是一種精確制導武器，為了能夠更加有效地對目標實施打擊，對其滑翔段的終點處的約束條件為：

①滑翔段終點速度vmin≤v（tf）≤vmax；

②滑翔段終端傾角Θmin≤Θ（tf）≤Θmax。

其中，tf是指到達滑翔段終點的時刻。

3）控制量約束。由于滑翔導彈彈體結構與姿態控制系統工作的局限性，滑翔導彈的攻角不宜過大，而且變化應該盡量緩慢，以免攻角變化太快，導致飛行失控。

①攻角αmin≤α≤αmax；

②攻角變化率α˙min≤α˙≤α˙max。

4）法向過載約束。法向過載的最大值主要取決于滑翔導彈的結構強度，以及彈載設備的承載范圍。為了滿足滑翔導彈的設計要求，相應的法向過載ny滿足。

5）飛行高度及飛行時間約束。為提高彈頭的突防能力，需要規避地方的攔截區域，這里將對滑翔段的飛行高度進行限制，另外，導彈飛行時間越長，被攔截的幾率就越大，所以還需要對飛行時間進行限制，具體如下：

①進入跳躍飛行后的飛行高度Hmin≤H≤Hmax；

②飛行時間tf≤tmax。

6）動壓約束。動壓的極限值主要取決于導彈外殼的熱防護材料強度，以及承受的氣動控制鉸鏈力矩，具體形式為qmin≤q≤qmax。

初始條件中射向與發射點和目標點所在平面共面，且初始點位置和速度也基本在射面內，因此可以假定導彈的控制系統可以及時消除側向運動，保證導彈在射面內飛行，此時將三維問題轉化為二維問題，即在發射坐標系的縱平面內研究導彈的飛行過程，另外，導彈的初始位置和速度是在發射慣性系中定義的，通過簡單的坐標變換就可以轉到發射坐標系中。

2　彈道優化方案設計

彈道優化的目標是使導彈的落地速度最大，因此選擇目標函數為

彈道優化的第一步是參數化，這里選取直接打靶法［17］的設計思路，具體包括以下3種方案。

方案1：按時間進行離散化。按導彈飛行時間將飛行過程分為N段，每一段可以表示為［ti，ti+1］，i=0，1，…，N-1，其中，ti和 ti+1稱為節點，tN=tf。在每個子區間［ti，ti+1］中，選取端點處（即節點處）的控制變量u（ti）作為參數的一部分，而對于任一時刻t∈［ti，ti+1］，i=0，1，…，N-1處的控制變量，可以通過插值的方法獲得，本文采用三次樣條插值方法來近似控制變量u（t）。

對于終端約束是容易處理的，只需要按文中的指標加以限制即可，而對于其它約束來說，由于約束本身是一個連續的過程，而離散化后只能對節點進行限制，而在節點與節點的區間內卻沒有辦法保證滿足限制條件。本文的處理是，如果在某一區間內的約束超標，那么就在此區間內繼續增加節點，直到所有約束滿足條件為止。

方案2：按飛行距離進行離散化。按導彈飛行距離將飛行過程分為N′段，每一段可以表示為［xi，xi+1］，i=0，1，…，N′-1。這種劃分的好處是導彈的起始和終端位置是一定的，因此，只需要對節點處的參數進行處理即可，可在很大程度上減少迭代次數。

方案3：函數逼近。眾所周知，任何周期函數都可以用正弦函數和余弦函數構成的無窮級數來表示（選擇正弦函數與余弦函數作為基函數是因為它們是正交的），也就是我們所熟知的傅里葉級數。其展開式的形式為：

如果把控制量寫為

那么，就可以選擇參數為

其中，n越大，則逼近精度越高。

如果經優化計算后得到的參數為

則最優解為

參數化完成后，利用序列二次規劃法進行優化設計，具體方法參見文獻［18］。

3　仿真分析

為了了解該飛行器的飛行性能，首先使導彈按照最大升阻比狀態進行飛行，這里稱之為最大升阻比飛行方案，以便在之后的仿真中簡化約束條件，加快仿真速度，并進行仿真對照。

彈道仿真中選取速度v、彈道傾角θ、橫向坐標x、縱向坐標y、過載ny和飛行高度H作為狀態量，攻角α作為控制量，建立導彈運動微分方程組，積分采用四階龍格庫塔法，步長選取為Δt，只要Δt選取足夠小，就可以保證仿真的精度。偏導數的計算采用數值差分，步長選為單位步長。

