淺談關于數理統計教學方法的思考

【摘要】“授之以魚不如授之以漁”，傳授給學生學習新知識的方法和能力是課堂教學中必須思考的問題。本文以統計量及其分布為具體案例，闡述了在數理統計教學中，如何有效地引導學生利用概率論知識去學習數理統計中的新知識，培養學生解決新問題的能力。

【關鍵詞】隨機向量 統計量 分布函數

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）08-0172-01

數理統計是隨機數學范籌的一門基礎課程，它主要研究如何有效地收集、分析、整理帶有隨機性的數據，以便對所研究得問題做出準確而精確的推斷。數理統計的核心思想是由樣本去推斷總體的未知信息，這包括總體分布中的未知參數、總體具體的分布形式等。通過教學嘗試，發現通過詳細講解某一統計問題的背景，帶領學生復習所用到相關概率論知識，通過類比思想，能夠使得學生容易掌握運用已有知識去分析解決新問題的能力。接下來，將圍繞統計量及其分布，從以下幾方面進行闡述和分析。

1.樣本與隨機向量

在教學過程中學生感覺總體、個體及樣本的概念比較抽象，表示方法難于很快接受。在授課過程中，結合實例具體闡述這樣概念，加深學生對這些基本概念的深入理解，幫助學生進入統計問題的意境中，進一步讓學生領悟用概率論知識去解決統計問題，具體如下：

在數理統計中，研究對象的全體稱為總體，每一個研究對象稱為個體。對總體的研究總是歸結對總體的某一數量指標的研究，因而通常用一個隨機變量X及其分布來表示總體，從總體中抽樣意味著從總體服從的某分布中抽樣。從總體中抽得樣本容量為n的樣本，該樣本可以表示為隨機向量（X1，X2，……，Xn），其中每一個隨機變量Xi表示個體。樣本的特點是隨機變量Xi，i=1，2，……，n相互獨立且與總體同分布。教學過程中強調樣本實質上就是一個多維的隨機向量，且其中的分量相互獨立、每一個分量與總體具有相同的分布。學生在此理解的基礎上，很容易可以由相互獨立的隨機向量的分布得到樣本的聯合分布。

2.次序統計量分布與極值分布

極值分布在地震、水文、氣象等預測問題中有著重要作用。例如，在建造大型建筑物時，要考慮到今后若干年內的地震的最大震級、最高水位、最大風壓等。教學過程中發現學生對于次序統計量及其分布的理解比較困難。如果在講授過程中將次序統計量和概率論中隨機向量的極值分布相類比，教學效果將明顯增加。設（X1，X2，……，Xn）為來自總體X的樣本，其樣本觀測值從小到大排序為x（1），x（2），……，x（n），稱x（i）為第i個次序統計量，若它的觀測值為x（i）。將樣本的最大與最小次序統計量分別記為x（n）=max{X1，X2，……，Xn}與X（1）=max{X1，X2，……，Xn}。顯然，樣本的最大次序統計量與最小次序統計量就相當于隨機向量（X1，X2，……，Xn）的極大值與極小值，從而最大次序統計量與最小次序統計量的分布完全可以用概率論中極值分布的知識來解決。這樣的分析幫助學生克服對新知識的恐懼心理，從而也更容易接受。若總體的分布函數為F（x），則最大次序統計量與最小次序統計量的分布可用總體分布的函數表示。

3.樣本均值及其分布

在統計量及其分布的學習過程中，教師可以對學生進行這樣的引導：統計量作為樣本的函數，而樣本是隨機向量，所以統計量就是樣本這個隨機向量的函數，那么統計量的分布就可以借助于概率論中隨機向量函數的分布來解決。經過這樣的引導，進一步帶領學生回顧求解隨機向量函數分布的思想和具體做法，這樣學生很快就能理解并掌握這部分知識，同時也培養了學生利用已有知識去分析新問題的能力。下面以樣本均值為例來進行具體說明，樣本均值作為一個重要的統計量，它常用來估計總體的均值信息，具體定義為 = Xi/n， 具有怎樣的分布呢？當總體服從正態分布N（？滋，？滓2）時，由連續型的卷積公式及正態分布的性質，可得 Xi～N（n？滋，n？滓2）， ～N（？滋，？滓2/n），即 的精確分布仍為正態分布。當總體分布非正態分布或未知時，由獨立同分布中心極限定理知，當樣本容量n很大時， Xi的漸近分布為N（n？滋，n？滓2），從而 的漸近分布仍為正態分布，記作 ～N（？滋，？滓2/n）。

綜上所述，本文以統計量及其分布中的三個知識點為例，說明了數理統計授課中，如何引導學生利用概率論知識去探索學習數理統計中的新知識，以提高學生解決新問題的能力。

參考文獻：

[1]梁之舜，鄧集賢，楊維權等.概率論及數理統計[M].高等教育出版社，1998.

[2]茆詩松，程依明，濮曉龍. 概率論及數理統計教程[M].高等教育出版社，2015.

作者簡介：

楊曉麗（1979-），女，漢族，博士，陜西師范大學數學與信息科學學院，副教授，研究方向：隨機動力系統。endprint