依類比教學優化知識網絡、提升遷移能力
——以“線段與角”復習課為例

江蘇省蘇州學府中學 陳偉華

依類比教學優化知識網絡、提升遷移能力
——以“線段與角”復習課為例

江蘇省蘇州學府中學 陳偉華

通過類比的方法教學，不僅有利于學生構建系統的知識結構、優化知識網絡，也可以提高學生的遷移能力，達到事半功倍的效果。

類比；遷移；知識網絡；線段與角

“類比”是根據兩個不同的對象，但在某些方面（特征、屬性、關系等）的類同之處，推測這兩個對象在其他方面也可能有類同之處；“遷移”是利用新舊知識、新舊規律之間的相似、相通之處，將所學的方法應用到新情境中，解決新問題的一種能力。《義務教育數學課程標準》也指出：……通過觀察、操作、歸納、類比、推斷等數學活動，體驗數學問題的探索性和挑戰性，感受數學思考過程的條理性……

通過不同知識內容間的類比可以實現問題的遷移和化解，進而形成知識的廣泛遷移能力，可以避免對知識的死記硬背，實現知識點之間的貫通理解和轉換，有利于認識問題的本質和規律，構建知識結構網絡，提高解決問題的靈活性和有效性。線段與角是平面圖形的基礎，它們之間有不少相似、相通之處。在復習時，筆者特別增加了一節從類比的角度來關注、辨析線段與角的復習課，取得了良好的教學效果。本文筆者以此為例，談談“類比”教學，與同行交流。

一、“線段與角”類比復習課過程簡記

1.活動一：線段與角的大小類比

例1：如圖1所示，估計線段AB與線段BC的大小關系，再用刻度尺或圓規來檢驗你的結論。

例2：如圖2所示，估計∠AOB 與∠BOC的大小關系，再用量角器或圓規來檢驗你的結論。

圖1

圖2

簡析：對于例1，我們可先用目測估計，再用度量法或疊合法。用度量法時，先用刻度尺量出線段AB與線段CB的長度，再做比較；用疊合法時，先用圓規量出線段AB的長，再用圓規的一端和點B重合，當另一端和點C重合時，AB=BC；否則，會有AB＜BC或AB＞BC。與例1類似，例2也可用目測估計、用量角器度量、用圓規疊合的方法。兩個例題形式相同，答案相似。通過類比，學生感受到了不同問題之間的聯系。

2.活動二：線段條數與角的個數類比

例3：如圖3所示，在線段AB上取3個點C、D、E，則圖中共有幾條線段？在線段AB上取n個點呢？

例4：如圖4所示，在∠AOB內部引3條射線OC、OD、OE，則圖中共有幾個角？在∠AOB內部引n條射線呢？

圖3

圖4

3.活動三：線段與角的和差關系類比

例5：如圖5所示，點C、D在線段AB上，

則AD=________+________=________-________。

例6：如圖6所示，在∠AOB內部引2條射線OC、OD，

圖5

圖6

則∠AOD =∠_____+∠_____=∠_____-∠_____。

簡析：線段與角的和差關系是幾何證明的基礎，在證明的方法、策略、內容和形式上都具有相通性，都是將線段（或角）轉化成若干條線段（或角）的和或差，從而解決問題。通過以上類比教學，學生的相關知識網絡得到了優化，遷移能力得到了提升。

4.活動四：線段的中點與角的平分線類比

例7：如圖7所示，點C在線段AB上，點D、E分別是線段AC、CB的中點，若AB=6，求DE的長。

圖7

圖8

例8：如圖8所示，射線OC在∠AOB內部，射線OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的平分線，若∠AOB=130°，求∠DOE的度數。

簡析：在講解例7時，老師可以先詳細地復習與線段中點的相關知識點，特別是引導學生掌握其中最基本的幾何語言，點D是線段AC的中點（中點的定義）。由于本題沒有給出兩條線段AC、CB的具體數值，只給出兩條線段BC的和AB的長度，導致有的同學無從下手，有的同學只會寫出結果，不能有條理地表達解題過程，，老師可以把以上解題過程進行板書。然后，讓學生模仿例7來解答例8，并要求用規范的幾何語言表達解題過程。通過類比，能較快提升學生使用數學語言表達問題的能力。