1）最大升阻比飛行方案。已知軸向力系數CA（Ma，α）和法向力系數CN（Ma，α）與馬赫數Ma與攻角α的定量關系，在固定馬赫數的前提下，容易得到最大升阻比所對應的攻角α。落地傾角Θ（tf）=-73.9°，落地速度v（tf）=624.68 m/s，落地總攻角αtf=0°，飛行時間tf=341 s，仿真結果如圖1所示。從仿真結果中可以看出，導彈的飛行狀態滿足約束條件，而且落地速度也處于允許的范圍之內，這說明最大升阻比飛行方案本身就是一種可行方案，此時對應的攻角α取值范圍為9°～10°。另外，在攻角α在取邊界值情況下的縱向過載ny滿足約束要求，這說明只要攻角α滿足約束要求，那么過載ny必定處于允許的范圍之內，因而過載的約束可以暫不考慮。

圖1　最大升阻比飛行方案的仿真結果Fig.1 Simulation results of maximum lift-drag scheme

2）方案1（按時間進行離散化）。落地傾角為Θ（tf）=-88.64°，落地速度為v（tf）=788.06 m/s，落地總攻角為αtf=-0.3°，飛行時間為tf=281.84 s，仿真結果見圖2。由于沒有對攻角變化率進行限制，因而在攻角隨時間變化曲線中出現了跳變的情況，但因末制導律的設計對滑翔段終點的約束比較寬松，所以這并不會對仿真結果造成影響。由于參數選擇過程中加入了飛行時間一項，與其他的參數項具有不同的量綱，因此在迭代過程中Hessen陣可能會出現近似奇異的情況，整個仿真過程的迭代總步數為153，算法的收斂速度較慢。要解決這一問題可以進行無量綱化，但這無疑又增加了計算量，提高了彈道仿真的工作量。

圖2　按方案1飛行時的仿真結果Fig.2 Simulation results of the first scheme

3）方案2（按飛行距離進行離散化）。落地傾角為Θ（tf）=-85.44°，落地速度為v（tf）=899.82 m/s，落地總攻角為αtf=-0.7°，飛行時間為tf=292.70 s，仿真結果見圖3。由于方案2采用的是對飛行距離插值，其突出的優點是終端固定，選定的參數都具有同一量級，因而收斂速度較快，總的迭代步數為52，較方案1有較大改進，而且導彈的落地速度在3種方案中是最大的，對于各約束條件也能較好地滿足。該方法的缺點是工程實現的難度較大，因距離是無法精確測量的，彈上慣導設備的誤差將直接影響算法的運行。

圖3　按方案2飛行時的仿真結果Fig.3 Simulation results of the second scheme

4）方案3（函數逼近）。落地傾角Θ（tf）=-74.81°，落地速度v（tf）=443.81 m/s，落地總攻角αtf=-0.2°，飛行時間tf=331.79 s，仿真結果見圖4。從仿真結果可看出，方案3的攻角在部分區域超出了限值，這是由此種算法本身造成的，因為方案3采用的是函數擬合法，并沒有進行區間劃分，因而參數值對區間的約束不敏感，即使對區間繼續分割仍然無助于問題的解決。并且導彈的落地速度也略小于約束的下限，從嚴格意義上來說該方法并沒有達到預期的目標。但該方法也具有其自身的優勢，算法的收斂速度較快，而且參數的意義明確，通過增加參數的數量勢必可以得到全局最優解，可以將此作為下一步繼續研究的方向。

圖4　按方案3飛行時的仿真結果Fig.4 Simulation results of the third scheme

5　結論

本文圍繞助推-滑翔導彈跳躍彈道優化的熱點問題展開研究，從工程實現的角度出發，充分考慮了導彈飛行過程中所受到的約束，提出了一種直接打靶法和序列二次規劃法相結合的彈道優化思路，利用直接打靶法對彈道參數進行離散化處理，將彈道優化問題轉化為約束條件下的非線性規劃問題，然后利用序列二次規劃法進行尋優；并在此思路的指導下，具體設計了3種優化方案，最終全彈道仿真結果表明，3種優化方案均能滿足設計要求，具有重要的工程實踐意義和應用前景。

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Skip Trajectory Optimization Algorithm For Boost-Glide Missile

DAI Shaowu1，YU Li1，2，SHAN Chongzhe3
（1.Department of Control Engineering，NAAU，Yantai Shandong 264001，China；2.Yantai Industry&Trade Technician College，Yantai Shandong 264003，China；3.The 91515thUnit of PLA，Sanya Hainan，572016，China）

Development of trajectory optimization algorithm under certain constraint condition can effectively improve viability and damage ability of boost-glide missiles.A new trajectory optimization method combining direct shooting algorithm and sequential quadratic programming algorithm was proposed based on sufficient understanding of existing optimization methods.Concretely，three schemes（including discretization scheme according to time，discretization scheme according to distance and functional approximation scheme）were designed.Finally，comparative study of the designed schemes was made via full trajectory digital simulation，and simulation results validated the effectiveness of the proposed method.

boost-glide missile；trajectory optimization；direct shooting algorithm；sequential quadratic programming

TJ761.3

A

1673-1522（2016）05-0533-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2016.05.007

2016-08-08；

2016-09-03

戴邵武（1966-），男，教授，博士。