對高考具有對稱美的函數問題的研究

江蘇省宿遷市馬陵中學高二　于見昊

對高考具有對稱美的函數問題的研究

江蘇省宿遷市馬陵中學高二于見昊

在高考中，經常出現對于含x1和x2的對稱式的證明。這些證明不僅體現了數學的對稱美，更是對函數本質進行了深刻考查。作為一名學生我分享一下自己對于這類題目的解題方法。

方法一：根據題意先縮小未知數范圍再進行證明

例題：已知f（x）=ex-alnx-a，其中常數a＞0。若f（x）有兩零點x1和x2且0＜x1＜x2，求證：＜x1＜x2＜a。

首先根據題意f（x）要有兩個相異零點。我們先求反面補集反設f（x）至多有一零點，求此時a的范圍。

，1）　1　（1，+∞）ψ′（x）-　0　+ ψ（x）遞減　極小值　遞增x（

所以ψ（x）min=ψ（1）=e從而0＜a＜e，綜上0＜a＜e。

⒉f（x）有唯一零點時即f（x）=0只有一解時，由1.中③可知此時a=ψ（x）min=ψ（1）=e。所以綜合1.2.0＜a≤e。

由題意f（x）要有兩個相異零點且a＞0，所以可知a＞e，f（1）=e-a＜0。此時a的范圍已經被縮小，此范圍正是解題關鍵。

本題首先根據存在兩相異零點縮小a范圍并最終根據a的范圍用零點存在定理完成證明。反設法的應用也是本題亮點。

方法二：利用反證法與基本不等式解決

方法三：利用著名不等式證明后使用輔助解題，構造新函數由函數單調性解題

面對具有對稱美的函數問題要通過兩式相加減或零點存在定理進行恰當轉化，再根據題目條件進行適當處理。這要求我們學生能夠提高數學素養，吃透問題本質。一味進行題海戰術不求甚解的學生只能看出此類問題的形，無法掌握其魂，最終只能在多變的題目中迷茫。可見我們唯有深刻了解函數的性質內涵才能在面對此類題目時游刃有余。