5.活動五：未知圖形條件下的分類討論

例9：若線段AB=6，點C在直線AB上，點D、E分別是線段AC、CB的中點，求DE的長。

例10 若∠AOB=130°，引一條射線OC，射線OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的平分線，若∠AOB=130°，求∠DOE的度數。

簡析：例9中，因為點C在直線AB上，而且圖形又未知，因此，需要分類討論三種情形：

情形1：當點C在線段AB上時，解得：DE=DC+CE=…=3

情形2：當點C在線段AB的延長線上時，解得：DE=DCCE=…=3

情形3：當點C在線段BA的延長線上時，解得：DE=CEDC=…=3

在復習中，很多同學由于考慮得不完備而漏掉一解，通過吃一塹長一智，在做例10時，同學們會變得更謹慎，達到了舉一反三的目的，例10解略。

二、依類比教學優化知識網絡、提升遷移能力

1.運用類比，構建系統的知識結構，優化知識網絡

知識與技能的習得有同化和順應兩個過程，在習得的過程中有“不平衡”和“平衡”兩種狀態。若能巧妙地運用類比的方法進行遷移教學，不僅可以讓習得的過程進行得更順暢、更高效，還有利于學生保持習得內容長久穩定。數學知識是一個聯系的整體，特別是有些并列的數學知識，它們研究的對象同類，研究內容相近，研究的方式相同，因而它們學習的經驗可相互借鑒。我們可以合理地運用類比的策略，引導學生在類比中探究，在探究中掌握新知識，形成穩定、清晰且整體的知識網絡。

線段與角是最簡單、最基本的平面圖形，是研究其他圖形性質的基礎。線段與角在它們的度量、條數個數、和差關系等性質的研究思路相同，如線段中點與角的平分線的定義、幾何語言的表述和說理、運用等方面都可以進行類比。通過這種類比教學，學生不僅可以加深對這兩種圖形的認識，而且還可以體會到知識之間存在的關聯，在頭腦中形成鮮明、清晰的印象和知識結構，構建起知識網絡，這為以后研究幾何圖形提供了方法和思路。

2.運用類比，引導學生感受研究不同知識時的方法聯系

世界是廣泛聯系的，數學學科內的不同知識內容之間更是充滿關聯。旅美獨立數學教育研究者馬立平博士在名著《小學數學的掌握與教學》中曾指出：數學教學應追求數學知識的關聯度、貫通度，并注重數學知識之間的深度與廣度的理解。本課的教學設計做出了一些探索和努力，比如在每組例題的呈現上從形式與本質上都是相近的，讓學生在整節課中都能感受到問題在形式上的關聯。此外，問題在解法、變式等角度上的本質相通，如本文中的例1、例2中線段與角的大小類比，例7、例8中線段的中點與角的平分線等，通過類比，促進學生感受不同問題之間的聯系。

3.運用類比，利于數學思想的滲透，進而促進學生遷移能力的提升

數學的思想方法是數學的靈魂，作為知識的數學離開學校可能不到兩年就會忘記，唯有深深銘刻在學生頭腦中的數學思想、研究方法和策略等，會發揮潛移默化的作用，使他們受益終身。因此，數學教學在關注知識、技能、方法的同時，應有意識地滲透基本數學思想，提升學生的遷移能力。

本節復習課將線段與角進行全方位的類比，讓學生明確了線段與角學習的目標，帶領學生理順了學習的思路，真正讓學習活動具有了思維的含金量。在增強思維的邏輯性與條理性的同時，讓學生領悟到“平面圖形”研究的一些“基本套路”，感悟“類比”的思想方法和學習策略。

總之，在教學過程中，教師要善于引導學生運用類比法，在類比中找出知識間的內在聯系，合理運用類比的策略，引導學生構建系統的知識結構，優化知識網絡，有利于知識的固化、活化；教師要善于激勵學生在類比中探究，在類比中歸納，在類比中建構，從而提升學生觸類旁通、舉一反三的能力；教師要善于創造有類比問題的環境，引導學生提出問題并做出合理的猜想和假設，培養學生分析問題和解決問題的能力。

［1］江志杰.二次函數模型的遷移與類比［J］.中學數學研究，2016（2）.