高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中分類討論思想的培養(yǎng)

江蘇省口岸中學(xué) 韓 兵

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中分類討論思想的培養(yǎng)

江蘇省口岸中學(xué) 韓 兵

在高中數(shù)學(xué)中，對于數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)掌握是很重要的。其中，分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中最為常用。在高中數(shù)學(xué)解題中，常常會(huì)遇到一些問題包含多種情況，這就需要學(xué)生應(yīng)用分類討論思想，將問題細(xì)化成多個(gè)部分，最后綜合起來，得到最終的結(jié)果。

一、明確分類討論思想應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)

在應(yīng)用分類討論思想進(jìn)行解題時(shí)，教師需要幫助學(xué)生明確其應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)。首先，學(xué)生要全面理解題意，明確題目中需要分類討論的具體情況。一般來說，在高中數(shù)學(xué)解題中，需要進(jìn)行分類討論的情況有以下幾種：一些概念、公式、性質(zhì)等條件具有分類的內(nèi)容；含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等，因?yàn)閰?shù)的不確定性，會(huì)導(dǎo)致問題出現(xiàn)不同的情況；在進(jìn)行幾何問題的求解時(shí)，有些圖形位置或圖形形狀無法確定，在不同情況下會(huì)有不同求解；排練組合問題中存在著一些特殊的情況。第二，教師要教授學(xué)生應(yīng)用分類討論思想的方法。科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆诸愑懻摚仨氝_(dá)到一定的標(biāo)準(zhǔn)。在應(yīng)用分類討論思想時(shí)，學(xué)生需要明確分類標(biāo)準(zhǔn)、全面討論分類的各個(gè)情況，做到不漏項(xiàng)、不重復(fù)，在題目中所需進(jìn)行的分類討論有多種對象時(shí)，要對問題進(jìn)行分層討論，清晰化解題思路。第三，應(yīng)用分類討論思想進(jìn)行解題，需要在最后對分類的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)歸納。分類討論思想的邏輯性很強(qiáng)，同樣的，應(yīng)用分類討論思想進(jìn)行解題也需要學(xué)生具有較強(qiáng)的分析能力和邏輯思維能力，學(xué)生在解題時(shí)要鍛煉自身的解題意識(shí)，準(zhǔn)確判斷題目是否真的需要進(jìn)行分類討論。

二、在解題中應(yīng)用分類討論思想

其一，分類討論思想在概率問題中的應(yīng)用。例如，有一集合M=｛0，2，4，6，8｝，任選M的兩個(gè)非空子集A，B，要求集合A中最大的數(shù)都比集合B中最小的數(shù)小，有多少種選擇的方法？對于這道題的求解，我們可以以A中最大的數(shù)為討論對象進(jìn)行分類討論。①A中最大的數(shù)為0，即A=｛0｝，此時(shí)B最小的數(shù)只要比0大就可以了，總共有15種情況；②A中最大的數(shù)為2，此時(shí)A的組成可以有2種情況，B中最小的數(shù)需要滿足大于2，則B有7種情況；③A中最大的數(shù)為4，此時(shí)A的組成可以有4種情況，B中最小的數(shù)需要滿足大于4，則B有3種情況；④A中最大的數(shù)為6，此時(shí)A的組成可以有8種情況，B中最小的數(shù)需要滿足大于6，則B有1種情況。綜合四種條件下的選擇，可以得到1×15+2×7+4×3+8×1=49，符合題目要求的共有49種情況。

其二，分類討論思想在函數(shù)解題中的應(yīng)用。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，有很多題目都需要應(yīng)用分類討論思想。例如，對于函數(shù)單調(diào)性的討論，證明函數(shù)在（-1，+∞）上單調(diào)遞增。對于函數(shù)單調(diào)性的求證，一般需要對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，證明其導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒大于0。對于這道題，對原函數(shù)求導(dǎo)可得，分析其導(dǎo)函數(shù)特性，可以很容易發(fā)現(xiàn)只要將x的取值范圍分成（0，+∞）以及（-1，0）兩個(gè)部分進(jìn)行分類討論，然后就能求解出在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)大于等于0，在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)大于0，由此可知，導(dǎo)函數(shù)恒大于0，函數(shù)單調(diào)遞增。又如，函數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，f（x）≥0恒成立，那么求a的值。根據(jù)題意，f（x）≥0，可以轉(zhuǎn)換為，當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=1，當(dāng)x>0時(shí)，在題目要求的區(qū)間內(nèi)，，對不等式右半部分進(jìn)行求導(dǎo)，可以得出其在x=1/2時(shí)取得最大值，為4，所以a≥4。當(dāng)x<0時(shí)，，由于不等式右半部分在［-1，0］上單調(diào)遞增，所以在x=-1時(shí)取得最小值，為4，故a≤4，綜上可得，a=4。

分類討論思想在其他很多類型的題目中都有應(yīng)用，但其解題方法步驟一般都是一樣的：首先，結(jié)合題目要求，判斷是否進(jìn)行分類討論，選擇分類討論的對象以及分類討論的各種情況；第二，按照標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行合理的分類；第三，按照分類情況逐一進(jìn)行求解；第四，對各種情況的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)歸納。總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視對分類討論思想的教學(xué)，幫助學(xué)生熟練掌握，提高數(shù)學(xué)解題能力。