基于貝葉斯公式應用問題的比較研究

吳佳+++毛金舟+++李媛++王姝娜

【摘要】對于一道考研真題，比較分析了文獻[1]和[2]中的方法，借助MATLAB將隨機試驗并不直觀的樣本空間以編程的方式呈現，利用MATLAB仿真隨機試驗的數值結果進行曲線擬合，擬合結果與文獻[1]中的結果非常接近，誤差不超過10-3，因此驗證了文獻[1]中方法是正確的。并通過理論分析指出了文獻[2]中方法錯誤的原因，修正了文獻[2]中方法的計算過程，給出了P（ 1|A2）正確的計算公式。理論分析方法能更深刻地理解貝葉斯公式，理論分析結果與文獻[1]中方法相同。

【關鍵詞】條件概率 全概率公式 貝葉斯公式 MATLAB仿真

【中圖分類號】O211.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）08-0128-02

文獻[1]和[2]中對于同一道概率問題給出了兩種解法，分析也是大相徑庭，結果迥異。究竟哪種方法是正確的，本文將通過MATLAB數值模擬和理論分析兩種方法進行討論分析，兩種方法的結果都與文獻[1]相同。文獻[1]和[2]中討論的概率題如下：

例：設有來自三個地區的各10名，15名和25名考生的報名表，其中女生的報名表分別為3份，7份和5份，隨機地取一個地區的報名表，從中先后抽出兩份。已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率P。

文獻[1]中方法：用事件Hj表示報名表是第j地區考生的，j=1，2，3，事件Ai表示第i次抽到的是男生表，i=1，2。顯然A1，A2，A3構成完備事件組，且

P（H1）=P（H2）=P（H3）= ，P（A2|H1）= ，P（A2|H2）= ，P（A2|H3）= ，P（ 1A2|H1）= = ，P（ 1A2|H2）= = ，P（ 1A2|H3）= = 。

由全概率公式得

文獻[2]中方法：當H1發生時，P（ 1|A2）= ，當H2發生時，P（ 1|A2）= ；當H3發生時，P（ 1|A2）= ，因此，

以下通過MATLAB數值模擬和理論分析論證文獻[1]中方法是正確的。

1.利用MATLAB仿真隨機試驗

利用定義計算條件概率，通過縮減樣本空間的方式也可以計算條件概率。本文借助MATLAB將并不直觀的樣本空間以編程的形式呈現出來，從而實現在縮減的樣本空間中計算條件概率。

條件概率滿足概率的三個公理化條件，因此條件概率也是概率。根據伯努利大數定律可以得到：在取法條件不變的情況下，相互獨立地重復試驗多次，在第二次抽取到的是男生表的條件下，第一次抽取到的是女生表的頻率近似于其概率。

在MATLAB R2014a環境下進行仿真隨機實驗，利用40次得到的數值結果進行曲線擬合，擬合函數為y=-2.437×10-11x+0.3279，顯然，此擬合曲線（如圖1）幾乎平行與x軸，y軸截距為0.3279，非常接近0.32787.

兩次改變女生數據，通過MATLAB模擬出的概率值依然與文獻[1]中結果非常接近（見表1），且誤差不超過10-3。 綜上，本文認為文獻[1]中方法正確，文獻[2]中方法錯誤。

2.理論分析

文獻[2]中方法忽略了“先抽到的一份是男生表的條件下”這個條件，錯誤地認為取自三個地區的概率仍為 ，違背了貝葉斯公式，人為地制造出P（A2|A1|H1）這樣不存在的概率。

在先抽到的一份是男生表的條件下，經過計算發現報名表來自第一區的概率為

文獻[2]中方法產生錯誤的另一主要原因是利用不存在的概率，錯誤地使用貝葉斯公式，“當H1發生時，P（ 1|A2）= ”的確切表述應該是“P（ 1H1|A2H1）= ”。

結合上面兩種原因，將文獻[2]中方法修正如下：

當H1發生時，P（H1|A2）= = = ，P（ 1H1|A2H1）= ；

同理，當H2發生時，P（H2|A2）= ，P（ 1H2|A2H2）= ；當H3發生時，P（H3|A2）= ，P（ 1H3|A2H3）= ；

3.結論

本文利用MATLAB仿真隨機試驗的方式驗證了文獻[1]中方法的正確性，通過理論分析指出了文獻[2]中方法錯誤的原因，修正了文獻[2]中方法，給出了P（ 1|A2）又一計算公式：

P（ 1|A2）= P（Hi|A2）P（ 1Hi|A2Hi）。

通過對此問題的研究，有助于加深對于條件概率問題的理解，尤其對于全概率公式和貝葉斯公式的掌握具有實際的指導意義。本文方法可以使學生今后避免犯同類錯誤，對于教師的教學也具有指導意義。

參考文獻：

[1]張宇.概率與數理統計（9講）[M].北京：北京理工大學出版社，2016.

[2] 李永樂，王式安，季文鐸. 考研數學復習全書（數學三）[M]. 國家行政學院出版社，2016.

作者簡介：

吳佳（1994-），女，本科。